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中檔題保分練(一) 1．(2018海淀區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝，2Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝an(n∈N*)，求{}的前n項和Tn. 解析：(1)當n＝2時，由2Sn＝Sn－1＋1及a1＝，得2S2＝S1＋1，即2a1＋2a2＝a1＋1，解得a2＝.又由2Sn＝Sn－1＋1，①　可知2Sn＋1＝Sn＋1，② ②－①得2an＋1＝an，即an＋1＝an(n≥2)，且n＝1時，＝適合上式， 因此數(shù)列{an}是以為首項，公比為的等比數(shù)列，故an＝(n∈N*)． (2)由(1)及bn＝an(n∈N*) ，可知bn＝logn＝n， 所以＝＝－， 故Tn＝＋＋…＋＝＝1－＝. 2．(2018濱州模擬)在如圖所示的幾何體ABCDEF中，底面ABCD為菱形，AB＝2a，∠ABC＝120?，AC與BD相交于O點，四邊形BDEF為直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，DE＝2BF＝2a，平面BDEF⊥底面ABCD. (1)證明：平面AEF⊥平面AFC； (2)求二面角EACF的余弦值． 解析：(1)證明：因為底面ABCD為菱形，所以AC⊥BD， 又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD， 因此AC⊥平面BDEF，從而AC⊥EF.又BD⊥DE，所以DE⊥平面ABCD， 由AB＝2a，DE＝2BF＝2a，∠ABC＝120?， 可知AF＝＝a，BD＝2a， EF＝＝a，AE＝＝2a， 從而AF2＋EF2＝AE2，故EF⊥AF. 又AF∩AC＝A，所以EF⊥平面AFC. 又EF?平面AEF，所以平面AEF⊥平面AFC. (2)取EF中點G，由題可知OG∥DE，所以OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，所以分別以，，的方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系Oxyz(如圖所示)， 則 O(0,0,0)，A(a,0,0)，C(－a,0,0)，E(0，－a,2a)，F(xiàn)(0，a，a)， 所以＝(0，－a,2a)－(a,0,0)＝(－a，－a,2a)，＝(－a,0,0)－(a,0,0)＝(－2a,0,0)，＝(0，a，a)－(0，－a,2a)＝(0,2a，－a)． 由(1)可知EF⊥平面AFC，所以平面AFC的法向量可取為＝(0,2a，－a)． 設平面AEC的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 即令z＝，得y＝4， 所以n＝(0,4，)． 從而cos〈n，〉＝＝＝. 故所求的二面角EACF的余弦值為. 3．(2018綿陽模擬)某校為緩解高三學生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓練活動，經(jīng)過一段時間的訓練后從該年級800名學生中隨機抽取100名學生進行測試，并將其成績分為A、B、C、D、E五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示(視頻率為概率)，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，回答下列問題： (1)試估算該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)； (2)若等級A、B、C、D、E分別對應100分、90分、80分、70分、60分，學校要求平均分達 90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”，請問該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)？ (3)為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學生的特點，現(xiàn)從A、B兩種級別中，用分層抽樣的方法抽取11個學生樣本，再從中任意選取3個學生樣本分析，求這3個樣本為A級的個數(shù)ξ的分布列與數(shù)學期望． 解析：(1)從條形圖中可知這100人中，有56名學生成績等級為B， 所以可以估計該校學生獲得成績等級為B的概率為＝， 則該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)約有800＝448. (2)這100名學生成績的平均分為(32100＋5690＋780＋370＋260)＝91.3， 因為91.3＞90，所以該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”已過關(guān)． (3)由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學生樣本，其中A級4個，B級7個，從而任意選取3個，這3個為A級的個數(shù)ξ的可能值為0,1,2,3. 則P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 因此可得ξ的分布列為： ξ 0 1 2 3 P 則E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. 4．請在下面兩題中任選一題作答 (選修4－4：坐標系與參數(shù)方程)在直角坐標系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，a＞0)，在以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ＝4sin θ . (1)試將曲線C1與C2化為直角坐標系xOy中的普通方程，并指出兩曲線有公共點時a的取值范圍； (2)當a＝3時，兩曲線相交于A，B兩點，求|AB|. 解析：(1)曲線C1：，消去參數(shù)t可得普通方程為(x－3)2＋(y－2)2＝a2. 曲線C2：ρ＝4sin θ，兩邊同乘ρ.可得普通方程為x2＋(y－2)2＝4. 把(y－2)2＝4－x2代入曲線C1的普通方程得：a2＝(x－3)2＋4－x2＝13－6x， 而對C2有x2≤x2＋(y－2)2＝4，即－2≤x≤2，所以1≤a2≤25.故當兩曲線有公共點時，a的取值范圍為[1,5]． (2)當a＝3時，曲線C1：(x－3)2＋(y－2)2＝9， 兩曲線交點A，B所在直線方程為x＝. 曲線x2＋(y－2)2＝4的圓心到直線x＝的距離為d＝， 所以|AB|＝2＝. (選修4－5：不等式選講)已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|. (1)在下面給出的直角坐標系中作出函數(shù)y＝f(x)的圖象，并由圖象找出滿足不等式f(x)≤3的解集； (2)若函數(shù)y＝f(x)的最小值記為m，設a，b∈R，且有a2＋b2＝m，試證明：＋≥. 解析：(1)因為f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝ 所以作出圖象如圖所示，并從圖可知滿足不等式f(x)≤3的解集為[－1,1]． (2)證明：由圖可知函數(shù)y＝f(x)的最小值為，即m＝.所以a2＋b2＝，從而a2＋1＋b2＋1＝， 從而＋＝[(a2＋1)＋(b2＋1)]＝≥＝. 當且僅當＝時，等號成立， 即a2＝，b2＝時，有最小值， 所以＋≥得證．