2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題4.7 正弦定理和余弦定理導(dǎo)學(xué)案 理.doc
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第七節(jié) 正弦定理和余弦定理 最新考綱 1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化,進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問題. 2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題. 知識(shí)梳理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi)容 ===2R.(R為△ABC外接圓半徑) a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 變形形式 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (3)sin A=,sin B=,sin C= cos A=; cos B=; cos C= 2.在△ABC中,已知a、b和A時(shí),解的情況如下: A為銳角 A為鈍角或直角 圖形 關(guān)系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的個(gè)數(shù) 一解 兩解 一解 一解 3.三角形常用面積公式 (1)S=aha(ha表示邊a上的高); (2)S=absin C=acsin B=bcsin A; (3)S=r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑). 4. 三角形中的常見結(jié)論 (1) A+B+C=π,變形:=-. (2) 在三角形中大邊對(duì)大角,大角對(duì)大邊:A>Ba>bsinA>sinB. (3) 任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊. (4)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B或2A+2B=π ?三角形為等腰或直角三角形; (5)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系: sin(A+B)=sin C; cos(A+B)=-cos C;sin=cos ; cos=sin . 典型例題 考點(diǎn)一 正弦定理解三角形 【例1】 在△ABC中,a=,b=,B=45.求角A、C和邊c. 【答案】當(dāng)A=60時(shí),C=75,c=;當(dāng)A=120時(shí),C=15,c=. 【解析】由正弦定理,得=,即=, ∴ sinA=. ∵ a>b,∴ A=60或A=120. 當(dāng)A=60時(shí),C=180-45-60=75,c==; 當(dāng)A=120時(shí),C=180-45-120=15,c==. 規(guī)律方法 正弦定理是一個(gè)連比等式,在運(yùn)用此定理時(shí),只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達(dá)到解決問題的目的,在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用. 【變式訓(xùn)練1】在△ABC中, (1) 若a=4,B=30,C=105,則b=________. (2) 若b=3,c=,C=45,則a=________. (3) 若AB=,BC=,C=30,則∠A=________. 【答案】(1) 2.(2) 無解.(3) ∠A=45或135. 【解析】(1) 已知兩角和一邊只有一解,由∠B=30,∠C=105,得∠A=45.由正弦定理,得b===2. (2) 由正弦定理得sinB==>1,∴ 無解. (3) 由正弦定理=,得=,∴ sinA=. ∵ BC>AB,∴ A>C,∴ ∠A=45或135. 考點(diǎn)二 余弦定理解三角形 【例2】 在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且=-. (1) 求角B的大小; (2) 若b=,a+c=4,求△ABC的面積. 【答案】(1) B=π.(2) S△ABC=. 規(guī)律方法 (1)運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用. (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角,求該三角形的其它邊角的問題時(shí),首先必須判斷是否有解,如果有解,是一解還是兩解,注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用. 【變式訓(xùn)練2】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,已知c=2,C=. (1) 若△ABC的面積等于,求a、b; (2) 若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面積. 【答案】(1) a=2,b=2. (2) S=. 【解析】(1) 由余弦定理及已知條件,得a2+b2-ab=4. 因?yàn)椤鰽BC的面積等于,所以absinC=,得ab=4. 聯(lián)立方程組 解得a=2,b=2. (2) 由題意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,所以sinBcosA=2sinAcosA. 當(dāng)cosA=0時(shí),A=,所以B=,所以a=,b=. 當(dāng)cosA≠0時(shí),得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a, 聯(lián)立方程組 解得a=,b=. 所以△ABC的面積S=absinC=. 考點(diǎn)三 三角形形狀的判定 【例3】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 【答案】 B 【解析】 ∵bcosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sinA=sin2A.又sinA>0,∴sinA=1,∴A=,故△ABC為直角三角形. 【題點(diǎn)發(fā)散1】 本例條件變?yōu)槿簦?,判斷△ABC的形狀. 【答案】△ABC為等腰三角形或直角三角形. 【解析】 由=,得=, ∴sinAcosA=cosBsinB,∴sin2A=sin2B. ∵A、B為△ABC的內(nèi)角,∴2A=2B或2A=π-2B, ∴A=B或A+B=,∴△ABC為等腰三角形或直角三角形. 【題點(diǎn)發(fā)散2】 本例條件變?yōu)槿鬭=2bcosC,判斷△ABC的形狀. 【答案】三角形定是等腰三角形. 【解析】法一:因?yàn)閍=2bcosC,所以由余弦定理得,a=2b,整理得b2=c2,則此三角形一定是等腰三角形. 法二:∵sinA=2sinBcosC,∴sin(B+C)=2sinBcosC,∴sin(B-C)=0,∵-π0,于是有cosB<0,B為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形. 規(guī)律方法 利用正、余弦定理判定三角形形狀的技巧 (1)“角化邊”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀. (2)“邊化角”:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過三角函數(shù)恒等變形,得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用A+B+C=π這個(gè)結(jié)論. 注意:在兩種解法的等式變形中,一般兩邊不要約去公因式,應(yīng)移項(xiàng)提取公因式,以免漏解. 【變式訓(xùn)練3】已知△ABC中,=,試判斷△ABC的形狀. 【答案】△ABC為等腰或直角三角形. 考點(diǎn)四 正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 【例4】 在△ABC中,A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c,且bcosB是acosC、ccosA的等差中項(xiàng).(1) 求B的大??; (2) 若a+c=,b=2,求△ABC的面積. 【答案】(1) B=.(2) S△ABC=. 【解析】(1) 由題意,得acosC+ccosA=2bcosB.由正弦定理, 得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB, 即sin(A+C)=2sinBcosB. ∵ A+C=π-B,0<B<π, ∴ sin(A+C)=sinB≠0. ∴ cosB=,∴ B=. (2) 由B=,得=,即=,∴ ac=2. ∴ S△ABC=acsinB=. 規(guī)律方法 三角形面積公式的應(yīng)用方法: (1)對(duì)于面積公式S=absin C=acsin B=bcsin A,一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式. (2)與面積有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化. 【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,acosC+asinC-b-c=0.(1) 求A; (2) 若a=2,△ABC的面積為,求b、c. 【答案】(1) A=.(2) b=c=2. 【解析】(1) 由acosC+asinC-b-c=0及正弦定理得sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0. 因?yàn)锽=π-A-C,所以sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. 由于sinC≠0,所以sin=. 又0b,∴B=45,∴A=180-60-45=75. 3.在△ABC中,A=60,AC=4,BC=2,則△ABC的面積等于________. 【答案】2. 【解析】由題意及余弦定理得cos A===,解得c=2,所以S=bcsin A=42sin 60=2. 4.在△ABC中,acos A=bcos B,則這個(gè)三角形的形狀為________. 【答案】等腰三角形或直角三角形. 【解析】由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形. 5.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,則c=________. 【答案】 4 【解析】 由3sinA=2sinB及正弦定理,得3a=2b,所以b=a=3.由余弦定理的推論得cosC=,得-=,解得c=4. 6.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=________. 【答案】 【解析】 由3sinA=5sinB,得3a=5b,a=b,又b+c=2a,所以c=b. 根據(jù)余弦定理的推論cosC=, 把a(bǔ)=b,c=b代入,化簡(jiǎn)得cosC=-,所以C=. 7. △ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=________. 【答案】 【解析】 法一:由2bcosB=acosC+ccosA及正弦定理, 得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA.∴2sinBcosB=sin(A+C). 又A+B+C=π,∴A+C=π-B.∴2sinBcosB=sin(π-B)=sinB. 又sinB≠0,∴cosB=.∴B=. 法二:∵在△ABC中,acosC+ccosA=b,∴條件等式變?yōu)?bcosB=b,∴cosB=. 又0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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