2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 階段復(fù)習(xí)課 第3課 平面向量學(xué)案 新人教A版必修4.doc
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第三課 平面向量 [核心速填] 1.向量的運算 (1)加法:①+=,②若四邊形OABC為平行四邊形,則+=. (2)減法:-=. (3)數(shù)乘:|λa|=|λ||a|. (4)數(shù)量積:ab=|a||b|cos θ(a與b的夾角為θ). 2.兩個重要定理 (1)向量共線定理:向量a(a≠0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底. 3.兩個非零向量平行、垂直的充要條件 若a=(x1,y1)b=(x2,y2),則: (1)a∥b?a=λb(λ≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0. 4.平面向量的三個性質(zhì) (1)若a=(x,y),則|a|==. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||=. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cos θ==. [體系構(gòu)建] [題型探究] 平面向量的線性運算 (1)平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三點,點C在直線AB上,且=,連接DC延長至E,使||=||,則點E的坐標(biāo)為________. 圖21 (2)如圖21,在正五邊形ABCDE中,若=a,=b,=c,=d,=e,求作向量a-c+b-d-e. 【導(dǎo)學(xué)號:84352275】 (1) [(1)∵=, ∴-=(-). ∴=2-=(3,-6), ∴點C坐標(biāo)為(3,-6). 由||=||,且E在DC的延長線上, ∴=-.設(shè)E(x,y), 則(x-3,y+6)=-(4-x,-3-y), 得 解得即E. (2)a-c+b-d-e =(a+b)-(c+d+e) =(+)-(++) =-=+. 如圖,連接AC,并延長至點F,使CF=AC,則=,所以=+,即為所求作的向量a-c+b-d-e.] [規(guī)律方法] 1.向量加法是由三角形法則定義的,要點是“首尾相連”,即+=. 向量加法的平行四邊形法則:將兩向量移至共起點,分別為鄰邊作平行四邊形,則同起點對角線的向量即為向量的和.加法滿足交換律、結(jié)合律. 2.向量減法實質(zhì)是向量加法的逆運算,是相反向量的作用. 幾何意義有兩個:一是以減向量的終點為起點,被減向量的終點為終點的向量;二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量.注意兩向量要移至共起點. 3.?dāng)?shù)乘運算即通過實數(shù)與向量的乘積,實現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換. [跟蹤訓(xùn)練] 1.如圖22所示,在△ABC中,=,P是BN上的一點,若=m+,則實數(shù)m的值為________. 圖22 [設(shè)=λ, 則=+=-+m+=(m-1)+. =+=-+. ∵與共線,∴(m-1)+=0, ∴m=.] 平面向量數(shù)量積的運算 (1)已知點A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為( ) A. B. C.- D.- (2)如圖23,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,=2.若=-3,則=________. 【導(dǎo)學(xué)號:84352276】 圖23 (1)A (2) [(1)=(2,1),=(5,5),向量=(2,1)在=(5,5)上的投影為||cos〈,〉=||===. (2)因為==-2-=-3, 所以=.] [規(guī)律方法] 向量數(shù)量積的求解策略 (1)利用數(shù)量積的定義、運算律求解. 在數(shù)量積運算律中,有兩個形似實數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛,即(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,上述兩公式以及(a+b)(a-b)=a2-b2這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用. (2)借助零向量. 即借助“圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”,再合理地進(jìn)行向量的移項以及平方等變形,求解數(shù)量積. (3)借助平行向量與垂直向量. 即借助向量的拆分,將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積,借助a⊥b,則ab=0等解決問題. (4)建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運算求解數(shù)量積. [跟蹤訓(xùn)練] 2.在邊長為1的菱形ABCD中,∠BAD=60,E是BC的中點,則等于 ( ) A. B. C. D. D [建立如圖平面直角坐標(biāo)系,則A,C,B. ∴E點坐標(biāo)為, ∴=(,0),=, ∴==.] 平面向量的平行與垂直問題 (1)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),則λ= ( ) A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 (2)設(shè)A,B,C,D為平面內(nèi)的四點,且A(1,3),B(2,-2),C(4,1). ①若=,求D點的坐標(biāo). ②設(shè)向量a=,b=,若ka-b與a+3b平行,求實數(shù)k的值. (1)B [(1)因為m+n=(2λ+3,3), m-n=(-1,-1), 且(m+n)⊥(m-n), 所以(m+n)(m-n)=-2λ-3-3=0, 解得λ=-3. (2)①設(shè)D(x,y). 因為=, 所以(2,-2)-(1,3)=(x,y)-(4,1), 化為(1,-5)=(x-4,y-1), 所以 解得 所以D(5,-4). ②因為a==(2,-2)-(1,3)=(1,-5),b==(4,1)-(2,-2)=(2,3), 所以ka-b=k(1,-5)-(2,3)=(k-2,-5k-3),a+3b=(1,-5)+3(2,3)=(7,4). 因為ka-b與a+3b平行, 所以7(-5k-3)-4(k-2)=0, 解得k=-.所以k=-.] 母題探究:1.將例3(2)②中的“”改為“”,“平行”改為“垂直”,求實數(shù)k的值. [解] 因為a==(1,-5),b==(3,-2), 所以ka-b=(k-3,-5k+2), a+3b=(10,-11), 因為(ka-b)⊥(a+3b), 所以(ka-b)(a+3b)=10(k-3)-11(-5k+2) =65k-52=0, 解得k=. 2.在例3(2)中若A,B,D三點共線,且AC⊥CD,求點D的坐標(biāo). [解] 設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y),則 =(1,-5),=(x-1,y-3), =(3,-2),=(x-4,y-1), 由題意得∥,⊥, 所以整理得 解得x=2,y=-2, 所以點D的坐標(biāo)為(2,-2). [規(guī)律方法] 1.證明共線問題常用的方法 (1)向量a,b(a≠0)共線?存在唯一實數(shù)λ,使b=λa. (2)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線?x1y2-x2y1=0. (3)向量a與b共線?|ab|=|a||b|. (4)向量a與b共線?存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0. 2.證明平面向量垂直問題的常用方法 a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2). 平面向量的模、夾角 (1)已知向量a,b夾角為45,且|a|=1,|2a-b|=,則|b|=________. (2)已知c=ma+nb,c=(-2,2),a⊥c,b與c的夾角為,bc=-4,|a|=2,求實數(shù)m,n的值及a與b的夾角θ. 【導(dǎo)學(xué)號:84352278】 (1)3 [(1)因為向量a,b夾角為45, 且|a|=1,|2a-b|=, 所以=, 化為4+|b|2-4|b|cos 45=10,化為|b|2-2|b|-6=0,因為|b|≥0, 解得|b|=3. (2)∵c=(-2,2),∴|c|=4.∵a⊥c,∴ac=0. ∵bc=|b||c|cos=|b|4=-4, ∴|b|=2.∵c=ma+nb,∴c2=mac+nbc, ∴16=n(-4),∴n=-4. 在c=ma+nb兩邊同乘以a, 得0=8m-4ab. ① 在c=ma+nb兩邊同乘以b,得mab=12. ② 由①②,得m=, ∴ab=2, ∴cos θ==, ∴θ=或.] [規(guī)律方法] 1.解決向量模的問題常用的策略 (1)應(yīng)用公式:|a|=(其中a=(x,y)). (2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則. (3)應(yīng)用向量不等式||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|. (4)研究模的平方|ab|2=(ab)2. 2.求向量的夾角 設(shè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),兩向量夾角θ(0≤θ≤π)的余弦cos θ==. [跟蹤訓(xùn)練] 3.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=,若(c-b)a=,則a與c的夾角為( ) A.30 B.60 C.120 D.150 C [ab=-10,則(c-b)a=ca-ba=ca+10=, 所以ca=-,設(shè)a與c的夾角為θ,則cos θ===-,又θ∈[0,180],所以θ=120.] 平面向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用 (1)用兩條成120角的等長的繩子懸掛一個物體,如圖24所示,已知物體的重力大小為10 N,則每根繩子的拉力大小是________. 圖24 (2)如圖25所示,在正方形ABCD中,P為對角線 AC上任一點,PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分別為E,F(xiàn),連接DP,EF,求證:DP⊥EF. 【導(dǎo)學(xué)號:84352279】 圖25 (1)10 N [因繩子等長,所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60,故每根繩子的拉力大小都是10 N.] (2)證明:法一:(基向量法)設(shè)正方形ABCD的邊長為1,AE=a(0<a<1),則EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP=a, ∴=(+)(+)=+++ =1acos 180+1(1-a)cos 90+aacos 45+a(1-a)cos 45=-a+a2+a(1-a)=0, ∴⊥,即DP⊥EF. 法二:(坐標(biāo)法)設(shè)正方形邊長為1,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,x),則D(0,1),E(x,0),F(xiàn)(1,x), 所以=(x,x-1),=(1-x,x), 由=x(1-x)+x(x-1)=0, 所以⊥,即DP⊥EF. [規(guī)律方法] 平面向量兩個方面的應(yīng)用 (1)平面幾何應(yīng)用 向量 幾何問題 共線向量 點共線問題、直線與直線平行 數(shù)乘向量 求線段長度之比 數(shù)量積 線段的長度、直線與直線的夾角 (2)物理應(yīng)用:速度、位移、力、功. [跟蹤訓(xùn)練] 4.已知點O,N,P在△ABC所在平面內(nèi),且||=||=||,++=0,==,則點O,N,P依次是△ABC的( ) A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、內(nèi)心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、內(nèi)心 C [因為點O到△ABC的三個頂點距離相等, 所以點O是△ABC的外心. 因為++=0,所以+=-, 設(shè)線段AB的中點為M,則2=-. 由此時可知N為AB邊中線的三等分點(靠近中點M) 所以N是△ABC的重心. 因為=,所以(-)=0, 即=0,所以⊥. 同理由=可證⊥,所以P是△ABC的垂心.]- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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