《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列學(xué)案 蘇教版選修5.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列學(xué)案 蘇教版選修5.doc(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2.1
預(yù)習(xí)課本P30~34,思考并完成以下問(wèn)題
(1)什么是數(shù)列?什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式?
(2)怎樣求數(shù)列的通項(xiàng)公式?
(3)數(shù)列與函數(shù)有什么關(guān)系,數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)解析式有什么聯(lián)系?
1.?dāng)?shù)列的概念
(1)定義:按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.
(2)項(xiàng):數(shù)列中的每個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).a(chǎn)1稱為數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng)),a2稱為第2項(xiàng),…,an稱為第n項(xiàng).
(3)數(shù)列的表示:數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1,a2,a3,…,an,…,簡(jiǎn)記為{an}.
[點(diǎn)睛] (1)數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的.因此,如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就是不同的數(shù)列.例如,數(shù)列4,5,6,7,8,9,10與數(shù)列10,9,8,7,6,5,4是不同的數(shù)列.
(2)在數(shù)列的定義中,并沒(méi)有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn).例如:1,-1,1,-1,1,…;2,2,2,….
2.?dāng)?shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn)
名稱
含義
按項(xiàng)的個(gè)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列
無(wú)窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列
按項(xiàng)的變化趨勢(shì)
遞增數(shù)列
從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
遞減數(shù)列
從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
常數(shù)列
各項(xiàng)相等的數(shù)列
擺動(dòng)數(shù)列
從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列
3.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
[點(diǎn)睛] (1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}為定義域的函數(shù)解析式.
(2)同所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣,并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.
1.在函數(shù)f(x)=中,令x=1,2,3,…,得到一個(gè)數(shù)列,則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是_____.
答案:1,,,2,
2.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿足=n-2,那么15是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng).
解析:由=n-2可知,an=n2-2n,
令n2-2n=15,得n=5或n=-3(舍去).
答案:5
3.?dāng)?shù)列-,,-,,…,的一個(gè)通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.
解析:觀察各項(xiàng)知,其通項(xiàng)公式可以為an=.
答案:an=
4.?dāng)?shù)列{an}中,a1=1,an+1=+1,則a4=________.
解析:a1=1,a2=+1=2,a3=+1=,a4=+1=.
答案:
數(shù)列的概念及分類
[典例] 下列各式哪些是數(shù)列?若是數(shù)列,哪些是有窮數(shù)列?哪些是無(wú)窮數(shù)列?哪些是擺動(dòng)數(shù)列?哪些是常數(shù)列?
(1){0,1,2,3,4};(2)0,1,2,3,4;
(3)0,1,2,3,4,…;(4)1,-1,1,-1,1,-1,…;
(5)6,6,6,6,6.
[解] (1)是集合,不是數(shù)列;(2)(3)(4)(5)是數(shù)列,其中(3)(4)是無(wú)窮數(shù)列,(2)(5)是有窮數(shù)列,(4)是擺動(dòng)數(shù)列,(5)是常數(shù)列.
判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列,只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng).若數(shù)列含有限項(xiàng),則是有窮數(shù)列,否則為無(wú)窮數(shù)列.而判斷數(shù)列的單調(diào)性,則需要從第2項(xiàng)起,觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系,若滿足an
an+1,則是遞減數(shù)列;若滿足an=an+1,則是常數(shù)列;若an與an+1的大小不確定時(shí),則是擺動(dòng)數(shù)列.
[活學(xué)活用]
1.①數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7};
②數(shù)列1,0,-1,-2與-2,-1,0,1是相同的數(shù)列;
③數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看是一群孤立的點(diǎn);
④數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的.
其中正確的是________(填序號(hào)).
解析:①不正確,數(shù)列不能用集合表示.
②不正確,數(shù)列中的項(xiàng)是有次序的.次序不同表示不同的數(shù)列.
③正確.
④數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有有限的,也有無(wú)限的.
答案:③
2.已知下列數(shù)列:
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018;
(2)0,,…,,…;
(3)1,,,…,,…;
(4)1,-,…,,…;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
其中,有窮數(shù)列是________,無(wú)窮數(shù)列是________,遞增數(shù)列是________,遞減數(shù)列是________,常數(shù)列是________,擺動(dòng)數(shù)列是________.(將合理的序號(hào)填在橫線上)
解析:(1)是有窮遞增數(shù)列;
(2)是無(wú)窮遞增數(shù)列;
(3)是無(wú)窮遞減數(shù)列;
(4)是擺動(dòng)數(shù)列,也是無(wú)窮數(shù)列;
(5)是擺動(dòng)數(shù)列,也是無(wú)窮數(shù)列;
(6)是常數(shù)列,也是有窮數(shù)列.
答案:(1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)
(4)(5)
數(shù)列的通項(xiàng)公式
[典例] 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:
(1)0,3,8,15,24,…;
(2)-,,-,,…;
(3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…;
(4)3,5,3,5,3,5,….
[解] (1)觀察數(shù)列中的數(shù)字,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,可發(fā)現(xiàn)an=n2-1.
(2)由觀察法知這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=(-1)n.
(3)由于數(shù)列9,99,999,9 999,…的通項(xiàng)公式為an=10n-1.
∴原數(shù)列的通項(xiàng)公式可記為an=10-n(10n-1)==1-.
(4)由于數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為5,所以通項(xiàng)公式可用分段形式表示,記為
an=
由于3與5的平均數(shù)為=4,4+1=5,4-1=3.而“加1”與“減1”也就是(-1)n,故通項(xiàng)公式還可記為
an=4+(-1) n.
給出數(shù)列的前幾項(xiàng),求通項(xiàng)時(shí),注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)的變化關(guān)系,在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中,先看看哪些部分是變化的,哪些是不變的,再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系,主要從以下4個(gè)方面來(lái)考慮:
(1)分式形式的數(shù)列,分子、分母分別求通項(xiàng),較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系.
(2)若n和n+1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò),那么符號(hào)用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1來(lái)調(diào)控.
(3)熟悉一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(4)對(duì)于復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式,其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn),要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形,將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見(jiàn)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納.
[活學(xué)活用]
寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:
(1)1,-3,5,-7,9,…;
(2)1,2,3,4,…;
(3)1,11,111,1 111,….
解:(1)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9,…,是連續(xù)的正奇數(shù),并且數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1).
(2)此數(shù)列的整數(shù)部分1,2,3,4,…恰好是序號(hào)n,分?jǐn)?shù)部分與序號(hào)n的關(guān)系為,故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n+=.
(3)原數(shù)列的各項(xiàng)可變?yōu)?,99,999,9 999,…,易知數(shù)列9,99,999,9 999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.所以原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(10n-1).
求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)
題點(diǎn)一:利用單調(diào)性求最值項(xiàng)
1.已知an=,則數(shù)列{an}中的最小項(xiàng)為_(kāi)_______.
解析:∵an=
=+1,
∴點(diǎn)(n,an)在函數(shù)y=+1的圖象上,
在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=+1的圖象,
由圖象易知,當(dāng)x∈(0,)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.
∴a9a11>…>1.
所以,數(shù)列{an}中最大的項(xiàng)是a10,最小的項(xiàng)是a9.
答案:a9
題點(diǎn)二:利用圖象求最值項(xiàng)
2.在數(shù)列{an}中,an=-2n2+29n+3,則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是________.
解析:根據(jù)題意并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得:an=-2n2+29n+3=-2+3=-22+3+,所以,n=7時(shí),an取得最大值,最大項(xiàng)a7的值為108.
答案:108
題點(diǎn)三:比較法求最值項(xiàng)
3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n,試問(wèn)該數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號(hào);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:法一:an+1-an
=(n+2)n+1-(n+1)n
=,
當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;
當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;
當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1a11>a12>…,
故數(shù)列{an}有最大項(xiàng),為第9項(xiàng)和第10項(xiàng),
且a9=a10=109.
法二:根據(jù)題意,令(n>1)
即(n>1)
解得9≤n≤10.
又n∈N*,則n=9或n=10.故數(shù)列{an}有最大項(xiàng),為第9項(xiàng)和第10項(xiàng),且a9=a10=109.
(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時(shí)要注意數(shù)列的定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.
(2)可以利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最大項(xiàng);利用不等式組(n>1)找到數(shù)列的最小項(xiàng).
層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1.?dāng)?shù)列0,,,,,…的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.
解析:數(shù)列可化為,,,,,…
觀察可得:an=.
答案:an=
2.根據(jù)下列4個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖形中有____________個(gè)點(diǎn).
解析:由圖形可得,圖形中的點(diǎn)數(shù)為1,4,9,16,…
則其通項(xiàng)公式為an=n2,
故第n個(gè)圖形中的點(diǎn)數(shù)為n2.
答案:n2
3.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*),則a6=________.
解析:由題意得a3=a2+a1=2,a4=a3+a2=3,a5=a4+a3=5,a6=a5+a4=8.
答案:8
4.?dāng)?shù)列{an}中,a1=1,對(duì)于所有的n≥2,n∈N*都有a1a2a3…an=n2,則a3+a5的值為_(kāi)_______.
解析:由a1a2a3…an=n2,
∴a1a2=4,a1a2a3=9,∴a3=,
同理a5=.∴a3+a5=.
答案:
5.已知數(shù)列{an}滿足amn=aman(m,n∈N*),且a2=3,則a8=________.
解析:由amn=aman,得a4=a22=a2a2=9,
a8=a24=a2a4=39=27.
答案:27
6.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n,則{an}的第______項(xiàng)最?。?
解析:an=2-.∵n∈N*,∴當(dāng)n=2或3時(shí),an最小,∴{an}的第2或3項(xiàng)最小.
答案:2或3
7.下面五個(gè)結(jié)論:①數(shù)列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn);②數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)限的;③數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的;④數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式;⑤將數(shù)列看做函數(shù),其定義域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正確的是________(填序號(hào)).
解析:②中數(shù)列的項(xiàng)數(shù)也可以是有限的,③中數(shù)列的通項(xiàng)公式不唯一.
答案:①④⑤
8.已知函數(shù)f(x)由下表定義:
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
若a1=5,an+1=f(an)(n=1,2,…),則a2 016=________.
解析:a2=f(a1)=f(5)=2,a3=f(a2)=f(2)=1,a4=f(a3)=f(1)=4,a5=f(a4)=f(4)=5,…,可知數(shù)列{an}是循環(huán)數(shù)列周期為4,所以a2 016=a4504=a4=4.
答案:4
9.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+6.
(1)這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)是多少?
(2)150是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)?若是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),它是第幾項(xiàng)?
解:(1)當(dāng)n=4時(shí),a4=42-47+6=-6.
(2)是.令an=150,即n2-7n+6=150,解得n=16或n=-9(舍去),即150是這個(gè)數(shù)列的第16項(xiàng).
10.已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,數(shù)列{an}滿足f(log2an)=-2n.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.
解:(1)因?yàn)閒(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,
所以2log2an-2-log2an=-2n,所以,an-=-2n,
所以a+2nan-1=0,解得an=-n.
因?yàn)閍n>0,所以an=-n.
(2)證明:=
=<1.
因?yàn)閍n>0,所以an+10對(duì)n∈N*恒成立得λ<.
答案:
5.已知數(shù)列{an}對(duì)任意的p,q∈N*滿足ap+q=ap+aq且a2=6,那么a10=________.
解析:a4=a2+a2=12,a6=a4+a2=18,a10=a6+a4=30.
答案:30
6.在數(shù)列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2,則a4=________.
解析:當(dāng)n=1時(shí),a2=2a1+2=22+2=6;
當(dāng)n=2時(shí),2a3=3a2+2=36+2=20,
∴a3=10;
當(dāng)n=3時(shí),3a4=4a3+2=410+2=42,
∴a4=14.
答案:14
7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q(p,q∈R),且a1=-,a2=-.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)-是{an}中的第幾項(xiàng)?
(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列?
解:(1)∵an=pn+q,
又a1=-,a2=-,
∴解得
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an=n-1.
(2)令an=-,即n-1=-,
所以n=,解得n=8.
故-是{an}中的第8項(xiàng).
(3)由于an=n-1,且n隨n的增大而減小,因此an的值隨n的增大而減小,故{an}是遞減數(shù)列.
8.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.
(1)求證:03,
所以0<<1,
所以0<1-<1,即0
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2018年高中數(shù)學(xué)
第二章
數(shù)列
2.1
數(shù)列學(xué)案
蘇教版選修5
2018
年高
數(shù)學(xué)
第二
蘇教版
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