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課時分層作業(yè)(十)　等差數(shù)列的性質(zhì) (建議用時：40分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為(　　) A．5　　　　　　　 B．6 C．8 D．10 A　[由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1＋a9＝2a5， 又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10， ∴a5＝5.] 2．?dāng)?shù)列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432156】 A．－2 B．－ C．2 D. C　[∵an＋1－an＝3， ∴{an}為等差數(shù)列，且d＝3. a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3， a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d)＝3(3＋33)＝36， ∴l(xiāng)og6(a5＋a7＋a9)＝log636＝2.] 3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝(　　) A．5 B．8 C．10 D．14 B　[由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.] 4．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432157】 A．8 B．4 C．6 D．12 A　[因為a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.] 5．下列說法中正確的是(　　) A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列 B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列 C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列 D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列 C　[因為a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c， 所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)， 所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．] 二、填空題 6．若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432158】 －21　[設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d， 則 解得或 ∴這三個數(shù)為－1,3,7或7,3，－1. ∴它們的積為－21.] 7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為________． 1或2　[∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c， ∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0. ∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.] 8．在通常情況下，從地面到10 km高空，高度每增加1 km，氣溫就下降某一個固定數(shù)值．如果1 km高度的氣溫是8.5 ℃，5 km高度的氣溫是－17.5 ℃，則2 km,4 km,8 km高度的氣溫分別為________、________、________. 【導(dǎo)學(xué)號：91432159】 2 ℃?。?1 ℃?。?7 ℃　[用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列，則a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5，∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km高度的氣溫分別為2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.] 三、解答題 9．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項公式． [解]　∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5. 又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9， 即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n. 10．四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項的積為－8，求這四個數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號：91432160】 [解]　設(shè)這四個數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差為2d)， 依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， ∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1. 又四個數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d>0， ∴d＝1，故所求的四個數(shù)為－2,0,2,4. [沖A挑戰(zhàn)練] 1．已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(　　) A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a101<0 C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51 C　[根據(jù)性質(zhì)得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因為a3＋a99＝2a51＝0，故選C.] 2．在等差數(shù)列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－a11的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：91432161】 A．14 B．15 C．16 D．17 C　[設(shè)公差為d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120， ∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16.] 3．若m≠n，兩個等差數(shù)列m，a1，a2，n與m，b1，b2，b3，n的公差分別為d1和d2，則的值為________． 　[n－m＝3d1，d1＝(n－m)． 又n－m＝4d2，d2＝(n－m)． ∴＝＝.] 4．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共為4升，則第5節(jié)的容積為________升． 　[設(shè)自上而下各節(jié)的容積構(gòu)成的等差數(shù)列為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，a9. 則 解得故a5＝a1＋4d＝.] 5．兩個等差數(shù)列5,8,11，…和3,7,11，…都有100項，那么它們共有多少相同的項？ 【導(dǎo)學(xué)號：91432162】 [解]　設(shè)已知的兩數(shù)列的所有相同的項構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11， 又等差數(shù)列5,8,11，…的通項公式為an＝3n＋2， 等差數(shù)列3,7,11，…的通項公式為bn＝4n－1. 所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差d＝12，① 所以cn＝11＋(n－1)12＝12n－1. 又a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302，② 得n≤25，可見已知兩數(shù)列共有25個相同的項．