山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 拋物線練習(xí)(含解析).doc
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拋物線 一、選擇題(本大題共12小題,共60分) 1. 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 (正確答案)B 【分析】 畫出圖形,設(shè)出拋物線方程,利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可. 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線與圓的方程的應(yīng)用,考查計算能力.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 【解答】 解:設(shè)拋物線為y2=2px,如圖:|AB|=42,|AM|=22, |DE|=25,|DN|=5,|ON|=p2, xA=(22)22p=4p, |OD|=|OA|, 16p2+8=p24+5, 解得:p=4. C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為:4. 故選B. ? 2. 設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 (正確答案)D 解:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F為(1,0), 曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P在第一象限, 由PF⊥x軸得:P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1, 代入C得:P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2, 故k=2, 故選:D 根據(jù)已知,結(jié)合拋物線的性質(zhì),求出P點(diǎn)坐標(biāo),再由反比例函數(shù)的性質(zhì),可得k值. 本題考查的知識點(diǎn)是拋物線的簡單性質(zhì),反比例函數(shù)的性質(zhì),難度中檔. 3. 設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)在直線2x+3y-8=0上,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( ) A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1 (正確答案)A 解:把y=0代入2x+3y-8=0得:2x-8=0,解得x=4, ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0), ∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4. 故選:A. 求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),從而得出準(zhǔn)線方程. 本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 4. 點(diǎn)A(2,1)到拋物線y2=ax準(zhǔn)線的距離為1,則a的值為( ) A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12 (正確答案)C 解:拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-a4, ∴點(diǎn)A(2,1)到拋物線y?2=ax準(zhǔn)線的距離為|2+ a 4 |=1 解得a=-4或a=-12. 故選C. 求出拋物線的準(zhǔn)線方程,根據(jù)距離列出方程解出a的值. 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì),準(zhǔn)線方程,屬于基礎(chǔ)題. 5. 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M,N兩點(diǎn),則FM?FN=( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 (正確答案)D 解:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),過點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線為:3y=2x+4, 聯(lián)立直線與拋物線C:y2=4x,消去x可得:y2-6y+8=0, 解得y1=2,y2=4,不妨M(1,2),N(4,4),F(xiàn)M=(0,2),F(xiàn)N=(3,4). 則FM?FN=(0,2)?(3,4)=8. 故選:D. 求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),直線方程,求出M、N的坐標(biāo),然后求解向量的數(shù)量積即可. 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計算能力. 6. 已知雙曲線的一個焦點(diǎn)與拋物線x2=20y的焦點(diǎn)重合,且其漸近線方程為3x4y=0,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A. x29-y216=1 B. y29-x216=1 C. x216-y29=1 D. y216-x29=1 (正確答案)B 解:∵拋物線x2=20y中,2p=20,p2=5, ∴拋物線的焦點(diǎn)為F(0,5), 設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1, ∵雙曲線的一個焦點(diǎn)為F(0,5),且漸近線的方程為3x4y=0即y=34x, ∴a2+b2=c=5ab=34, 解得a=3,b=4(舍負(fù)), 可得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:y29-x216=1.. 故選:B. 根據(jù)拋物線方程,算出其焦點(diǎn)為F(0,5).由此設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1,根據(jù)基本量的平方關(guān)系與漸近線方程的公式,建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b的值,即可得到該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 本題給出雙曲線與已知拋物線有一個焦點(diǎn)重合,在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程.著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于中檔題. 7. 若拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(x0,2)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p等于( ) A. 12 B. 1 C. 32 D. 2 (正確答案)D 解:由題意,3x0=x0+p2,∴x0=p4, ∴p22=2, ∵p>0, ∴p=2, 故選D. 根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+p2,得出x0求得p,可得答案. 本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì).考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 8. 若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2,則a=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 (正確答案)C 【分析】 本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì),利用拋物線的方程,求出p,即可求出結(jié)果.是基礎(chǔ)題. 【解答】 解:拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2,可得p=2,則a=2p=4. 故選C. 9. 已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為( ) A. -2 B. -43 C. -34 D. -12 (正確答案)C 解:由點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上, 即-2=-p2,則p=4, 故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為:(2,0), 則直線AF的斜率k=3-0-2-2=-34, 故選C. 由題意求得拋物線方程,求得焦點(diǎn)坐標(biāo),利用直線的斜率公式即可求得直線AF的斜率. 本題考查拋物線的簡單幾何性質(zhì),拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題. 10. 已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),AF=|54x0|,則x0=( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 (正確答案)A 解:拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F(14,0), ∵A(x0,y0)是C上一點(diǎn),AF=|54x0|,x0>0. ∴54x0=x0+14, 解得x0=1. 故選:A. 利用拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長公式即可得出. 本題考查了拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長公式,屬于基礎(chǔ)題. 11. 若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A,B兩個不同的點(diǎn),且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則k=( ) A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 15 (正確答案)A 解:聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x, 消去y,可得k2x2-(4k+8)x+4=0,(k≠0), 判別式(4k+8)2-16k2>0,解得k>-1. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=4k+8k2, 由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2, 即有4k+8k2=4, 解得k=2或-1(舍去), 故選:A. 聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x,消去y,可得x的方程,由判別式大于0,運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,計算即可求得k=2. 本題考查拋物線的方程的運(yùn)用,聯(lián)立直線和拋物線方程,消去未知數(shù),運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,注意判別式大于0,屬于中檔題. 12. 已知拋物線方程為y=14x2,則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A. (0,-1) B. (-116,0) C. (116,0) D. (0,1) (正確答案)D 解:把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為:x2=4y, ∴拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸,p=2,p2=1. ∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1). 故選:D. 把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式得出焦點(diǎn)坐標(biāo). 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 二、填空題(本大題共4小題,共20分) 13. 已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則|FN|=______. (正確答案)6 【分析】 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力.求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),推出M坐標(biāo),然后求解即可. 【解答】 解:拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),M是C上一點(diǎn),F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn), 可知M的橫坐標(biāo)為:1, 則M的縱坐標(biāo)為:22, |FN|=2|FM|=2(1-2)2+(22-0)2=6. 故答案為6. 14. 若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是______ . (正確答案)9 解:拋物線的準(zhǔn)線為x=-1, ∵點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10, ∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10, ∴點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9. 故答案為:9. 根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10,故到y(tǒng)軸的距離為9. 本題考查了拋物線的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 15. 設(shè)拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數(shù),p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B,設(shè)C(72p,0),AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且△ACE的面積為32,則p的值為______. (正確答案)6 解:拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數(shù),p>0)的普通方程為:y2=2px焦點(diǎn)為F(p2,0),如圖:過拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線,垂足為B,設(shè)C(72p,0),AF與BC相交于點(diǎn)E.|CF|=2|AF|, |CF|=3p,|AB|=|AF|=32p,A(p,2p), △ACE的面積為32,AEEF=ABCF=12, 可得13S△AFC=S△ACE. 即:13123p2p=32, 解得p=6. 故答案為:6. 化簡參數(shù)方程為普通方程,求出F與l的方程,然后求解A的坐標(biāo),利用三角形的面積列出方程,求解即可. 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線的參數(shù)方程的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力. 16. 拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是______;該拋物線的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M(x0,y0)在此拋物線上,且|MF|=52,則x0=______. (正確答案)x=-12;2 解:∵拋物線方程為y2=2x ∴可得2p=2,得p2=12, 所以拋物線的焦點(diǎn)為F(12,0),準(zhǔn)線方程為x=-12; ∵點(diǎn)M(x0,y0)在此拋物線上, ∴根據(jù)拋物線的定義,可得|MF|=x0+p2=52 即x0+12=52,解之得x0=2 故答案為:x=-12,2 根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可得拋物線開口向右,由2p=2得p2=12,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-12;由拋物線的定義結(jié)合點(diǎn)M坐標(biāo)可得|MF|=x0+p2=52,解之可得x0的值. 本題給出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,求它的準(zhǔn)線方程和滿足|MF|=52的點(diǎn)M的坐標(biāo).著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于基礎(chǔ)題. 三、解答題(本大題共3小題,共30分) 17. 在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長交C于點(diǎn)H. (Ⅰ)求|OH||ON|; (Ⅱ)除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)?說明理由. (正確答案)解:(Ⅰ)將直線l與拋物線方程聯(lián)立,解得P(t22p,t), ∵M(jìn)關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N, ∴xN+xM2=t22p,yN+yM2=t, ∴N(t2p,t), ∴ON的方程為y=ptx, 與拋物線方程聯(lián)立,解得H(2t2p,2t) ∴|OH||ON|=|yH||yN|=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知kMH=p2t, ∴直線MH的方程為y=p2tx+t,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得y2-4ty+4t2=0, ∴△=16t2-44t2=0, ∴直線MH與C除點(diǎn)H外沒有其它公共點(diǎn). (Ⅰ)求出P,N,H的坐標(biāo),利用|OH||ON|=|yH||yN|,求|OH||ON|; (Ⅱ)直線MH的方程為y=p2tx+t,與拋物線方程聯(lián)立,消去x可得y2-4ty+4t2=0,利用判別式可得結(jié)論. 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計算能力,正確聯(lián)立方程是關(guān)鍵. 18. 已知拋物線C:y2=2x,過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A,B兩點(diǎn),圓M是以線段AB為直徑的圓. (1)證明:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4,-2),求直線l與圓M的方程. (正確答案)解:方法一:證明:(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時,則A(2,2),B(2,-2), 則OA=(2,2),OB=(2,-2),則OA?OB=0, ∴OA⊥OB, 則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 當(dāng)直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2), y=kx-2y2=2x,整理得:k2x2-(4k2+1)x+4k2=0, 則x1x2=4,4x1x2=y12y22=(y1y2)2,由y1y2<0, 則y1y2=-4, 由OA?OB=x1x2+y1y2=0, 則OA⊥OB,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上, 綜上可知:坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 方法二:設(shè)直線l的方程x=my+2, x=my+2y2=2x,整理得:y2-3my-4=0, 令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2), 則y1y2=-4, 則(y1y2)2=4x1x2,則x1x2=4,則OA?OB=x1x2+y1y2=0, 則OA⊥OB,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上, ∴坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)由(1)可知:x1x2=4,x1+x2=4k2+2k2,y1+y2=2k,y1y2=-4, 圓M過點(diǎn)P(4,-2),則AP=(4-x1,-2-y1),BP=(4-x2,-2-y2), 由AP?BP=0,則(4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0, 整理得:k2+k-2=0,解得:k=-2,k=1, 當(dāng)k=-2時,直線l的方程為y=-2x+4, 則x1+x2=92,y1+y2=-1, 則M(94,-12),半徑為r=丨MP丨=(4-94)2+(-2+12)2=854, ∴圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516. 當(dāng)直線斜率k=1時,直線l的方程為y=x-2, 同理求得M(3,1),則半徑為r=丨MP丨=10, ∴圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10, 綜上可知:直線l的方程為y=-2x+4,圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516 或直線l的方程為y=x-2,圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10. (1)方法一:分類討論,當(dāng)直線斜率不存在時,求得A和B的坐標(biāo),由OA?OB=0,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上;當(dāng)直線l斜率存在,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的可得OA?OB=0,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; 方法二:設(shè)直線l的方程x=my+2,代入橢圓方程,利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得OA?OB=0,則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上; (2)由題意可知:AP?BP=0,根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,即可求得k的值,求得M點(diǎn)坐標(biāo),則半徑r=丨MP丨,即可求得圓的方程. 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查計算能力,屬于中檔題. 19. 設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. (正確答案)解:(1)方法一:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)直線的斜率不存在時,|AB|=4,不滿足; 設(shè)直線AB的方程為:y=k(x-1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則y2=4xy=k(x-1),整理得:k2x2-2(k2+2)x+k2=0,則x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=2(k2+2)k2+2=8,解得:k2=1,則k=1, ∴直線l的方程y=x-,; 方法二:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),設(shè)直線AB的傾斜角為θ,由拋物線的弦長公式|AB|=2psin2θ=4sin2θ=8,解得:sin2θ=12, ∴θ=π4,則直線的斜率k=1, ∴直線l的方程y=x-1; (2)過A,B分別向準(zhǔn)線x=-1作垂線,垂足分別為A1,B1,設(shè)AB的中點(diǎn)為D,過D作DD1⊥準(zhǔn)線l,垂足為D,則|DD1|=12(|AA1|+|BB1|) 由拋物線的定義可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,則r=|DD1|=4, 以AB為直徑的圓與x=-1相切,且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D, 由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2-2=4, 則D(3,2), 過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.. (1)方法一:設(shè)直線AB的方程,代入拋物線方程,根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值,即可求得直線l的方程; 方法二:根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|=2psin2θ,求得直線AB的傾斜角,即可求得直線l的斜率,求得直線l的方程; (2)根據(jù)過A,B分別向準(zhǔn)線l作垂線,根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,即可求得圓心,求得圓的方程. 本題考查拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,拋物線的焦點(diǎn)弦公式,考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查轉(zhuǎn)換思想思想,屬于中檔題.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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