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第19講　圓周運動 考點一　描述圓周運動的物理量 1．圓周運動、勻速圓周運動 (1)圓周運動：物體的運動軌跡是圓周的運動。 (2)勻速圓周運動： ①定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度大小處處相等，這種運動叫做勻速圓周運動。 ②實質：勻速圓周運動是線速度大小不變，方向時刻改變的變速曲線運動。 2．描述勻速圓周運動的物理量 3．非勻速圓周運動 (1)定義：物體沿著圓周運動，但線速度大小發(fā)生變化。 (2)合力的作用： ①合力沿速度方向的分量Ft產生切向加速度，F(xiàn)t＝mat，它只改變速度的大小。 ②合力沿半徑方向的分量Fn產生向心加速度，F(xiàn)n＝man，它只改變速度的方向。 4．對公式v＝ωr的理解 (1)當r一定時，v與ω成正比。 (2)當ω一定時，v與r成正比。 (3)當v一定時，ω與r成反比。 5．對a＝＝ω2r的理解 (1)當v一定時，a與r成反比。 (2)當ω一定時，a與r成正比。 1．關于向心加速度，下列說法正確的是(　　) A．向心加速度越大，物體速率變化越快 B．向心加速度大小與軌道半徑成反比 C．向心加速度方向始終與速度方向垂直 D．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的 答案　C 解析　向心加速度描述速度方向變化的快慢，不改變速度的大小，A錯誤；只有在線速度一定時，向心加速度的大小才與軌道半徑成反比，B錯誤；向心加速度的方向沿圓周半徑指向圓心，與速度方向垂直，C正確；在勻速圓周運動中，向心加速度大小不變，方向時刻變化，D錯誤。 2. 如圖所示為質點P、Q做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖線，表示質點P的圖線是雙曲線，表示質點Q的圖線是過原點的一條直線，由圖線可知(　　) A．質點P的線速度大小不變 B．質點P的角速度大小不變 C．質點Q的角速度隨半徑變化 D．質點Q的線速度大小不變 答案　A 解析　由題圖知，質點P的向心加速度隨半徑r的變化曲線是雙曲線，因此可以斷定質點P的向心加速度aP與半徑r的乘積是一個常數(shù)k，即aPr＝k，aP＝，與向心加速度計算公式a＝對照可得v2＝k，即質點的線速度v＝，大小不變，A正確；同理，知道質點Q的向心加速度aQ＝k′r，與a＝ω2r對照可知ω2＝k′，ω＝(常數(shù))，質點Q的角速度保持不變，因此B、C、D錯誤。 3. (2018商丘模擬)近年許多電視臺推出戶外有獎沖關的游戲節(jié)目，如圖所示(俯視圖)是某臺設計的沖關活動中的一個環(huán)節(jié)。要求挑戰(zhàn)者從平臺A上跳到以O為轉軸的快速旋轉的水平轉盤上而不落入水中。已知平臺到轉盤盤面的豎直高度為1.25 m，平臺邊緣到轉盤邊緣的水平距離為1 m，轉盤半徑為2 m，以12.5 r/min的轉速勻速轉動，轉盤邊緣間隔均勻地固定有6個相同障礙樁，障礙樁及樁和樁之間的間隔對應的圓心角均相等。若某挑戰(zhàn)者在如圖所示時刻從平臺邊緣以水平速度沿AO方向跳離平臺，把人視為質點，不計樁的厚度，g取10 m/s2，則能穿過間隙跳上轉盤的最小起跳速度為(　　) A．1.5 m/s B．2 m/s C．2.5 m/s D．3 m/s 答案　C 解析　人起跳后做平拋運動，因此在豎直方向上有：y＝gt2，由此解得時間t＝0.5 s。轉盤的角速度為：ω＝2πn＝π rad/s，轉盤轉過θ＝，所用時間為：t＝＝0.4 s。要使人能跳過空隙，時間應該小于0.4 s，因此根據水平方向勻速運動有：x＝v0t。解得：v0＝2.5 m/s，C正確。 考點二　常見的幾種傳動方式 三種傳動裝置的比較 共軸傳動 皮帶傳動 齒輪傳動 裝置 共軸轉動的圓盤上各點的角速度、轉速、周期都相同(軸上的點除外)，線速度與半徑成正比 在皮帶不打滑的情況下，同一皮帶上各點與傳動輪輪緣上各點的線速度大小相等，而角速度與半徑成反比 兩個齒輪輪齒嚙合，如圖所示，其特點是兩個輪子在同一時間內轉過的齒數(shù)相等或者說兩齒輪邊緣上的各點線速度大小相等 特點 角速度相同，周期相同 輪緣上各點線速度大小相等 邊緣上各點線速度大小相等 轉動 方向 相同 相同 相反 規(guī)律 ωA＝ωB TA＝TB nA＝nB ＝ vA＝vB，＝， ＝ vA＝vB，＝， ＝＝。n1、n2表示兩齒輪的齒數(shù) 汽車后備箱蓋一般都配有可伸縮的液壓桿，如圖甲所示，其示意圖如圖乙所示，可伸縮液壓桿上端固定于后蓋上A點，下端固定于箱內O′點，B也為后蓋上一點，后蓋可繞過O點的固定鉸鏈轉動，在合上后備箱蓋的過程中(　　) A．A點相對O′點做圓周運動 B．A點與B點相對于O點轉動的線速度大小相等 C．A點與B點相對于O點轉動的角速度大小相等 D．A點與B點相對于O點轉動的向心加速度大小相等 解析　在合上后備箱蓋的過程中，O′A的長度是變化的，因此A點相對O′點不是做圓周運動，A錯誤；在合上后備箱蓋的過程中，A點與B點都是繞O點做圓周運動，相同的時間繞O點轉過的角度相同，即A點與B點相對O點的角速度相等，但是OB大于OA，根據v＝rω，所以B點相對于O點轉動的線速度大，故B錯誤，C正確；根據向心加速度公式a＝rω2可知，B點相對O點的向心加速度大于A點相對O點的向心加速度，故D錯誤。 答案　C 方法感悟 傳動問題是圓周運動部分的一種常見題型，在分析此類問題時，關鍵是要明確什么量相等，什么量不等，在通常情況下，應抓住以下兩個關鍵點： (1)同一旋轉物體上各點角速度ω、轉速n和周期T相等，而各點的線速度v＝ωr與半徑r成正比。 (2)在皮帶不打滑的情況下，皮帶和皮帶連接的輪子邊緣線速度的大小相等，不打滑的摩擦傳動兩輪邊緣上各點線速度大小也相等，而角速度ω＝與半經r成反比。 1. [教材母題]　(人教版必修2 P19T4)如圖是自行車傳動機構的示意圖。假設腳踏板每2 s轉1圈，要知道在這種情況下自行車前進的速度有多大，還需要測量哪些量？請在圖中用字母標注出來，并用這些量導出自行車前進速度的表達式。 用自行車實際測量這些數(shù)據，計算前進速度的大小，然后實測自行車的速度。對比一下，差別有多大？ [變式子題]　 如圖是自行車傳動裝置的示意圖，其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪，Ⅱ是半徑為r2的小齒輪，Ⅲ是半徑為r3的后輪，假設腳踏板的轉速為n(r/s)，則自行車前進的速度為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因為要計算自行車前進的速度，即車輪Ⅲ邊緣上的線速度的大小，根據題意知：輪Ⅰ和輪Ⅱ邊緣上的線速度的大小相等，根據v＝rω可知：r1ω1＝r2ω2，已知ω1＝2πn，則輪Ⅱ的角速度ω2＝ω1，因為輪Ⅱ和輪Ⅲ共軸，所以轉動的角速度相等，即ω3＝ω2，根據v＝rω可知，v3＝r3ω3＝＝。 2. 如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉動軸上，其半徑之比為RB∶RC＝3∶2。A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當A輪繞過其中心的豎直軸轉動時，由于摩擦作用，B輪也隨之無滑動地轉動起來。a、b、c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b、c三點在運動過程中的(　　) A．線速度大小之比為3∶2∶2 B．角速度之比為3∶3∶2 C．轉速之比為2∶3∶2 D．向心加速度大小之比為9∶6∶4 答案　D 解析　A、B輪摩擦傳動，故va＝vb，ωaRA＝ωbRB，ωa∶ωb＝3∶2；B、C同軸，故ωb＝ωc，＝，vb∶vc＝3∶2，因此va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝3∶2∶2，故A、B錯誤；轉速之比等于角速度之比，故C錯誤；由a＝ωv得aa∶ab∶ac＝9∶6∶4，D正確。 考點三　離心現(xiàn)象 1．關于離心運動，下列說法中正確的是(　　) A．物體突然受到離心力的作用，將做離心運動 B．做勻速圓周運動的物體，當提供向心力的合外力突然變大時將做離心運動 C．做勻速圓周運動的物體，只要提供向心力的合外力的數(shù)值發(fā)生變化，就將做離心運動 D．做勻速圓周運動的物體，當提供向心力的合外力突然消失或變小時將做離心運動 答案　D 解析　離心現(xiàn)象是做圓周運動的物體，當提供向心力的合外力突然減小或消失時遠離圓心的一種現(xiàn)象，所以A、B、C錯誤，D正確。 2．如圖所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做勻速圓周運動，若小球到達P點時F突然發(fā)生變化，下列關于小球運動的說法正確的是(　　) A．F突然消失，小球將沿軌跡Pa做離心運動 B．F突然變小，小球將沿軌跡Pa做離心運動 C．F突然變大，小球將沿軌跡Pb做離心運動 D．F突然變小，小球將沿軌跡Pc逐漸靠近圓心 答案　A 解析　若F突然消失，小球所受合外力突變?yōu)榱?，小球將沿切線方向勻速飛出，A正確；若F突然變小不足以提供所需向心力，小球將做逐漸遠離圓心的離心運動，B、D錯誤；若F突然變大，超過了所需向心力，小球將做逐漸靠近圓心的運動，C錯誤。 3．(多選)如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉的水平圓盤面上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍，三個物體的質量分別為2m、m、m，它們離轉軸的距離分別為R、R、2R。當圓盤勻速轉動時，A、B、C三個物體相對圓盤靜止，則下列判斷正確的是(　　) A．C物體所需要的向心力最小 B．B物體受到的靜摩擦力最小 C．當圓盤轉速增大時，C比A先滑動 D．當圓盤轉速增大時，B比C先滑動 答案　BC 解析　由于C物體與B物體質量相同，但C物體做圓周運動的半徑大，所以C物體所需要的向心力大于B物體所需要的向心力，故A錯誤；當圓盤勻速轉動時，A、B、C三個物體相對圓盤靜止，它們的角速度相同，向心力最小的是B物體，由于靜摩擦力提供向心力，所以B物體受到的靜摩擦力最小，故B正確；當圓盤轉速增大時，仍由靜摩擦力提供向心力，當所需向心力大于最大靜摩擦力時，物體開始滑動，由a＝ω2r可得半徑越大時，向心加速度越大，所以C最先滑動，故C正確，D錯誤。 課后作業(yè) [鞏固強化練] 1．在人們經常見到的以下現(xiàn)象中，不屬于離心現(xiàn)象的是(　　) A．舞蹈演員在表演旋轉動作時，裙子會張開 B．在雨中轉動一下傘柄，傘面上的雨水會很快地沿傘面運動，到達邊緣后雨水將沿切線方向飛出 C．滿載黃沙或石子的卡車，在急轉彎時，部分黃沙或石子會被甩出 D．守門員把足球踢出后，球在空中沿著弧線運動 答案　D 解析　舞蹈演員在表演旋轉動作時，裙子做圓周運動，受到的合力的大小不足以提供裙子所需要的向心力時，裙子遠離圓心，會張開，故A不符合題意；當雨傘轉動時雨滴所需要的向心力增加，當超過雨傘對雨滴的吸附力時，雨滴做離心運動，故B不符合題意；當卡車急轉彎時，部分黃沙或石子間的作用力不足以提供其所需的向心力，做離心運動，會被甩出，故C不符合題意；運動員將球踢出后球在空中運動，是由于慣性，故D符合題意。 2. 如圖為學員駕駛汽車在水平面上繞O點做勻速圓周運動的俯視示意圖。已知質量為60 kg的學員在A點位置，質量為70 kg的教練員在B點位置，A點的轉彎半徑為5.0 m，B點的轉彎半徑為4.0 m，則學員和教練員(均可視為質點)(　　) A．運動周期之比為5∶4 B．運動線速度大小之比為1∶1 C．向心加速度大小之比為4∶5 D．受到的合力大小之比為15∶14 答案　D 解析　因A、B的角速度相同，由T＝可知TA＝TB，A錯誤；由v＝ωr可知vA∶vB＝rA∶rB＝5∶4，B錯誤；同理由a＝ω2r可得aA∶aB＝5∶4，C錯誤；F向A∶F向B＝mArAω2∶mBrBω2，代入數(shù)據解得，F(xiàn)向A∶F向B＝15∶14，D正確。 3. 如圖所示，甲、乙兩水平圓盤緊靠在一塊，甲圓盤為主動輪，乙靠摩擦隨甲轉動且無滑動。甲圓盤與乙圓盤的半徑之比為r甲∶r乙＝3∶1，兩圓盤和小物體m1、m2之間的動摩擦因數(shù)相同，m1距O點為2r，m2距O′點為r，當甲緩慢轉動起來且轉速慢慢增加時(　　) A．m1與m2滑動前的角速度之比ω1∶ω2＝3∶1 B．m1與m2滑動前的向心加速度之比a1∶a2＝1∶3 C．隨轉速慢慢增加，m1先開始滑動 D．隨轉速慢慢增加，m2先開始滑動 答案　D 解析　甲、乙兩圓盤邊緣上的各點線速度大小相等，設乙圓盤的半徑為R，甲圓盤的半徑為3R，有：ω13R＝ω2R，則得ω1∶ω2＝1∶3，所以小物體相對盤開始滑動前，m1與m2的角速度之比為1∶3，故A錯誤；小物體相對盤開始滑動前，根據a＝ω2r得：m1與m2的向心加速度之比為a1∶a2＝(ω2r)∶(ωr)＝2∶9，故B錯誤；根據μmg＝mω2r可知，臨界角速度ω＝，m1和m2的臨界角速度之比為1∶，而m1和m2的角速度之比ω1∶ω2＝1∶3，可知當轉速增加時，m2先達到臨界角速度，所以m2先開始滑動，故D正確，C錯誤。 4. 如圖所示，兩個嚙合齒輪，小齒輪半徑為10 cm，大齒輪半徑為20 cm，大齒輪中C點離圓心O2的距離為10 cm，A、B分別為兩個齒輪邊緣上的點，則A、B、C三點的(　　) A．線速度之比為1∶1∶1 B．角速度之比為1∶1∶1 C．向心加速度之比為4∶2∶1 D．轉動周期之比為2∶1∶1 答案　C 解析　由題意知RB＝2RA＝2RC，而vA＝vB，即ωARA＝ωBRB，ωA∶ωB＝RB∶RA＝2∶1，又有ωB＝ωC，由v＝ωR，知vB＝2vC，故A、B、C三點線速度之比為2∶2∶1，角速度之比為2∶1∶1，因T＝，故周期之比為1∶2∶2，由a＝ω2R，可知向心加速度之比為(221)∶(122)∶(121)＝4∶2∶1，C正確。 5．(多選)如圖所示，有一皮帶傳動裝置，A、B、C三點到各自轉軸的距離分別為RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在傳動過程中，皮帶不打滑。則(　　) A．A點與C點的角速度大小相等 B．A點與C點的線速度大小相等 C．B點與C點的角速度大小之比為2∶1 D．B點與C點的向心加速度大小之比為1∶4 答案　BD 解析　處理傳動裝置類問題時，對于同一根皮帶連接的傳動輪邊緣的點，線速度大小相等；同軸轉動的點，角速度相等。對于本題，顯然vA＝vC，ωA＝ωB，B正確；根據vA＝vC及關系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，A錯誤；根據ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B點與C點的角速度大小之比為1∶2，C錯誤；根據ωB＝及關系式a＝ω2R，可得aB＝，即B點與C點的向心加速度大小之比為1∶4，D正確。 6. 如圖所示，置于圓形水平轉臺邊緣的小物塊隨轉臺加速轉動，當轉速達到某一數(shù)值時，物塊恰好滑離轉臺開始做平拋運動。現(xiàn)測得轉臺半徑R＝0.5 m，離水平地面的高度H＝0.8 m，物塊平拋落地過程水平位移的大小s＝0.4 m。設物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求： (1)物塊做平拋運動的初速度大小v0； (2)物塊與轉臺間的動摩擦因數(shù)μ。 答案　(1)1 m/s　(2)0.2 解析　(1)物塊做平拋運動，在豎直方向上有H＝gt2① 在水平方向上有s＝v0t② 由①②式解得v0＝s＝1 m/s③ (2)物塊離開轉臺時，最大靜摩擦力提供向心力，有 fm＝m④ fm＝μN＝μmg⑤ 由③④⑤式解得μ＝＝0.2。 [真題模擬練] 7．(2018江蘇高考)(多選)火車以60 m/s的速率轉過一段彎道，某乘客發(fā)現(xiàn)放在桌面上的指南針在10 s內勻速轉過了約10。在此10 s時間內，火車(　　) A．運動路程為600 m B．加速度為零 C．角速度約為1 rad/s D．轉彎半徑約為3.4 km 答案　AD 解析　圓周運動的弧長s＝vt＝6010 m＝600 m，A正確；火車轉彎是圓周運動，圓周運動是變速運動，所以合力不為零，加速度不為零，故B錯誤；由題意得圓周運動的角速度ω＝＝3.14 rad/s＝ rad/s，又v＝ωr，所r＝＝180 m＝3439 m，故C錯誤、D正確。 8．(2016上海高考)風速儀結構如圖a所示。光源發(fā)出的光經光纖傳輸，被探測器接收，當風輪旋轉時，通過齒輪帶動凸輪圓盤旋轉，當圓盤上的凸輪經過透鏡系統(tǒng)時光被擋住。已知風輪葉片轉動半徑為r，每轉動n圈帶動凸輪圓盤轉動一圈。若某段時間Δt內探測器接收到的光強隨時間變化關系如圖b所示，則該時間段內風輪葉片(　　) A．轉速逐漸減小，平均速率為 B．轉速逐漸減小，平均速率為 C．轉速逐漸增大，平均速率為 D．轉速逐漸增大，平均速率為 答案　B 解析　根據題意，從題圖b可以看出，在Δt時間內，探測器接收到光的時間在增長，凸輪圓盤的擋光時間也在增長，可以確定圓盤凸輪的轉動速度在減?。辉讦時間內可以從題圖看出有4次擋光，即凸輪圓盤轉動4周，則風輪葉片轉動了4n周，風輪葉片轉過的弧長為l＝4n2πr，葉片轉動速率為：v＝，故B正確。 9．(2013北京高考)某原子電離后其核外只有一個電子，若該電子在核的靜電力作用下繞核做勻速圓周運動，那么電子運動(　　) A．半徑越大，加速度越大 B．半徑越小，周期越大 C．半徑越大，角速度越小 D．半徑越小，線速度越小 答案　C 解析　根據庫侖力提供向心力，由k＝ma＝m2r＝mω2r＝m，知r越大，a越小，ω也越??；r越小，v越大，而T越小，則C正確，A、B、D錯誤。 10. (2018湖北省重點中學聯(lián)考)如圖所示，由于地球的自轉，地球表面上P、Q兩物體均繞地球自轉軸做勻速圓周運動，對于P、Q兩物體的運動，下列說法正確的是(　　) A．P、Q兩物體的角速度大小相等 B．P、Q兩物體的線速度大小相等 C．P物體的加速度比Q物體的加速度大 D．P、Q兩物體均受重力和支持力兩個力作用 答案　A 解析　地球不同位置的物體做勻速圓周運動的角速度相同，軌道半徑不等，由v＝rω和a＝rω2知A正確，B、C錯誤。P、Q兩物體受萬有引力和支持力兩個力作用，D錯誤。 11. (2018朔州模擬)(多選)如圖所示，粗糙水平圓盤上，質量相等的A、B兩物塊疊放在一起，隨圓盤一起做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　) A．B的向心力是A的向心力的2倍 B．盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍 C．A、B都有沿半徑向外滑動的趨勢 D．若B先滑動，則B對A的動摩擦因數(shù)μA小于盤對B的動摩擦因數(shù)μB 答案　BC 解析　A、B兩物塊的角速度大小相等，根據Fn＝mrω2，轉動半徑相等，質量相等，所以向心力相等，A錯誤； 對AB整體分析，F(xiàn)fB＝2mrω2，對A分析，有：FfA＝mrω2，知盤對B的摩擦力是B對A的摩擦力的2倍，B正確；A所受的靜摩擦力方向指向圓心，可知A有沿半徑向外滑動的趨勢，B受到盤的靜摩擦力和A對B的靜摩擦力的合力方向指向圓心，可知B有沿半徑向外滑動的趨勢，C正確；對AB整體分析，μB2mg＝2mrω，解得：ωB＝ ，對A分析：μAmg＝mrω，解得ωA＝ ，因為B先滑動，可知B先達到臨界角速度，可知B的臨界角速度較小，即μB<μA，D錯誤。 12. (2014天津高考)半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉動，A為圓盤邊緣上一點。在O的正上方有一個可視為質點的小球以初速度v水平拋出時，半徑OA方向恰好與v的方向相同，如圖所示。若小球與圓盤只碰一次，且落在A點，重力加速度為g，則小球拋出時距O的高度h＝________，圓盤轉動的角速度大小ω＝________。 答案　　(n＝1,2,3，…) 解析　小球做平拋運動，在豎直方向：h＝gt2① 在水平方向R＝vt ② 由①②兩式可得h＝③ 小球落在A點的過程中，OA轉過的角度θ＝2nπ＝ωt(n＝1,2，3，…)④ 由②④兩式得ω＝(n＝1,2,3，…)。