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第7章有限脈沖響應數(shù)字濾波器的設(shè)計 7 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點7 2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器7 3利用頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器7 4利用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器7 5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 有限脈沖響應 FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)指標的同時 很容易做到有嚴格的線性相位特性 用N表示FIR濾波器單位脈沖響應h n 的長度 其系統(tǒng)函數(shù)H z 為H z 是z 1的N 1次多項式 有N 1個零點 在原點z 0處有一個N 1重極點 因此 H z 永遠穩(wěn)定 穩(wěn)定和線性相位特性是FIR濾波器最突出的優(yōu)點 FIR濾波器設(shè)計任務(wù) 選擇有限長度的h n 使頻率響應函數(shù)H ej 滿足技術(shù)指標要求 7 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的條件和特點 1 線性相位FIR數(shù)字濾波器對于長度為N的h n 傳輸函數(shù)為 式中 Hg 稱為幅度特性 稱為相位特性 注意 這里Hg 不同于 H ej Hg 為 的實函數(shù) 可能取負值 而 H ej 總是正值 7 1 1 7 1 2 H ej 線性相位是指 是 的線性函數(shù) 即 為常數(shù) 7 1 3 如果 滿足下式 0 0是起始相位 7 1 4 嚴格地說 此時 不具有線性相位 但以上兩種情況都滿足群時延 相位特性曲線的斜率 是一個常數(shù) 即也稱這種情況為線性相位 滿足 7 1 3 式是第一類線性相位 滿足 7 1 4 式是第二類線性相位 0 2是第二類線性相位特性常用的情況 2 線性相位FIR的時域約束條件線性相位FIR濾波器的時域約束條件是指滿足線性相位時 對h n 的約束條件 1 第一類線性相位對h n 的約束條件 第一類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù) 可得 7 1 5 由上式得到 7 1 6 將 7 1 6 式中兩式相除得到 即 移項并用三角公式化簡得到 7 1 7 滿足 7 1 7 式的一組解是 函數(shù)h n sin n 關(guān)于求和區(qū)間的中心 N 1 2奇對稱 因為sin n 關(guān)于n 奇對稱 如果取 N 1 2 則要求h n 關(guān)于 N 1 2偶對稱 所以要求 和h n 滿足如下條件 7 1 8 即 如果要求單位脈沖響應為h n 長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第一類線性相位特性 嚴格線性相位特性 則h n 應當關(guān)于n N 1 2點偶對稱 當N確定時 FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個確知的線性函數(shù) 即 N 1 2 N為奇數(shù)和偶數(shù)時 h n 的對稱情況如表7 1 1中的情況1和情況2所示 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 2 第二類線性相位對h n 的約束條件 第二類線性相位FIR數(shù)字濾波器的相位函數(shù) 2 可得 滿足式 7 1 9 的一組解是 函數(shù)h n cos n 關(guān)于求和區(qū)間的中心 N 1 2奇對稱 因為cos n 關(guān)于n 偶對稱 如果取 N 1 2 則要求h n 關(guān)于 N 1 2奇對稱 所以要求 和h n 滿足如下條件 7 1 9 7 1 10 即 如果要求單位脈沖響應為h n 長度為N的FIR數(shù)字濾波器具有第二類線性相位特性 則h n 應當關(guān)于n N 1 2點奇對稱 當N確定時 FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個確知的線性函數(shù) 即 2 N 1 2 N為奇數(shù)和偶數(shù)時h n 的對稱情況如表7 1 1中情況3和情況4 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 2 線性相位FIR濾波器幅度特性Hg 的特點 幅度特性的特點就是線性相位FIR濾波器的頻域約束條件 將時域約束條件h n h N n 1 代入下式設(shè)h n 為實序列 即可推導出線性相位條件對FIR數(shù)字濾波器的幅度特性Hg 的約束條件 當N取奇數(shù)和偶數(shù)時對Hg 的約束不同 因此 對于兩類線性相位特性 下面分四種情況討論其幅度特性的特點 這些特點對正確設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器具有重要的指導作用 式中 表示取不大于 N 1 2的最大整數(shù) 顯然 僅當N為奇數(shù)時 M N 1 2 情況1 h n h N n 1 N為奇數(shù) 將時域約束條件h n h N n 1 和 代入式 7 1 1 和 7 1 2 得到 為了推導方便 引入兩個參數(shù)符號 所以 7 1 11 幅度特性Hg 分析 因為cos n 關(guān)于 0 2 三點偶對稱 所以Hg 關(guān)于 0 2 三點偶對稱 因此情況1可以實現(xiàn)各種 低通 高通 帶通 帶阻 濾波器 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 情況2 h n h N n 1 N為偶數(shù) 仿照情況1的推導方法得到 7 1 12 式中 因為 是偶數(shù) 所以當時 幅度特性Hg 分析 因為cos n 關(guān)于過零點奇對稱 關(guān)于 0和2 偶對稱 所以Hg 0 Hg 關(guān)于 奇對稱 關(guān)于 0和2 偶對稱 因此 情況2不能實現(xiàn)高通和帶阻濾波器 對N 12的低通情況 Hg 如表7 1 1中情況2所示 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 情況3 h n h N n 1 N為奇數(shù) 將時域約束條件 h n h N n 1 和 2 代入式并考慮得到 式中 N是奇數(shù) N 1 2是整數(shù) 所以 當 0 2 時 sin n 0 而且sin n 關(guān)于過零點奇對稱 因此Hg 關(guān)于 0 2 三點奇對稱 由此可見 情況3只能實現(xiàn)帶通濾波器 對N 13的帶通濾波器舉例 Hg 如表7 1 1中情況3所示 幅度特性Hg 分析 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 情況4 h n h N n 1 N為偶數(shù) 用情況3的推導過程可以得到 幅度特性Hg 分析 式中 N是偶數(shù) N 1 2 N 2 1 2 當 0 2 時 sin n 0 當 時 sin n 1 n N 2 為峰值點 而sin n 關(guān)于過零點 0和2 兩點奇對稱 關(guān)于峰值點 偶對稱 因此Hg 關(guān)于 0和2 兩點奇對稱 關(guān)于 偶對稱 由此可見 情況4不能實現(xiàn)低通和帶阻濾波器 對N 12的高通濾波器舉例 Hg 如表7 1 1中情況4所示 表7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的時域和頻域特性一覽 應當注意 對每一種情況表7 1 1僅畫出滿足幅度特性要求的一種例圖 例如 情況1僅以低通的幅度特性曲線為例 當然也可以畫出滿足情況1的幅度約束條件 Hg 關(guān)于 0 2 三點偶對稱 的高通 帶通和帶阻濾波器的幅度特性曲線 所以 僅從表7 1 1就認為情況1只能設(shè)計低通濾波器是錯誤的 3 線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布特點將h n h N 1 n 代入上式 得到 7 1 14 由上式可以看出 如z zi是H z 的零點 其倒數(shù)也必然是其零點 又因為h n 是實序列 H z 的零點必定共軛成對 因此也是其零點 這樣 線性相位FIR濾波器零點必定是互為倒數(shù)的共軛對 確定其中一個 另外三個零點也就確定了 如圖7 1 1中 當然 也有一些特殊情況 如圖7 1 1中z1 z2和z4情況 圖7 1 1線性相位FIR數(shù)字濾波器的零點分布 4 線性相位FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)N為偶數(shù) 則有 令m N n 1 則有 因為 如果N為奇數(shù) 則將中間項h N 1 2 單獨列出 和直接型結(jié)構(gòu)比較 N取偶數(shù) 直接型需要N個乘法器 而線性相位結(jié)構(gòu)減少到N 2個乘法器 節(jié)約了一半的乘法器 N取奇數(shù) 乘法器減少到 N 1 2個 也近似節(jié)約了近一半的乘法器 FIR濾波器直接型結(jié)構(gòu) 圖5 5 1第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖 圖5 5 2第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖 7 2利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器 7 2 1窗函數(shù)法設(shè)計原理 設(shè)希望逼近的濾波器頻率響應函數(shù)為Hd ej 其單位脈沖響應是hd n 通常以理想濾波器作為Hd ej 其幅度特性逐段恒定 在邊界頻率處有不連續(xù)點 因而hd n 是無限時寬的 且是非因果序列 例如 線性相位理想低通濾波器的頻率響應函數(shù)Hd ej 為 其單位脈沖響應hd n 為 7 2 2 7 2 1 hd n 是無限長非因果序列 hd n 的波形如圖7 2 1 a 所示 圖7 2 1窗函數(shù)設(shè)計法的時域波形 矩形窗 N 30 為了構(gòu)造一個長度為N的第一類線性相位FIR濾波器 只有將hd n 截取一段 并保證截取的一段關(guān)于n N 1 2偶對稱 設(shè)截取的一段用h n 表示 即 RN n 是一個矩形序列 長度為N 波形如圖7 2 1 b 所示 當 取值為 N 1 2時 截取的一段h n 關(guān)于n N 1 2偶對稱 保證所設(shè)計的濾波器具有線性相位 h n 就是所設(shè)計濾波器的單位脈沖響應 長度為N 其系統(tǒng)函數(shù)為H z 7 2 3 圖7 2 1窗函數(shù)設(shè)計法的時域波形 矩形窗 N 30 RN n 矩形序列 就是起對無限長序列的截斷作用 可以形象地把RN n 看做一個窗口 h n 則是從窗口看到的一段hd n 序列 所以稱h n hd n RN n 為用矩形窗對hd n 進行加窗處理 用有限長的序列h n 去代替hd n 肯定會引起誤差 在頻域會出現(xiàn)吉布斯 Gibbs 效應 1 引起過渡帶加寬2 通帶和阻帶內(nèi)出現(xiàn)波動 尤其使阻帶的衰減小 吉布斯效應是由于將hd n 直接截斷引起的 也稱截斷效應 圖7 2 2吉普斯效應 Hd ej 是一個以2 為周期的函數(shù) 可以展為傅里葉級數(shù) 即 傅里葉級數(shù)的系數(shù)為hd n 就是Hd ej 對應的單位脈沖響應 設(shè)計FIR濾波器就是 根據(jù)要求找到N個傅里葉級數(shù)系數(shù)h n n 0 1 2 N 1 以N項傅氏級數(shù)近似代替無限項傅氏級數(shù) 這樣在一些頻率不連續(xù)點附近會引起較大誤差 這種誤差就是截斷效應 窗函數(shù)法也稱為傅氏級數(shù)法 根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積定理 式的傅里葉變換 Hd ej 和WR ej 分別是hd n 和RN n 的傅里葉變換 分析用矩形窗截斷的影響和改進的措施 WRg 稱為矩形窗的幅度函數(shù) 如圖7 2 3 b WRg 的主瓣 圖中 2 N 2 N 區(qū)間上的一段波形WRg 的旁瓣 其余較小的波動 按照式 Hd ej Hdg e j 理想低通濾波器的幅度特性函數(shù) 圖7 2 3 a 為 圖7 2 3矩形窗加窗效應 將Hd ej 和WR ej 代入式 7 2 6 則 得到 加窗后的濾波器的幅度特性等于理想低通濾波器的幅度特性Hdg 與矩形窗幅度特性WRg 的卷積 圖7 2 3矩形窗加窗效應 圖7 2 2 f 表示Hdg 與WRg 卷積形成的Hg 波形當 0時 Hg 0 等于圖7 2 2 a 與 b 兩波形乘積的積分 相當于對WRg 在 c之間一段波形的積分 當 c 2 N時 近似為 之間波形的積分 將H 0 值歸一化到1 當 c時 情況如圖7 2 2 c 所示 當 c 2 N時 積分近似為WRg 一半波形的積分 對Hg 0 歸一化后的值近似為1 2 3 當 c 2 N時 情況如圖7 2 2 d 所示 WR 主瓣完全在區(qū)間 c c 之內(nèi) 而最大的一個負旁瓣移到區(qū)間 c c 之外 因此Hg c 2 N 有一個最大的正峰 當 c 2 N時 情況如圖7 2 2 e 所示 WRg 主瓣完全移到積分區(qū)間外邊 由于最大的一個負旁瓣完全在區(qū)間 c c 內(nèi) 因此Hg c 2 N 形成最大的負峰 圖7 2 2表明 Hg 最大的正峰與最大的負峰對應的頻率相距4 N 通過以上分析可知 對hd n 加矩形窗處理后 Hg 與原理想低通Hdg 的差別有以下兩點 對hd n 加矩形窗處理后 Hg 與Hdg 的差別 1 在理想特性不連續(xù)點 c附近形成過渡帶 過渡帶的寬度近似等于WRg 主瓣寬度4 N 2 通帶內(nèi)產(chǎn)生了波紋 最大的峰值在 c 2 N處 阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振 最大的負峰在 c 2 N處 通帶與阻帶中波紋的情況與窗函數(shù)的幅度譜有關(guān) WRg 旁瓣幅度的大小直接影響Hg 波紋幅度的大小 以上兩點就是對hd n 用矩形窗截斷后的吉布斯效應 通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性 阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減 可能使最小衰減不滿足技術(shù)指標要求 如何減少吉布斯效應的影響 增加矩形窗的長度就可減少吉布斯效應的影響 分析一下N加大時WRg 的變化 在主瓣附近 按照式 7 2 5 WRg 可近似為該函數(shù)的性質(zhì) N加大時 主瓣幅度加高 同時旁瓣也加高 保持主瓣和旁瓣幅度相對值不變 N加大時 WRg 的主瓣和旁瓣寬度變窄 波動的頻率加快 三種不同長度的矩形窗函數(shù)的幅度特性WRg 曲線如圖7 2 4 a b c 所示 用這三種窗函數(shù)設(shè)計的FIR濾波器的幅度特性Hg 曲線如圖7 2 4 d e f 所示 因此 當N加大時 Hg 的波動幅度沒有多大改善 帶內(nèi)最大肩峰比H 0 高8 95 阻帶最大負峰值為H 0 的8 95 使阻帶最小衰減只有21dB 加大N只能使Hg 過渡帶變窄 過渡帶近似為主瓣寬度4 N 因此加大N 并不是減小吉布斯效應的有效方法 圖7 2 4矩形窗函數(shù)長度的影響 分析表明 調(diào)整窗口長度N只能有效地控制過渡帶的寬度 而要減少帶內(nèi)波動以及增大阻帶衰減 只能從窗函數(shù)的形狀上找解決問題的方法 構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀 使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量 相應旁瓣幅度更小 旁瓣的減小可使通帶 阻帶波動減小 從而加大阻帶衰減 但這樣總是以加寬過渡帶為代價的 7 2 2典型窗函數(shù)介紹 介紹幾種常用窗函數(shù)的時域表達式 時域波形 幅度特性函數(shù) 衰減用dB計量 曲線 以及用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應和損耗函數(shù)曲線 Hd ej 取理想低通 c 2 窗函數(shù)長度N 31 窗函數(shù)的幾個參數(shù) 旁瓣峰值 n 窗函數(shù)的幅頻函數(shù) Wg 的最大旁瓣的最大值相對主瓣最大值的衰減值 dB 過渡帶寬度Bg 用該窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器 FIRDF 的過渡帶寬度 阻帶最小衰減 s 用該窗函數(shù)設(shè)計的FIRDF的阻帶最小衰減 圖7 2 4所示的矩形窗的參數(shù)為 n 13dB Bg 4 N s 21dB 1 矩形窗 RectangleWindow wR n RN n 其幅度函數(shù)為 2 三角形窗 BartlettWindow 7 2 8 其頻譜函數(shù)為 其幅度函數(shù)為 三角窗的四種波形如圖7 2 5所示 參數(shù)為 n 25dB Bg 8 N s 25dB 圖7 2 5三角窗的四種波形 3 漢寧 Hanning 窗 升余弦窗 7 2 11 當N 1時 N 1 N漢寧窗的幅度函數(shù)WHng 由三部分相加 旁瓣互相對消 使能量更集中在主瓣中 漢寧窗的四種波形如圖7 2 6所示 參數(shù)為 n 31dB Bg 8 N s 44dB 圖7 2 6漢寧窗的四種波形 4 哈明 Hamming 窗 改進的升余弦窗其頻譜函數(shù)WHm ej 為 其幅度函數(shù)WHmg 為當N 時 其可近似表示為 這種改進的升余弦窗 能量更加集中在主瓣中 主瓣的能量約占99 963 旁瓣峰值幅度為40dB 但其主瓣寬度和漢寧窗的相同 仍為8 N 哈明窗是一種高效窗函數(shù) 所以MATLAB窗函數(shù)設(shè)計函數(shù)的默認窗函數(shù)就是哈明窗 哈明窗的四種波形如圖7 2 7所示 參數(shù)為 n 41dB Bg 8 N s 53dB 圖7 2 7哈明窗的四種波形 7 2 13 5 布萊克曼 Blackman 窗 其頻譜函數(shù)為 其幅度函數(shù)為其幅度函數(shù)由五部分組成 它們都是移位不同 且幅度也不同的WRg 函數(shù) 使旁瓣再進一步抵消 旁瓣峰值幅度進一步增加 其幅度譜主瓣寬度是矩形窗的3倍 布萊克曼窗的四種波形如圖7 2 8所示 參數(shù)為 n 57dB B 12 N s 74dB 圖7 2 8布萊克曼窗的四種波形 6 凱塞 貝塞爾窗 Kaiser BaselWindow 以上五種窗函數(shù)都稱為參數(shù)固定窗函數(shù) 每種窗函數(shù)的旁瓣幅度都是固定的 凱塞 貝塞爾窗是一種參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù) 是一種最優(yōu)窗函數(shù) 7 2 15 式中 I0 是零階第一類修正貝塞爾函數(shù) 可用下面級數(shù)計算 一般I0 取15 25項 便可以滿足精度要求 參數(shù)可以控制窗的形狀 一般 加大 主瓣加寬 旁瓣幅度減小 典型數(shù)據(jù)為4 9 當 5 44時 窗函數(shù)接近哈明窗 7 865時 窗函數(shù)接近布萊克曼窗 在設(shè)計指標給定時 可以調(diào)整 值 使濾波器階數(shù)最低 所以其性能最優(yōu) 凱塞 Kaiser 給出的估算 和濾波器階數(shù)N的公式如下 7 2 17 式中 Bt s p 是數(shù)字濾波器過渡帶寬度 應當注意 因為式 7 2 17 為階數(shù)估算 所以必須對設(shè)計結(jié)果進行檢驗 另外 凱塞窗函數(shù)沒有獨立控制通帶波紋幅度 實際中通帶波紋幅度近似等于阻帶波紋幅度 凱塞窗的幅度函數(shù)為 7 2 16 7 2 18 對 的8種典型值 將凱塞窗函數(shù)的性能列于表7 2 1中 供設(shè)計者參考 由表可見 當 5 568 時 各項指標都好于哈明窗 6種典型窗函數(shù)基本參數(shù)歸納在表7 2 2中 可供設(shè)計時參考 表7 2 1凱塞窗參數(shù)對濾波器的性能影響 表7 2 26種窗函數(shù)的基本參數(shù) 表中過渡帶寬和阻帶最小衰減是用對應的窗函數(shù)設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率響應指標 圖7 2 4常用的窗函數(shù) 隨著數(shù)字信號處理的不斷發(fā)展 學者們提出的窗函數(shù)已多達幾十種 除了上述6種窗函數(shù)外 比較有名的還有Chebyshev窗 Gaussian窗 5 6 MATLAB信號處理工具箱提供了14種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù) 下面列出上述6種窗函數(shù)的產(chǎn)生函數(shù)及其調(diào)用格式 wn boxcar N 列向量wn中返回長度為N的矩形窗函數(shù)w n wn bartlett N 列向量wn中返回長度為N的三角窗函數(shù)w n wn hanning N 列向量wn中返回長度為N的漢寧窗函數(shù)w n wn hamming N 列向量wn中返回長度為N的哈明窗函數(shù)w n wn blackman N 列向量wn中返回長度為N的布萊克曼窗函數(shù)w n wn kaiser N beta 列向量wn中返回長度為N的凱塞 貝塞爾窗函數(shù)w n 7 2 3用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的步驟如下 1 根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的指標要求 選擇窗函數(shù)的類型 并估計窗口長度N a 窗函數(shù)類型選擇 按照阻帶衰減選擇 原則 在保證阻帶衰減滿足要求的情況下 盡量選擇主瓣窄的窗函數(shù) b 窗口長度N估計 根據(jù)過渡帶寬度 2 構(gòu)造希望逼近的頻率響應函數(shù)Hd ej 即 對所謂的 標準窗函數(shù)法 就是選擇Hd ej 為線性相位理想濾波器 理想低通 理想高通 理想帶通 理想帶阻 理想濾波器的截止頻率 c近似位于最終設(shè)計的 FIRDF的過渡帶的中心頻率點 幅度函數(shù)衰減一半 約 6dB 所以如果設(shè)計指標給定通帶邊界頻率和阻帶邊界頻率 p和 s 一般取 3 計算hd n 如果給出待求濾波器的頻響函數(shù)為Hd ej 那么單位脈沖響應用下式求出 如果Hd ej 較復雜 或者不能用封閉公式表示 則不能用上式求出hd n 可以采用頻域采樣法求取 4 加窗得到設(shè)計結(jié)果 h n hd n w n 5 驗算技術(shù)指標是否滿足要求 設(shè)計出的濾波器頻率響應用下式計算 例7 2 1 用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIRDF 要求通帶截止頻率 p 2rad 阻帶截止頻率 s 4rad 通帶最大衰減 p 1dB 阻帶最小衰減 s 40dB 解 1 選擇窗函數(shù)w n 計算窗函數(shù)長度N 已知阻帶最小衰減 s 40dB 由表 7 2 2 可知漢寧窗和哈明窗均滿足要求 選擇漢寧窗 過渡帶寬度Bt p s 4 漢寧窗的精確過渡帶寬度Bt 6 2 N 所以要求Bt 6 2 N 4 解之得N 24 8 對高通濾波器N必須取奇數(shù) 取N 25 有 2 構(gòu)造Hd ej 式中 3 求出hd n 將 12代入得 n 12 對應全通濾波器 是截止頻率為3 8的理想低通濾波器的單位脈沖響應 二者之差就是理想高通濾波器的單位脈沖響應 4 加窗 7 2 4窗函數(shù)法的MATLAB設(shè)計函數(shù)簡介實際設(shè)計時可調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)fir1實現(xiàn)窗函數(shù)法設(shè)計步驟 2 4 的解題過程 1 fir1用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器的工具箱函數(shù) 以實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的標準窗函數(shù)法設(shè)計 標準 是指在設(shè)計低通 高通 帶通和帶阻FIR濾波器時 Hd ej 分別表示相應的線性相位理想低通 高通 帶通和帶阻濾波器的頻率響應函數(shù) 因而將所設(shè)計的濾波器的頻率響應稱為標準頻率響應 fir1的調(diào)用格式及功能 hn fir1 M wc 返回6dB截止頻率為wc的M階FIR低通濾波器系數(shù)向量hn 默認選用哈明窗 濾波器單位脈沖響應h n 與向量hn的關(guān)系為 h n hn n 1 n 0 1 2 M而且滿足線性相位條件 h n h N 1 n 其中wc為對 歸一化的數(shù)字頻率 0 wc 1 當wc wcl wcu 時 得到的是帶通濾波器 其 6dB通帶為wcl wcu hn fir1 M wc ftype 可設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器 當ftype high時 設(shè)計高通FIR濾波器 當ftype stop時 且wc wcl wcu 時 設(shè)計帶阻FIR濾波器 應當注意 在設(shè)計高通和帶阻FIR濾波器時 階數(shù)M只能取偶數(shù) h n 長度N M 1為奇數(shù) 不過 當用戶將M設(shè)置為奇數(shù)時 fir1會自動對M加1 hn fir1 M wc window 可以指定窗函數(shù)向量window 如果缺省window參數(shù) 則fir1默認為哈明窗 例如 hn fir1 M wc bartlett M 1 使用Bartlett窗設(shè)計 hn fir1 M wc blackman M 1 使用blackman窗設(shè)計 hn fir1 M wc ftype window 通過選擇wc ftype和window參數(shù) 含義同上 可以設(shè)計各種加窗濾波器 2 fir2為任意形狀幅度特性的窗函數(shù)法設(shè)計函數(shù) 用fir2設(shè)計時 可以指定任意形狀的Hd ej 它實質(zhì)是一種頻率采樣法與窗函數(shù)法的綜合設(shè)計函數(shù) 主要用于設(shè)計幅度特性形狀特殊的濾波器 如數(shù)字微分器和多帶濾波器等 例7 2 1的設(shè)計程序如下 例7 2 1用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位高通FIR數(shù)字濾波器wp pi 2 ws pi 4 Bt wp ws 計算過渡帶寬度N0 ceil 6 2 pi Bt 根據(jù)表7 2 2漢寧窗計算所需 h n 長度N0 ceil x 取大于等 于x的最小整數(shù)N N0 mod N0 1 2 確保h n 長度N是奇數(shù)wc wp ws 2 pi 計算理想高通濾波器通帶截止 頻率 關(guān)于 歸一化 hn fir1 N 1 wc high hanning N 調(diào)用fir1計算高通FIR數(shù)字濾波 器的h n M 1024 hk fft hn M n 0 N 1 subplot 2 2 1 stem n hn line 0 30 0 0 xlabel n ylabel h n k 1 M 2 w 2 0 M 2 1 M subplot 2 2 2 plot w 20 log10 abs hk k axis 0 1 80 5 xlabel ylabel 20lg Hg gridon 運行程序得到h n 的25個值 h n 0 0004 0 00060 00280 0071 0 0000 0 0185 0 02100 01650 06240 03550 1061 0 28980 6249 0 2898 0 10610 03550 06240 0165 0 02100 0185 0 00000 00710 0028 0 0006 0 0004 高通FIR數(shù)字濾波器的h n 及損耗函數(shù)如圖7 2 9所示 圖7 2 9高通FIR數(shù)字濾波器的h n 波形及損耗函數(shù)曲線 例7 2 2 對模擬信號進行低通濾波處理 要求通帶0 f 1 5kHz內(nèi)衰減小于1dB 阻帶2 5kHz f 上衰減大于40dB 希望對模擬信號采樣后用線性相位FIR數(shù)字濾波器實現(xiàn)上述濾波 采樣頻率Fs 10kHz 用窗函數(shù)法設(shè)計滿足要求的FIR數(shù)字低通濾波器 求出h n 并畫出損耗函數(shù)曲線 為了降低運算量 希望濾波器階數(shù)盡量低 解 1 確定相應的數(shù)字濾波器指標 通帶截止頻率為 阻帶截止頻率為阻帶最小衰減為 s 40dB 2 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器 為了降低階數(shù)選擇凱塞窗 根據(jù)式 7 2 16 計算凱塞窗的控制參數(shù)為 指標要求過渡帶寬度Bt s p 0 2 根據(jù)式 7 2 17 計算濾波器階數(shù)為 取滿足要求的最小整數(shù)M 23 所以h n 長度為N M 1 24 理想低通濾波器的通帶截止頻率 c s p 2 0 4 所以由式 7 2 2 和式 7 2 3 得到 式中 w n 是長度為24 3 395 的凱塞窗函數(shù) 實現(xiàn)本例設(shè)計的MATLAB程序 用凱塞窗函數(shù)設(shè)計線性相位低通FIR數(shù)字濾波器fp 1500 fs 2500 rs 40 wp 2 pi fp Fs ws 2 pi fs Fs Bt ws wp 計算過渡帶寬度 alph 0 5842 rs 21 0 4 0 07886 rs 21 根據(jù) 7 2 16 式計算kaiser窗的控制參數(shù) N ceil rs 8 2 285 Bt 計算kaiser窗所需階數(shù)Nwc wp ws 2 pi 計算理想高通濾波器通帶截止頻率 關(guān)于 歸一化 hn fir1 N wc kaiser N 1 alph 調(diào)用kaiser計算低通FIRDF的h n M 1024 hk fft hn M n 0 N subplot 2 2 1 stem n hn line 0 30 0 0 xlabel n ylabel h n k 1 M 2 w 2 0 M 2 1 M subplot 2 2 2 plot w 20 log10 abs hk k axis 0 1 80 5 xlabel ylabel 20lg Hg gridon 運行程序得到h n 的24個值 h n 0 00390 0041 0 0062 0 01470 00000 02860 0242 0 0332 0 07550 00000 19660 37240 37240 1966 0 0000 0 0755 0 03320 02420 02860 0000 0 0147 0 00620 00410 0039 低通FIR數(shù)字濾波器的h n 波形和損耗函數(shù)曲線如圖7 2 10所示 圖7 2 10低通FIR數(shù)字濾波器的h n 波形及損耗函數(shù)曲線 例7 2 3 窗函數(shù)法設(shè)計一個線性相位FIR帶阻濾波器 要求通帶下截止頻率 lp 0 2 阻帶下截止頻率 ls 0 35 阻通帶上截止頻率 us 0 65 通帶上截止頻率 up 0 8 通帶最大衰減 p 1dB 阻帶最小衰減 s 60dB 解本例直接調(diào)用fir1函數(shù)設(shè)計 因為阻帶最小衰減 s 60dB 所以選擇布萊克曼窗 再根據(jù)過渡帶寬度選擇濾波器長度N 布萊克曼窗的過渡帶寬度Bt 12 N 所以 解之得N 80 調(diào)用參數(shù) 設(shè)計程序為ep723 m 參數(shù)計算也由程序完成 ep723 m 例7 2 3用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位帶阻FIR數(shù)字濾波器 wlp 0 2 pi wls 0 35 pi wus 0 65 pi wup 0 8 pi 設(shè)計指標參數(shù)賦值 B wls wlp 過渡帶寬度 N ceil 12 pi B 計算階數(shù)N ceil x 為大于等于x的最小整數(shù) wp wls wlp 2 pi wus wup 2 pi 設(shè)置理想帶通截止頻率 hn fir1 N wp stop blackman N 1 帶阻濾波器要求h n 長度為奇數(shù) 所以取N 1 省略繪圖部分程序運行結(jié)果 N 81 由于h n 數(shù)據(jù)量太大 因而僅給出h n 的波形及損耗函數(shù)曲線 如圖7 2 11所示 圖7 2 11帶阻FIR數(shù)字濾波器的h n 波形及損耗函數(shù)曲線 窗函數(shù)設(shè)計法簡單方便 易于實現(xiàn) 但存在以下缺點 濾波器邊界頻率不易精確控制 窗函數(shù)設(shè)計法總使通帶和阻帶波紋幅度相等 不能分別控制通帶和阻帶波紋幅度 但是工程上對二者的要求是不同的 希望能分別控制 所設(shè)計的濾波器在阻帶邊界頻率附近的衰減最小 距阻帶邊界頻率越遠 衰減越大 所以 如果在阻帶邊界頻率附近的衰減剛好達到設(shè)計指標要求 則阻帶中其他頻段的衰減就有很大富余量 說明這種設(shè)計法存在較大的資源浪費 或者說所設(shè)計濾波器的性能價格比低 7 4等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器等波紋最佳逼近法是一種優(yōu)化設(shè)計法 它克服了窗函數(shù)設(shè)計法和頻率采樣法的缺點 使最大誤差 波紋的峰值 最小化 并在整個頻段上均勻分布 等波紋 用等波紋最佳逼近法設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的幅頻響應在通帶和阻帶都是等波紋的 而且可以分別控制通帶和阻帶波紋幅度 最佳逼近 在濾波器長度給定條件下 使加權(quán)誤差波紋幅度最小化 本方法設(shè)計的濾波器性價比最高 階數(shù)相同時 最大逼近誤差最小 即通帶最大衰減最小 阻帶最小衰減最大指標相同時 階數(shù)最低 7 4等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器7 4 1等波紋最佳逼近法的基本思想用Hd 表示希望逼近的幅度特性函數(shù) 要求設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器時 Hd 必須滿足線性相位約束條件 用Hg 表示實際設(shè)計的濾波器幅度特性函數(shù) 定義加權(quán)誤差函數(shù)E 為 7 4 1 W 誤差加權(quán)函數(shù) 用來控制不同頻段 一般指通帶和阻帶 的逼近精度 等波紋最佳逼近基于切比雪夫逼近 在通帶和阻帶以 E 的最大值最小化為準則 采用Remez多重交換迭代算法求解濾波器系數(shù)h n 所以W 取值越大的頻段 逼近精度越高 開始設(shè)計時應根據(jù)逼近精度要求確定W 在Remez多重交換迭代過程中W 是確知函數(shù) 等波紋最佳逼近設(shè)計中 把數(shù)字頻段分為 逼近 或研究 區(qū)域 和 無關(guān)區(qū)域 逼近區(qū)域一般指通帶和阻帶 而無關(guān)區(qū)域一般指過渡帶 設(shè)計過程中只考慮對逼近區(qū)域的最佳逼近 應當注意 無關(guān)區(qū)寬度不能為零 即Hd 不能是理想濾波特性 利用等波紋最佳逼近準則設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器數(shù)學模型的建立及其求解算法的推導復雜 求解計算必須借助計算機 幸好濾波器設(shè)計專家已經(jīng)開發(fā)出MATLAB信號處理工具箱函數(shù)remezord和remez 只要簡單地調(diào)用這兩個函數(shù)就可以完成線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計 在介紹MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez之前 先介紹等波紋濾波器的技術(shù)指標及其描述參數(shù) 圖7 4 1給出了等波紋濾波器技術(shù)指標的兩種描述參數(shù) 圖7 4 1 a 用損耗函數(shù)描述 即 p 2 p 2dB s 11 20 s 20dB 這是工程實際中常用的指標描述方法 但是 用等波紋最佳逼近設(shè)計法求濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W 時 要求給出濾波器通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1和 2 圖7 4 1 b 給出了用通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1和 2描述的技術(shù)指標 顯然 兩種描述參數(shù)之間可以換算 如果設(shè)計指標以 p和 s給出 為了調(diào)用MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez進行設(shè)計 就必須由 p和 s換算出通帶和阻帶的振蕩波紋幅度 1和 2 對比圖7 4 2 a 和 b 得出關(guān)系式 7 4 2 7 4 3 由式 7 4 2 和 7 4 3 得到 7 4 4 7 4 5 圖7 4 1等波紋濾波器的幅頻特性函數(shù)曲線及指標參數(shù) 誤差加權(quán)函數(shù)W 的作用 以及濾波器階數(shù)N和波紋幅度 1和 2的制約關(guān)系 設(shè)期望逼近的通帶和阻帶分別為 0 4 和 5 16 對下面四種不同的控制參數(shù) 等波紋最佳逼近的損耗函數(shù)曲線分別如圖7 4 2 a b c 和 d 所示 圖中 W w1 w2 表示第一個逼近區(qū) 0 4 上的誤差加權(quán)函數(shù)W w1 第二個逼近區(qū) 5 16 上的誤差加權(quán)函數(shù)W w2 圖7 4 2 a 中 通帶頻段 上的W 1 阻帶頻段 5 16 上的W 10 圖7 4 2誤差加權(quán)函數(shù)W 和濾波器階數(shù)N對逼近精度的影響 比較圖7 4 2 a b c 和 d 可以得出結(jié)論 1 當N一定時 誤差加權(quán)函數(shù)W 較大的頻帶逼近精度較高 W 較小的頻帶逼近精度較低 2 如果改變W 使通 阻 帶逼近精度提高 則必然使阻 通 帶逼近精度降低 3 濾波器階數(shù)N增大才能使通帶和阻帶逼近精度同時提高 所以 W 和N由濾波器設(shè)計指標 即 p和 s以及過渡帶寬度 確定 1 根據(jù)給定的逼近指標估算濾波器階數(shù)N和誤差加權(quán)函數(shù)W 2 采用remez算法得到濾波器單位脈沖響應h n MATLAB工具箱函數(shù)remezord和remez就是完成以上2個設(shè)計步驟的有效函數(shù) 用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的過程是 7 4 2remez和remezord函數(shù)及濾波器設(shè)計指標1 remez和remezord函數(shù) 1 remez 采用remez算法可實現(xiàn)線性相位FIR數(shù)字濾波器的等波紋最佳逼近設(shè)計 其調(diào)用格式為 hn remez M f m w 調(diào)用結(jié)果返回單位脈沖響應向量hn remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù) M f m w 一般通過調(diào)用remezord函數(shù)來計算 調(diào)用參數(shù)含義如下 M為FIR數(shù)字濾波器階數(shù) hn長度N M 1 f和m給出希望逼近的幅度特性 f為邊界頻率向量 0 f 1 要求f為單調(diào)增向量 即f k f k 1 k 1 2 而且從0開始 以1結(jié)束 1對應數(shù)字頻率 模擬頻率Fs 2 Fs表示時域采樣頻率 m是與f對應的幅度向量 m與f長度相等 m k 表示頻點f k 的幅度響應值 如果用命令Plot f m 畫出幅頻響應曲線 則k為奇數(shù)時 頻段 f k f k 1 上的幅頻響應就是期望逼近的幅頻響應值 頻段 f k 1 f k 2 為無關(guān)區(qū) 簡言之 Plot f m 命令畫出的幅頻響應曲線中 起始頻段為第一段 奇數(shù)頻段為逼近區(qū) 偶數(shù)頻段為無關(guān)區(qū) 例如 對圖7 4 2 f 0 1 4 5 16 1 m 1 1 0 0 plot f m 畫出的幅度特性曲線如圖7 4 3所示 圖中奇數(shù)段 第一 三段 的水平幅度為希望逼近的幅度特性 偶數(shù)段 第二段 的下降斜線為無關(guān)部分 逼近時形成過渡帶 并不考慮該頻段的幅頻響應形狀 w為誤差加權(quán)向量 其長度為f的一半 w i 表示對m中第i個逼近頻段的誤差加權(quán)值 圖7 4 2 a 中 w 1 10 缺省w時 默認w為全1 即每個逼近頻段的誤差加權(quán)值相同 除了設(shè)計選頻FIR數(shù)字濾波器 remez函數(shù)還可以設(shè)計兩種特殊濾波器 希爾伯特變換器和數(shù)字微分器 調(diào)用格式分別為 hn remez M f m w hilbert hn remez M f m w defferentiator 希爾伯特變換器和數(shù)字微分器設(shè)計和應用的詳細內(nèi)容請參考文獻 10 19 2 remezord 采用remezord函數(shù) 可根據(jù)逼近指標估算等波紋最佳逼近FIR數(shù)字濾波器的最低階數(shù)M 誤差加權(quán)向量w和歸一化邊界頻率向量f 使濾波器在滿足指標的前提下造價最低 其返回參數(shù)作為remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù) 其調(diào)用格式為 M fo mo w remezord f m rip Fs 參數(shù)說明 f與remez中的類似 這里f可以是模擬頻率 單位為Hz 或歸一化數(shù)字頻率 但必須從0開始 到Fs 2 用歸一化頻率時對應1 結(jié)束 而且其中省略了0和Fs 2兩個頻點 Fs為采樣頻率 缺省時默認Fs 2Hz 但是這里f的長度 包括省略的0和Fs 2兩個頻點 是m的兩倍 即m中的每個元素表示f給定的一個逼近頻段上希望逼近的幅度值 例如 對圖7 4 3 f 1 4 5 16 m 1 0 圖7 4 3希望逼近的幅度特性曲線 注意 省略Fs時 f中必須為歸一化頻率 有時估算的階數(shù)M略小 使設(shè)計結(jié)果達不到指標要求 這時要取M 1或M 2 必須注意對濾波器長度N M 1的奇偶性要求 所以必須檢驗設(shè)計結(jié)果 如果無關(guān)區(qū) 過渡帶 太窄 或截止頻率太接近零頻率和Fs 2時 設(shè)計結(jié)果可能不正確 rip表示f和m描述的各逼近頻段允許的波紋幅度 幅頻響應最大偏差 f的長度是rip的兩倍 一般以 N fo mo w remezord f m rip Fs 返回的參數(shù)作為remez的調(diào)用參數(shù) 計算單位脈沖響應 hn remez N fo mo w 對比前面介紹的remez調(diào)用參數(shù) 可清楚地看出remezord返回參數(shù)N fo mo和w的含義 綜上所述 調(diào)用remez和remezord函數(shù)設(shè)計線性相位FIR數(shù)字濾波器 關(guān)鍵是根據(jù)設(shè)計指標求出remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f m rip和Fs 其中Fs一般是題目給定的 或根據(jù)實際信號處理要求 按照采樣定理 確定 下面給出由給定的各種濾波器設(shè)計指標確定remezord調(diào)用參數(shù)f m和rip的公式 編程時直接套用即可 2 濾波器設(shè)計指標1 低通濾波器設(shè)計指標 逼近通帶 0 p 通帶最大衰減 p dB 逼近阻帶 s 阻帶最小衰減 s dB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 6 其中 f向量省去了起點頻率0和終點頻率1 1和 2分別為通帶和阻帶波紋幅度 由式 7 4 4 和 7 4 5 計算得到 下面相同 2 高通濾波器設(shè)計指標 逼近通帶 p 通帶最大衰減 pdB 逼近阻帶 0 s 阻帶最小衰減 s dB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 7 3 帶通濾波器設(shè)計指標 逼近通帶 pl pu 通帶最大衰減 pdB 逼近阻帶 0 sl su 阻帶最小衰減 sdB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 8 4 帶阻濾波器設(shè)計指標 逼近阻帶 sl su 阻帶最大衰減 sdB 逼近通帶 0 pl pu 通帶最小衰減 p dB remezord調(diào)用參數(shù) 7 4 9 工程實際中常常給出對模擬信號的濾波指標要求 設(shè)計數(shù)字濾波器 對輸入模擬信號采樣后進行數(shù)字濾波 這時 調(diào)用參數(shù)f可以用模擬頻率表示 但是 調(diào)用remezord時一定要加入采樣頻率參數(shù)Fs 這種情況的調(diào)用參數(shù)及調(diào)用格式見例7 4 3 例7 4 1 利用等波紋最佳逼近法重新設(shè)計FIR帶阻通濾波器 指標與例7 2 3相同 即 逼近通帶 0 0 2 0 8 通帶最大衰減 p 1dB 逼近阻帶 0 35 0 65 阻帶最小衰減 s 60dB 解調(diào)用remezord和remez函數(shù)求解 由調(diào)用格式知道 首先要根據(jù)設(shè)計指標確定remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù) 再直接編寫程序調(diào)用remezord和remez函數(shù)設(shè)計得到h n 將設(shè)計指標帶入式 7 4 9 即可得到remezord函數(shù)的調(diào)用參數(shù)f m和rip 本例設(shè)計程序為ep741 m 即 ep741 m 例7 4 1用remez函數(shù)設(shè)計帶阻濾波器 f 0 2 0 35 0 65 0 8 省略了0和1 m 1 0 1 rp 1 rs 60 由式 7 4 4 和式 7 4 5 求通帶和阻帶波紋幅度dat1 dat2和rip dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat1 dat2 dat1 M fo mo w remezord f m rip hn remez M fo mo w 以下繪圖檢驗部分略去程序運行結(jié)果 M 28 即h n 的長度N 29 h n 及其損耗函數(shù)曲線如圖7 4 4所示 例7 2 3中N 80 由此例可見 等波紋最佳逼近設(shè)計方法可以使濾波器階數(shù)大大降低 圖7 4 4調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計的帶阻FIR數(shù)字濾波器的h n 及損耗函數(shù)曲線 注意 設(shè)計結(jié)果應當是單位脈沖響應h n 的數(shù)據(jù)序列 但是一般N較大 列出h n 的全部數(shù)據(jù)序列所占篇幅太大 而且從一大堆數(shù)據(jù)中看不出h n 的變化規(guī)律 所以每道例題只給出其波形 讀者運行程序就可以得到h n 的數(shù)據(jù) 例7 4 2 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計FIR數(shù)字低通濾波器 實現(xiàn)對模擬信號的數(shù)字濾波處理 要求與例7 2 2相同 求出h n 并畫出損耗函數(shù)曲線 解將例7 2 2中所給指標重和相頻特性曲線寫如下 通帶截止頻率 fp 1500Hz 通帶最大衰減 p 1dB 阻帶截止頻率 fs 2500Hz 阻帶最小衰減 s 40dB 對模擬信號的采樣頻率 Fs 10kHz 調(diào)用remezord和remez函數(shù)設(shè)計的程序為ep742 m 即 ep742 m 例7 4 2用remez函數(shù)設(shè)計低通濾波器 Fs 10000 對模擬信號采樣的頻率為1kHz f 1500 2500 邊界頻率為模擬頻率 Hz m 1 0 rp 1 rs 40 dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat1 dat2 M fo mo w remezord f m rip Fs 邊界頻率為模擬頻率 Hz 時必須加入采樣頻率Fs M M 1 估算的M值達不到要求 加1后滿足要求 hn remez M fo mo w 以下繪圖檢驗部分省略運行結(jié)果 濾波器階數(shù)M 15 h n 及損耗函數(shù)曲線如圖7 4 5所示 請讀者注意 例7 2 2中用窗函數(shù)設(shè)計的濾波器階數(shù)為23 圖7 4 5調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計的低通FIR數(shù)字濾波器的h n 及損耗函數(shù)曲線 7 5IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較 IIR與FIR濾波器各有所長 在實際應用中應該考慮多方面因素加以選擇 同時也要兼顧經(jīng)濟方面的要求以及計算工具的實際條件