2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
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3.1.3 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法.(重點(diǎn))3.能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問(wèn)題.(難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1.空間向量的夾角 (1)夾角的定義 圖3115 已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則∠AOB叫做向量a,b的夾角,記作〈a,b〉. (2)夾角的范圍 空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0,π].特別地,當(dāng)θ=0時(shí),兩向量同向共線;當(dāng)θ=π時(shí),兩向量反向共線,所以若a∥b,則〈a,b〉=0或π;當(dāng)〈a,b〉=時(shí),兩向量垂直,記作a⊥b. 2.空間向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的數(shù)量積,記作ab.即ab=|a||b|cos〈a,b〉 (2)數(shù)量積的運(yùn)算律: 數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 (λa)b=λ(ab)=a(λb) 交換律 ab=ba 分配律 a(b+c)=ab+ac (3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì): 向量數(shù)量積的性質(zhì) 垂直 若a,b是非零向量,則a⊥b?ab=0 共線 同向:則ab=|a||b| 反向:則ab=-|a||b| 模 a a=|a||a|cos〈a,a〉=|a|2 |a|= |ab|≤|a||b| 夾角 θ為a,b的夾角,則cos θ= 思考:(1)若ab=0,則一定有a⊥b嗎? (2)若ab>0,則〈a,b〉一定是銳角嗎? [提示] (1)若ab=0,則不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0 (2)當(dāng)〈a,b〉=0時(shí),也有ab>0,故當(dāng)ab>0時(shí),〈ab〉不一定是銳角. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.思考辨析 (1)在△ABC中,〈,〉=∠B.( ) (2)在正方體ABCDA′B′C′D′中,與的夾角為45.( ) (3)0a=0.( ) (4)若ab<0,則〈a,b〉為鈍角.( ) [答案] (1) (2)√ (3) (4) 2.已知正方體ABCDA′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a,設(shè)=a,=b,=c,則〈,〉等于( ) A.30 B.60 C.90 D.120 D [△B′D′C是等邊三角形,〈,〉=〈,〉=120.] 3.已知|a|=3,|b|=2,ab=-3,則〈a,b〉=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342138】 π [cos〈a,b〉===-. 所以〈a,b〉=π.] [合 作 探 究攻 重 難] 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 (1)已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量,則ab=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)如圖3116所示,在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn),求值: 圖3116 (1); (2); (3); (4). [解析] (1)由題意知,pq=0,p2=q2=1 所以ab=(3p-2q)(p+q)=3p2-2q2+pq=1. [答案] A (2)= =||||cos〈,〉 =cos 60=. (2)==||2=. (3)EF==-=-cos 60=-. (4)=(-) =- =||||cos〈,〉-||||cos〈,〉=cos 60-cos 60=0. [規(guī)律方法] 在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟 (1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式. (2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積. (3)根據(jù)向量的方向,正確求出向量的夾角及向量的模. (4)代入公式ab=|a||b|cos〈a,b〉求解. [跟蹤訓(xùn)練] 1.(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn),則=________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342139】 a2 [= =+=a2cos 60=a2.] (2)在四面體OABC中,棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G為△ABC的重心,則(++)=________. [=+=+(+) =+[(-)+(-)] =++ ∴(++)=(++) =2+2+2 =22+32+12=.] 利用數(shù)量積證明空間的垂直關(guān)系 已知空間四邊形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分別是OA,BC的中點(diǎn),G是MN的中點(diǎn),求證:OG⊥BC. [解] 連接ON,設(shè)∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ, 又設(shè)=a,=b,=c, 則|a|=|b|=|c|. 又=(+) = =(a+b+c),=c-b. ∴=(a+b+c)(c-b) =(ac-ab+bc-b2+c2-bc) =(|a|2cos θ-|a|2cos θ-|a|2+|a|2)=0. ∴⊥,即OG⊥BC. [規(guī)律方法] 用向量法證明垂直關(guān)系的步驟 (1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題. (2)用已知向量表示所證向量. (3)結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0. (4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題. [跟蹤訓(xùn)練] 2.如圖3117,已知正方體ABCDA′B′C′D′,CD′與DC′相交于點(diǎn)O,連接AO,求證: 圖3117 (1)AO⊥CD′; (2)AC′⊥平面B′CD′. [證明] (1)因?yàn)椋剑剑?+), 因?yàn)椋剑? 所以 =(++2)(-)=(-+-+2-2)=(||2-||2)=0,所以⊥,故AO⊥CD′. (2)因?yàn)椋?++)(+) =+++++, 可知=0,=0, =0,=||2, =-||2,=0, 所以=||2-||2=0, 所以⊥,所以AC′⊥B′C. 同理可證,AC′⊥B′D′. 又B′C,B′D′?平面B′CD′,B′C∩B′D′=B′,所以AC′⊥平面B′CD′. 利用數(shù)量積求夾角 如圖3118,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45,∠OAB=60,求異面直線OA與BC的夾角的余弦值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342140】 圖3118 [思路探究] 求異面直線OA與BC所成的角,首先來(lái)求與的夾角,但要注意異面直線所成角的范圍是,而向量夾角的取值范圍為[0,π],注意角度的轉(zhuǎn)化. [解] ∵=-,∴=-=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉=84cos 135-86cos 120=24-16. ∴cos〈,〉===,∴異面直線OA與BC的夾角的余弦值為. [規(guī)律方法] 利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路 1.求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法:(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用空間向量的夾角定義來(lái)求,但要注意向量夾角的范圍;(2)先求ab,再利用公式cos〈ab〉=求cos〈a,b〉,最后確定〈a,b〉. 2.我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角,步驟如下: ①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量); ②異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題; ③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大??; ④異面直線所成的角為銳角或直角,利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值,進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小. [跟蹤訓(xùn)練] 3.如圖3119,已知直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90,D,E分別為AB,BB′的中點(diǎn). 圖3119 (1)求證:CE⊥A′D; (2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值. [解] (1)證明:設(shè)=a,=b,=c, 根據(jù)題意,|a|=|b|=|c|且ab=bc=ca=0. ∴=b+c,=-c+b-a. ∴=-c2+b2=0, ∴⊥,即CE⊥A′D. (2)∵=-a+c,∴||=|a|,||=|a|, ∵=(-a+c)=c2=|a|2, ∴cos〈,〉==. ∴異面直線CE與AC′所成角的余弦值為. 利用數(shù)量積求距離 [探究問(wèn)題] 1.異面直線AB,CD所成的角為60,則〈,〉的值是多少? 提示:〈,〉=60或120 2.如圖3120,已知線段AB⊥平面α,BC?α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30,D與A在α的同側(cè),若AB=BC=CD=2,試求A,D兩點(diǎn)間的距離. 圖3120 提示:∵=++,∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2BC+2CD+2=12+2(22cos 90+22cos 120+22cos 90)=8, ∴||=2,即A,D兩點(diǎn)間的距離為2. 如圖3121所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90,沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起,使AB與CD成60角,求此時(shí)B,D間的距離. 圖3121 [思路探究] →→ [解] ∵∠ACD=90,∴CD=0,同理可得=0.∵AB與CD成60角,∴〈,〉=60或〈,〉=120.又=++,∴||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+211cos〈,〉. ∴當(dāng)〈,〉=60時(shí),||2=4,此時(shí)B,D間的距離為2;當(dāng)〈,〉=120時(shí),||2=2,此時(shí)B,D間的距離為. [規(guī)律方法] 1.利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系,常把空間兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問(wèn)題加以計(jì)算. 2.用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟: (1)用向量表示此距離; (2)用其他向量表示此向量; (3)用公式aa=|a|2,求|a|; (4)|a|即為所求距離. [跟蹤訓(xùn)練] 4.如圖3122所示,在空間四邊形OABC中,OA,OB,OC兩兩成60角,且OA=OB=OC=2,E為OA的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn),試求E,F(xiàn)間的距離. 圖3122 [解] =+=+(+) =+[(-)+(-)] =-++, 所以=2+2+2+2+2+2=2. ∴||=,即E,F(xiàn)間的距離為. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為( ) A.-6 B.6 C.3 D.-3 B [由題意可得ab=0,e1e2=0, |e1|=|e2|=1, ∴(2e1+3e2)(ke1-4e2)=0, ∴2k-12=0,∴k=6.] 2.在正方體ABCDA1B1C1D1中,有下列命題: ①(++)2=32; ②(-)=0; ③與的夾角為60. 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342141】 A.1 B.2 C.3 D.0 B [對(duì)于①,(++)2=2+2+2=32,故①正確; 對(duì)于②,(-)==0,故②正確. 對(duì)于③,〈,〉=120,故③錯(cuò).] 3.在空間四邊形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,則cos〈,〉的值為( ) A. B. C.- D.0 D [=(-)=-=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||||-|||O|=0, ∴⊥,∴cos〈,〉=0.] 4.在空間四邊形ABCD中,++=________. 0 [原式=++(-)=(-)+(+) =+=0.] 5.如圖3123,三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點(diǎn),且BM=2A1M,C1N=2B1N.設(shè)=a,=b,=C. 圖3123 (1)試用a,b,c表示向量; (2)若∠BAC=90,∠BAA1=∠CAA1=60,AB=AC=AA1=1,求MN的長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342142】 [解] (1)=++ =++=(c-a)+a+(b-a) =a+b+C. (2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac =1+1+1+0+211+211=5, ∴|a+b+c|=, ∴||=|a+b+c|=, 即MN=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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