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第二講 函數(shù)的圖象與性質
年份
卷別
考查角度及命題位置
命題分析
2018
Ⅱ卷
函數(shù)圖象的識別T3
1.高考對此部分內容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質及分段函數(shù)等方面，多以選擇、填空題形式考查，一般出現(xiàn)在第5～10或第13～15題的位置上，難度一般．主要考查函數(shù)的定義域，分段函數(shù)求值或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的判斷．
2.此部分內容有時出現(xiàn)在選擇、填空題壓軸題的位置，多與導數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結合命題，難度較大.
函數(shù)奇偶性、周期性的應用T11
Ⅲ卷
函數(shù)圖象的識別T7
2017
Ⅰ卷
函數(shù)單調性、奇偶性與不等式解法T5
Ⅲ卷
分段函數(shù)與不等式解法T15
2016
Ⅰ卷
函數(shù)的圖象判斷T7
Ⅱ卷
函數(shù)圖象的對稱性T12
函數(shù)及其表示
授課提示：對應學生用書第5頁
[悟通——方法結論]
求解函數(shù)的定義域時要注意三式——分式、根式、對數(shù)式，分式中的分母不為零，偶次方根中的被開方數(shù)非負，對數(shù)的真數(shù)大于零．底數(shù)大于零且不大于1．解決此類問題的關鍵在于準確列出不等式(或不等式組)，求解即可．確定條件時應先看整體，后看部分，約束條件一個也不能少．
[全練——快速解答]
1．(2016高考全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是( )
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2x D．y＝
解析：函數(shù)y＝10lg x的定義域與值域均為(0，＋∞)．結合選項知，只有函數(shù)y＝ 的定義域與值域均為(0，＋∞)．故選D.
答案：D
2．(2018浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝則f(－2 017)＝( )
A．1 B．e
C． D．e2
解析：由題意f(－2 017)＝f(2 017)，當x＞2時，4是函數(shù)f(x)的周期，所以f(2 017)＝f(1＋4504)＝f(1)＝e.
答案：B
3．函數(shù)f(x)＝的定義域為________．
解析：由函數(shù)解析式可知，x需滿足，
解得1
1的x的取值范圍是__________．
解析： 當x≤0時，原不等式為x＋1＋x＋>1，
解得x>－，
∴－1，顯然成立．
當x>時，原不等式為2x＋2x－>1，顯然成立．
綜上可知，x的取值范圍是.
答案：
1.函數(shù)定義域的求法
求函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出解集即可．
2．分段函數(shù)問題的5種常見類型及解題策略
常見類型
解題策略
求函數(shù)值
弄清自變量所在區(qū)間，然后代入對應的解析式，求“層層套”的函數(shù)值，要從最內層逐層往外計算
求函數(shù)最值
分別求出每個區(qū)間上的最值，然后比較大小
解不等式
根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定，代入相應的解析式求解，但要注意取值范圍的大前提
求參數(shù)
“分段處理”，采用代入法列出各區(qū)間上的方程
利用函數(shù)
性質求值
必須依據(jù)條件找到函數(shù)滿足的性質，利用該性質求解
函數(shù)圖象及應用
授課提示：對應學生用書第5頁
[悟通——方法結論]
1．作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法、二是圖象變換法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換等．
2．利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調性、奇偶性，作圖時要準確畫出圖象的特點．
(1)(2017高考全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝的部分圖象大致為( )
解析：令函數(shù)f(x)＝，其定義域為{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除B；因為f(1)＝>0，f(π)＝＝0，故排除A、D，選C.
答案：C
(2)(2017高考全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝1＋x＋的部分圖象大致為( )
解析：法一：易知函數(shù)g(x)＝x＋是奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關于原點對稱，所以函數(shù)y＝1＋x＋的圖象只需把g(x)的圖象向上平移一個單位長度，結合選項知選D.
法二：當x→＋∞時，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除選項B.當00，故排除選項A、C.選D.
答案：D
由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象的策略
[練通——即學即用]
1．(2018高考全國卷Ⅲ)函數(shù)y＝－x4＋x2＋2的圖象大致為( )
解析：法一：?′(x)＝－4x3＋2x，則?′(x)＞0的解集為∪，?(x)單調遞增；?′(x)＜0的解集為∪，?(x)單調遞減．
故選D.
法二：當x＝1時，y＝2，所以排除A，B選項．當x＝0時，y＝2，而當x＝時，y＝－＋＋2＝2＞2，所以排除C選項．
故選D.
答案：D
2．函數(shù)f(x)＝cos x的圖象的大致形狀是( )
解析：∵f(x)＝cos x，∴f(－x)＝cos(－x)＝－cos x＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，可排除選項A，C，又當x∈時，ex>e0＝1，－1<0，cos x>0，∴f(x)<0，可排除選項D，故選B.
答案：B
3．(2018惠州調研)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝－1
D．f(x)＝x－
解析：由函數(shù)圖象可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B、C.若函數(shù)為f(x)＝x－，則當x→＋∞時，f(x)→＋∞，排除D，故選A.
答案：A
函數(shù)的性質及應用
授課提示：對應學生用書第6頁
[悟通——方法結論]
1．判斷函數(shù)單調性的一般規(guī)律
對于選擇、填空題，若能畫出圖象，一般用數(shù)形結合法；而對于由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復合運算而成的函數(shù)常轉化為基本初等函數(shù)單調性的判斷問題；對于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等較復雜的函數(shù)，用導數(shù)法；對于抽象函數(shù)，一般用定義法．
2．函數(shù)的奇偶性
(1)確定函數(shù)的奇偶性，務必先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱．
(2)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱．
3．記住幾個周期性結論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，則f(x)為周期函數(shù)，且2a是它的一個周期．
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝(a>0)，則f(x)為周期函數(shù)，且2a是它的一個周期．
(1)(2017高考全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函數(shù)y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調遞增，由復合函數(shù)的單調性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調遞增區(qū)間是(4，＋∞)．
答案：D
(2)(2017高考全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)單調遞減，∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3.
答案：D
(3)(2018高考全國卷Ⅲ)已知函數(shù)?(x)＝ln(－x)＋1，?(a)＝4，則?(－a)＝________.
解析：∵?(x)＋?(－x)＝ln(－x)＋1＋ln(＋x)＋1＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴?(a)＋?(－a)＝2，∴?(－a)＝－2.
答案：－2
1．掌握判斷函數(shù)單調性的常用方法
數(shù)形結合法、結論法(“增＋增”得增、“減＋減”得減及復合函數(shù)的“同增異減”)、定義法和導數(shù)法．
2．熟知函數(shù)奇偶性的3個特點
(1)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱．
(2)確定函數(shù)的奇偶性，務必先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱．
(3)對于偶函數(shù)而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
3．周期性：利用周期性可以轉化函數(shù)的解析式、圖象和性質，把不在已知區(qū)間上的問題，轉化到已知區(qū)間上求解．
4．注意數(shù)形結合思想的應用．
[練通——即學即用]
1．(2018長春模擬)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(0，＋∞)上單調遞增的是( )
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
解析：選項A、B顯然是偶函數(shù)，排除；選項C是奇函數(shù)，但在(0，＋∞)上不是單調遞增函數(shù)，不符合題意；選項D中，y＝x－是奇函數(shù)，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故y＝x－在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以選項D正確．
答案：D
2．(2018衡陽八中摸底)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,2]上單調遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結論成立的是( )
A．f(1)3>，
所以f0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定義域與值域相同的函數(shù)的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①y＝3－x的定義域和值域均為R，②y＝2x－1(x>0)的定義域為(0，＋∞)，值域為，③y＝x2＋2x－10的定義域為R，值域為[－11，＋∞)，④y＝的定義域和值域均為R，所以定義域與值域相同的函數(shù)是①④，共有2個，故選B.
答案：B
2．設定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)滿足對任意的x∈R，都有f(x)＝f(1－x)，且當x∈[0，]時，f(x)＝ (x＋1)，則f(3)＋f(－)的值為( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)＝f(1－x)?f(x)＝－f(x＋1)?f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝f(x)，所以f(3)＝f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(－)＝f()＝ ＝－1.所以f(3)＋f(－)＝－1.
答案：C
3．函數(shù)f(x)＝1＋ln的圖象大致是( )
解析：因為f(0)＝1＋ln 2>0，即函數(shù)f(x)的圖象過點(0，ln 2)，所以排除A、B、C，選D.
答案：D
4．(2017高考天津卷)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為( )
A．a0時，f(x)>f(0)＝0，當x1>x2>0時，f(x1)>f(x2)>0，∴x1f(x1)>x2f(x2)，∴g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且g(x)＝xf(x)是偶函數(shù)，∴a＝g(－log2 5.1)＝g(log2 5.1)．易知20，f(x)單調遞增．又當x<0時，f(x)<0，故選B.
答案：B
6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則( )
A．f(－25)0，g(1)＝ln 1－＝－1<0，g(2)＝ln 2－＝ln >ln 1＝0.又f(x1)＝g(x2)＝0，所以0f(1)>0，g(x1)f(x)，則x的取值范圍是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－2,1)
D．(1,2)
解析：因為g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x<0時，g(x)＝－ln(1－x)，所以當x>0時，－x<0，g(－x)＝－ln(1＋x)，即當x>0時，g(x)＝ln(1＋x)，則函數(shù)f(x)＝
作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖：
由圖象可知f(x)＝在(－∞，＋∞)上單調遞增．
因為f(2－x2)>f(x)，所以2－x2>x，解得－20的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：由<1，
可得<0.
令F(x)＝f(x)－x，由題意知F(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，又是奇函數(shù)，且F(2)＝0，F(xiàn)(－2)＝0，所以結合圖象，令F(x)>0，得x<－2或01)，都有f(x－2)≤g(x)，則m的取值范圍是( )
A．(1,2＋ln 2) B.
C．(ln 2,2] D.
解析：作出函數(shù)y1＝e|x－2|和y＝g(x)的圖象，如圖所示，由圖可知當x＝1時，y1＝g(1)，又當x＝4時，y1＝e24時，由ex－2≤4e5－x，得e2x－7≤4，即2x－7≤ln 4，解得x≤＋ln 2，又m>1，∴1
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