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圓錐曲線中的綜合問題
一、選擇題（本大題共12小題，共60分）
1. 已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OA?OB=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 1728 D. 10
（正確答案）B
解：設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
直線AB與x軸的交點(diǎn)為M(m,0)，
由y2=xx=ty+m?y2-ty-m=0，根據(jù)韋達(dá)定理有y1?y2=-m，
∵OA?OB=2，∴x1?x2+y1?y2=2，
結(jié)合y12=x1及y22=x2，得(y1?y2)2+y1?y2-2=0，
∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，∴y1?y2=-2，故m=2．
不妨令點(diǎn)A在x軸上方，則y1>0，又F(14,0)，
∴S△ABO+S△AFO═122(y1-y2)+1214y1，
=98y1+2y1≥298y1?2y1=3．
當(dāng)且僅當(dāng)98y1=2y1，即y1=43時，取“=”號，
∴△ABO與△AFO面積之和的最小值是3，故選B．
可先設(shè)直線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程得到一個一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及OA?OB=2消元，最后將面積之和表示出來，探求最值問題．
求解本題時，應(yīng)考慮以下幾個要點(diǎn)：
1、聯(lián)立直線與拋物線的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理與已知條件消元，這是處理此類問題的常見模式．
2、求三角形面積時，為使面積的表達(dá)式簡單，常根據(jù)圖形的特征選擇適當(dāng)?shù)牡着c高．
3、利用基本不等式時，應(yīng)注意“一正，二定，三相等”．
2. 已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個端點(diǎn)為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4，點(diǎn)M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的離心率的取值范圍是( )
A. (0,32] B. (0,34] C. [32,1) D. [34,1)
（正確答案）A
解：如圖所示，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF，BF，則四邊形AFBF是平行四邊形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a，∴a=2．
取M(0,b)，∵點(diǎn)M到直線l的距離不小于45，∴|4b|32+42≥45，解得b≥1．
∴e=ca=1-b2a2≤1-122=32．
∴橢圓E的離心率的取值范圍是(0,32]．
故選：A．
如圖所示，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF，BF，則四邊形AFBF是平行四邊形，可得4=|AF|+|BF|=|AF|+|BF|=2a.取M(0,b)，由點(diǎn)M到直線l的距離不小于45，可得|4b|32+42≥45，解得b≥1.再利用離心率計算公式e=ca=1-b2a2即可得出．
本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
3. 已知點(diǎn)P(-22,0)是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O：x2+y2=4的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，則a2+b2的值是( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
（正確答案）C
解：由題意，a=22．
∵過點(diǎn)P作圓O：x2+y2=4的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，
∴∠APO=45°，F(xiàn)(-2,0)，
∴c=2，∴b2=8-2=6，
∴a2+b2=8+6=14，
故選C．
由題意，a=22.過點(diǎn)P作圓O：x2+y2=4的切線，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恰好過橢圓C的左焦點(diǎn)F，可得F(-2,0)，即可求出a2+b2的值．
本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
4. 已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分交于A點(diǎn)，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積為( )
A. 4 B. 3 C. 43 D. 8
（正確答案）C
解：由拋物線的定義可得AF=AK，則
∵AF的斜率等于3，∴AF的傾斜角等于60°，∵AK⊥l，
∴∠FAK=60°，故△AKF為等邊三角形．
又焦點(diǎn)F(1,0)，AF的方程為y-0=3(x-1)，
設(shè)A(m,3m-3)，m>1，
由AF=AK得(m-1)2+(3m-3)2=m+1，
∴m=3，故等邊三角形△AKF的邊長AK=m+1=4，
∴△AKF的面積是1244sin60°=43，
故選：C．
先判斷△AKF為等邊三角形，求出A的坐標(biāo)，可求出等邊△AKF的邊長AK=m+1的值，△AKF的面積可求．
本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷△AKF為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
5. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線y23-x2=1相交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF為直角三角形，其中F為直角頂點(diǎn)，則p=( )
A. 23 B. 3 C. 33 D. 6
（正確答案）A
【分析】
本題考查拋物線的定義及拋物線的幾何性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查計算能力．
【解答】
解：由題設(shè)知拋物線y2=2px的準(zhǔn)線為x=-p2，代入雙曲線方程y23-x2=1解得 y=3+3p24，
由雙曲線的對稱性知△MNF為等腰直角三角形，∴∠FMN=π4，
∴tan∠FMN=p3+3p24=1，∴p2=3+3p24，即p=23，
故選A．
6. 若拋物線y2=2px上恒有關(guān)于直線x+y-1=0對稱的兩點(diǎn)A，B，則p的取值范圍是( )
A. (-23,0) B. (0,32)
C. (0,23) D. (-∞,0)∪(23,+∞)
（正確答案）C
解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因為點(diǎn)A和B在拋物線上，所以有y12=2px1①
y22=2px2②
①-②得，y12-y22=2p(x1-x2)．
整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2，
因為A，B關(guān)于直線x+y-1=0對稱，所以kAB=1，即2py1+y2=1．
所以y1+y2=2p．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0,y0)，則y0=y1+y22=2p2=p．
又M在直線x+y-1=0上，所以x0=1-y0=1-p．
則M(1-p,p)．
因為M在拋物線內(nèi)部，所以y02-2px0<0．
即p2-2p(1-p)<0，解得0
0,b>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為-1的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為B、C.若AB=12BC，則雙曲線的離心率是( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 10
（正確答案）C
解：直線l：y=-x+a與漸近線l1：bx-ay=0交于B(a2a+b,aba+b)，
l與漸近線l2：bx+ay=0交于C(a2a-b,-aba-b)，A(a,0)，
∴AB=(-aba+b,aba+b)，BC=(2a2ba2-b2,-2a2ba2-b2)，∵AB=12BC，
∴-aba+b=a2ba2-b2，b=2a，
∴c2-a2=4a2，
∴e2=c2a2=5，∴e=5，
故選C．
分別表示出直線l和兩個漸近線的交點(diǎn)，進(jìn)而表示出AB和BC，進(jìn)而根據(jù)AB=12BC求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)c2-a2=b2，求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．
本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.要求學(xué)生有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運(yùn)用．
9. 如圖F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2-y28=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是C1，C2在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，若|F1F2|=|F1A|，則C2的離心率是( )
A. 23 B. 45 C. 35 D. 25
（正確答案）C
解：由題意F1，F(xiàn)2是雙曲線C1：x2-y28=1與橢圓C2的公共焦點(diǎn)可知，|F1F2|=|F1A|=6，
∵|F1A|-|F2A|=2，∴|F2A|=4，∴|F1A|+|F2A|=10，
∵2a=10，∴C2的離心率是610=35．
故選：C．
利用橢圓以及雙曲線的定義，轉(zhuǎn)化求解橢圓的離心率即可．
本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．
10. 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與拋物線y2=43x的準(zhǔn)線相交于A、B兩點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為y=2x，點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，且△FAB是正三角形，則雙曲線C的方程為( )
A. x22-y2=1 B. x2-y22=1 C. x24-y22=1 D. x22-y24=1
（正確答案）B
解：拋物線y2=43x的焦點(diǎn)為F(3,0)，其準(zhǔn)線方程為x=-3，
∵△FAB為正三角形，
∴|AB|=4，
將(-3,2)代入雙曲線x2a2-y2b2=1可得3a2-4b2=1，
∵雙曲線的一條漸近線方程是y=2x，∴ba=2，
∴a=1，b=2，
∴雙曲線C2的方程為x2-y22=1．
故選：B．
拋物線y2=43x的焦點(diǎn)為F(3,0)，其準(zhǔn)線方程為x=-3，利用△FAB為正三角形，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，可得a，b的方程，利用雙曲線的一條漸近線方程是y=2x，可得a，b的方程，從而可得a，b的值，即可求出雙曲線的方程．
本題考查拋物線、雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用拋物線、雙曲線的性質(zhì)是關(guān)鍵．
11. 拋物線C1：y2=4x的焦點(diǎn)F是雙曲線C2：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C1，C2的公共點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線C1的準(zhǔn)線上，△FPM為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則雙曲線C2的離心率為( )
A. 3+22 B. 210-3 C. 2+1 D. 210+3
（正確答案）C
解：拋物線C1：y2=4x的焦點(diǎn)F是雙曲線C2：x2a2-y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，F(xiàn)(1,0)，|PF|=2=|PM|，則P(1,2)，
P在雙曲線上，滿足：1a2-4b2=1a2+b2=c2=1，
解得a2=3-22，b2=22-2，
所求雙曲線的離心率為：e=13-22=2+1．
故選：C．
求出拋物線以及雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件推出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后求解a、c，即可求解雙曲線的離心率即可．
本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
12. 已知P是雙曲線x23-y2=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則PA?PB的值是( )
A. -38 B. 316 C. -38 D. 不能確定
（正確答案）A
解：設(shè)P(m,n)，則m23-n2=1，即m2-3n2=3，
由雙曲線x23-y2=1的漸近線方程為y=33x，
則由y=33xy-n=-3(x-m)解得交點(diǎn)A(3m+3n4,3m+n4)；
由y=-33xy-n=3(x-m)解得交點(diǎn)B(3m-3n4,n-3m4).
PA=(3n-m4,3m-3n4)，PB=(-m-3n4,-3n-3m4)，
則PA?PB=3n-m4-m-3n4+3m-3n4-3n-3m4=-2m2-6n216=-616=-38．
故選：A．
設(shè)P(m,n)，則m23-n2=1，即m2-3n2=3，求出漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再求向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到．
本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
二、填空題（本大題共4小題，共20分）
13. 設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)與雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)重合，則b= ______ ．
（正確答案）3
解：拋物線y2=8x的焦點(diǎn)(2,0)與雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的右焦點(diǎn)重合，可得c=2，
1+b2=2，解得b=3．
故答案為：3．
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件求出b即可．
本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．
14. 若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)重合，則實數(shù)p的值為______．
（正確答案）6
解：∵雙曲線的方程x24-y25=1，
∴a2=4，b2=5，可得c=a2+b2=3，
因此雙曲線x24-y25=1的右焦點(diǎn)為F(3,0)，
∵拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，
∴p2=3，解之得p=6．
故答案為：6．
根據(jù)雙曲線的方程，可得c=3，從而得到雙曲線的右焦點(diǎn)為F(3,0)，再根據(jù)拋物線的簡單幾何性質(zhì)，可得p2=3，解之即可得到實數(shù)p的值．
本題給出拋物線以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，求拋物線方程，著重考查了雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
15. 已知拋物線C：y2=2px (p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為60°的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則|AF||BF|的值等于______．
（正確答案）3
解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y12=2px1，y22=2px2，
|AB|=x1+x2+p=2psin2θ=83p，即有x1+x2=53p，
由直線l傾斜角為60°，
則直線l的方程為：y-0=3(x-p2)，
即y=3x-32p，聯(lián)立拋物線方程，
消去y并整理，得
12x2-20px+3p2=0，
則x1x2=p24，可得x1=32p，x2=16p，
則|AF||BF|=32p+12p12p+16p=3，
故答案為：3．
設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用焦半徑公式求出|AB|，結(jié)合x1x2=p24，求出A、B的坐標(biāo)，然后求其比值．
本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．
16. 過雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線，與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍為______．
（正確答案）(1,5)
解：由題意過雙曲線x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0 )右焦點(diǎn)且斜率為 2 的直線，
與該雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，可得雙曲線的漸近線斜率ba<2，e>1
∵e=ca=a2+b2a2<1+4，
∴10)的直線交E與A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA．
(I)當(dāng)|AM|=|AN|時，求△AMN的面積
(II) 當(dāng)2|AM|=|AN|時，證明：30，
∴|AN|=121+(1k)23+4(1k)2=12k1+k23k2+4，
又∵2|AM|=|AN|，∴23+4k2=k3k2+4，
整理得：4k3-6k2+3k-8=0，
設(shè)f(k)=4k3-6k2+3k-8，
則f(k)=12k2-12k+3=3(2k-1)2≥0，
∴f(k)=4k3-6k2+3k-8為(0,+∞)的增函數(shù)，
又f(3)=433-63+33-8=153-26=675-676<0，f(2)=48-64+32-8=6>0，
∴3
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圓錐曲線中的綜合問題練習(xí)含解析
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