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課時跟蹤訓練(二) 命題及其關系、充分條件與必要條件
[基礎鞏固]
一、選擇題
1．(2017安徽馬鞍山模擬)命題“若△ABC有一內角為，則△ABC的三個內角成等差數列”的逆命題( )
A．與原命題同為假命題
B．與原命題的否命題同為假命題
C．與原命題的逆否命題同為假命題
D．與原命題同為真命題
[解析] 原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三個內角成等差數列，則△ABC有一內角為”，它是真命題．故選D.
[答案] D
2．(2017河北唐山二模)已知a，b為實數，則“a3
1，則p是q成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] q：2x>1?x>0，且(1,2)(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要條件．故選A.
[答案] A
5．已知p：(a－1)2≤1，q：?x∈R，ax2－ax＋1≥0，則p是q成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] 由(a－1)2≤1解得0≤a≤2，
∴p：0≤a≤2.
當a＝0時，ax2－ax＋1≥0對?x∈R恒成立；
當a≠0時，由得00)，若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是( )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] 條件p：－2≤x≤10，條件q：1－m≤x≤m＋1，又因為p是q的充分不必要條件，所以有或解得m≥9.故選B.
[答案] B
二、填空題
7．(2017北京卷)能夠說明“設a，b，c是任意實數．若a>b>c，則a＋b>c”是假命題的一組整數a，b，c的值依次為________．
[解析] 要使該命題為假命題，只需證a>b>c時，a＋b≤c(a，b，c∈R)為真命題，所以c0；命題q：x>a，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是________．
[解析] p：由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．又q：x>a，故a≥1.
[答案] [1，＋∞)
10．(2017山東威海教學質量檢測)下列命題：
①“全等三角形的面積相等”的逆命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題；③“正三角形的三個角均為60”的逆否命題．其中真命題的序號是________．
[解析]?、佟叭热切蔚拿娣e相等”的逆命題為“面積相等的兩個三角形全等”，顯然該命題為假命題；②“若ab＝0，則a＝0”的否命題為“若ab≠0，則a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不為零，故a≠0，所以②是真命題；③因為原命題“正三角形的三個角均為60是真命題，故其逆否命題也是真命題．故填②③.
[答案] ②③
[能力提升]
11．(2017全國卷Ⅰ)設有下面四個命題
p1：若復數z滿足∈R，則z∈R；
p2：若復數z滿足z2∈R，則z∈R；
p3：若復數z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝2；
p4：若復數z∈R，則∈R.
其中的真命題為( )
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
[解析] 設復數z＝a＋bi(a，b∈R)．
p1：＝＝－i∈R，則b＝0，∴z∈R，是真命題；
p2：z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，則2ab＝0，所以a＝0或b＝0.所以z為實數或純虛數，是假命題；
p3：設z1＝－2＋i，z2＝2＋i，則z1z2∈R，但z1≠2，是假命題；
p4：z∈R，所以b＝0，∴∈R，是真命題．故選B.
[答案] B
12．(2017河北衡水中學第三次調研)△ABC中，“角A，B，C成等差數列”是“sinC＝(cosA＋sinA)cosB”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析] 由角A，B，C成等差數列，得B＝；由sinC＝(cosA＋sinA)cosB，得sin(A＋B)＝(cosA＋sinA)cosB，化簡得cosAsin＝0，所以A＝或B＝，所以“角A，B，C成等差數列”是“sinC＝(cosA＋sinA)cosB”的充分不必要條件，故選A.
[答案] A
13．(2017吉林長春一模)設a，b都是非零向量，則使＝成立的充分條件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
[解析] 對于A，當a∥b且|a|＝|b|時，可能有a＝－b，此時≠；對于B，當a＝－b時，≠；對于C，當a∥b時，與可能不相等；對于D，當a＝2b時，＝＝.綜上所述，使＝成立的充分條件是a＝2b，選D.
[答案] D
14．(2017貴州貴陽月考)以下四個命題中，真命題的個數是( )
①“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”的逆命題；②存在正實數a，b，使得lg(a＋b)＝lga＋lgb；③“所有奇數都是素數”的否定是“至少有一個奇數不是素數”；④在△ABC中，A.因此選項D是滿足要求的一個充分不必要條件．故選D.
[答案] D
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