2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題七 系列4選講 第一講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程教案 文.docx
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第一講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線和圓的位置關(guān)系T22 1.坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一,高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面:一是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用. 2.全國(guó)課標(biāo)卷對(duì)此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn),難度中等,備考此部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. Ⅱ卷 曲線的參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義T22 Ⅲ卷 參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化T22 2017 Ⅰ卷 參數(shù)方程與普通方程的互化、點(diǎn)到直線的距離T22 Ⅱ卷 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法、三角形面積的最值問(wèn)題T22 Ⅲ卷 直線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法T22 2016 Ⅰ卷 參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用T23 Ⅱ卷 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系T23 Ⅲ卷 參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)的最值T23 極坐標(biāo)方程及應(yīng)用 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第67頁(yè) [悟通——方法結(jié)論] 1.圓的極坐標(biāo)方程 若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r,則圓的方程為:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ-r2=0. 幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程: (1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn),半徑為r:ρ=r; (2)當(dāng)圓心位于M(a,0),半徑為a:ρ=2acos θ; (3)當(dāng)圓心位于M,半徑為a:ρ=2asin θ. 2.直線的極坐標(biāo)方程 若直線過(guò)點(diǎn)M(ρ0,θ0),且極軸與此直線所成的角為α,則它的方程為:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程: (1)直線過(guò)極點(diǎn):θ=θ0和θ=π+θ0; (2)直線過(guò)點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸:ρcos θ=a; (3)直線過(guò)M且平行于極軸:ρsin θ=b. [全練——快速解答] 1.(2018高考全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程. 解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2. 由于點(diǎn)B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn); 當(dāng)k=-時(shí),l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn),l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=. 經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)k=0時(shí),l1與C2沒有公共點(diǎn); 當(dāng)k=時(shí),l2與C2沒有公共點(diǎn). 綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2. 2.(2017高考全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM||OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,點(diǎn)B在曲線C2上,求△OAB面積的最大值. 解析:(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ,θ)(ρ>0),M的極坐標(biāo)為(ρ1,θ)(ρ1>0). 由題設(shè)知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=. 由|OM||OP|=16得C2的極坐標(biāo)方程ρ=4cos θ(ρ>0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(ρB,α)(ρB>0), 由題設(shè)知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面積 S=|OA|ρBsin∠AOB =4cos α|sin| =2|sin-| ≤2+. 當(dāng)α=-時(shí),S取得最大值2+. 所以△OAB面積的最大值為2+. 3.(2018長(zhǎng)春二模)在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos=1,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn). (1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求M,N的極坐標(biāo); (2)設(shè)M,N的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程. 解析:(1)∵ρcos=1, ∴ρcos θcos +ρsin θsin=1. 又∴x+y=1, 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0, 令y=0,則x=2;令x=0,則y=. ∴M(2,0),N. ∴M的極坐標(biāo)為(2,0),N的極坐標(biāo)為. (2)∵M(jìn),N連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為, ∴P的極角為θ=, ∴直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). 【類題通法】 1.極坐標(biāo)方程與普通方程互化技巧 (1)巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時(shí)平方技巧,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到普通方程. (2)巧借兩角和差公式,轉(zhuǎn)化ρsin(θα)或ρcos(θα)的結(jié)構(gòu)形式,進(jìn)而利用互化公式得到普通方程. (3)將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcos θ,將y換成ρsin θ,即可得到其極坐標(biāo)方程. 2.求解與極坐標(biāo)有關(guān)的問(wèn)題的主要方法 (1)直接利用極坐標(biāo)系求解,可與數(shù)形結(jié)合思想配合使用. (2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系,用直角坐標(biāo)求解.若結(jié)果要求的是極坐標(biāo),還應(yīng)將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo). 參數(shù)方程 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第68頁(yè) [悟通——方法結(jié)論] 幾種常見曲線的參數(shù)方程 (1)圓 以O(shè)′(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中α是參數(shù). 當(dāng)圓心在(0,0)時(shí),方程為其中α是參數(shù). (2)橢圓 橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù). 橢圓+=1(a>b>0)的參數(shù)方程是其中φ是參數(shù). (3)直線 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù). [全練——快速解答] 1.(2018高考全國(guó)卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程; (2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率. 解析:(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為+=1. 當(dāng)cos α≠0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為y=tan αx+2-tan α, 當(dāng)cos α=0時(shí),l的直角坐標(biāo)方程為x=1. (2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.① 因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi),所以①有兩個(gè)解,設(shè)為t1,t2,則t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直線l的斜率k=tan α=-2. 2.(2017高考全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo); (2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為,求a. 解析:(1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時(shí),直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由 解得或 從而C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),. (2)直線l的普通方程為x+4y-a-4=0,故C上的點(diǎn)(3cos θ,sin θ)到l的距離為 d=. 當(dāng)a≥-4時(shí),d的最大值為. 由題設(shè)得=,解得a=8; 當(dāng)a<-4時(shí),d的最大值為. 由題設(shè)得=, 解得a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 3.(2018惠州模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos θ.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)). (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,求直線l的傾斜角α的值. 解析:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ. ∵x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ, ∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4. (2)將代入曲線C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化簡(jiǎn)得t2-2tcos α-3=0. 設(shè)A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則. ∴|AB|=|t1-t2|===, ∴4cos2α=2,cos α=,α=或. 【類題通法】 1.有關(guān)參數(shù)方程問(wèn)題的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù),要根據(jù)參數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化. (2)利用參數(shù)方程解決問(wèn)題,關(guān)鍵是選準(zhǔn)參數(shù),理解參數(shù)的幾何意義. 2.利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問(wèn)題 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).若A,B為直線l上兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0,則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到: (1)t0=; (2)|PM|=|t0|=; (3)|AB|=|t2-t1|; (4)|PA||PB|=|t1t2|. 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第69頁(yè) (2017高考全國(guó)卷Ⅲ)(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線C. (1)寫出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑. [規(guī)范解答] (1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2). (2分) 設(shè)P(x,y),由題設(shè)得消去k得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0). (4分) (2)C的極坐標(biāo)方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π). 聯(lián)立 (6分) 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故tan θ=-, 從而cos2θ=,sin2θ=. (8分) 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5, 所以交點(diǎn)M的極徑為. (10分) 【類題通法】 解決極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合問(wèn)題的方法 (1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下,我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程,這樣思路可能更加清晰. (2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題,用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)捷. (3)利用極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題時(shí),要注意題目所給的限制條件及隱含條件. [練通——即學(xué)即用] 1.(2018惠州模擬)已知曲線C:(α為參數(shù))和定點(diǎn)A(0,),F(xiàn)1,F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點(diǎn),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線AF2的極坐標(biāo)方程; (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M,N兩點(diǎn),求||MF1|-|NF1||的值. 解析:(1)曲線C:可化為+=1,故曲線C為橢圓, 則焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0). 所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x+=1,即x+y-=0, 所以直線AF2的極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=. (2)由(1)知,直線AF2的斜率為-,因?yàn)閘⊥AF2,所以直線l的斜率為,即傾斜角為30?,所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 代入橢圓C的方程中,得13t2-12t-36=0. 因?yàn)辄c(diǎn)M,N在點(diǎn)F1的兩側(cè),所以||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=. 2.(2018長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)在直角坐標(biāo)系中,已知曲線M的參數(shù)方程為(β為參數(shù)),在極坐標(biāo)系中,直線l1的方程為α1=θ,直線l2的方程為α2=θ+. (1)寫出曲線M的普通方程,并指出它是什么曲線; (2)設(shè)l1與曲線M交于A,C兩點(diǎn),l2與曲線M交于B,D兩點(diǎn),求四邊形ABCD面積的取值范圍. 解析:(1)由(β為參數(shù)),消去參數(shù)β,得曲線M的普通方程為(x-1)2+(y-1)2=8, ∴曲線M是以(1,1)為圓心,2為半徑的圓. (2)設(shè)|OA|=ρ1,|OC|=ρ2, ∵O,A,C三點(diǎn)共線,則|AC|=|ρ1-ρ2|=(*), 將曲線M的方程化成極坐標(biāo)方程, 得ρ2-2ρ(sin θ+cos θ)-6=0, ∴代入(*)式得|AC|=. 用θ+代替θ,得|BD|=, 又l1⊥l2,∴S四邊形ABCD=|AC||BD|, ∴S四邊形ABCD==2, ∵sin22θ∈[0,1],∴S四邊形ABCD∈[8,14]. 授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第143頁(yè) 1.已知曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin(θ+),直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x. (1)求曲線C1和直線l的極坐標(biāo)方程; (2)已知直線l分別與曲線C1、曲線C2相交于異于極點(diǎn)的A,B兩點(diǎn),若A,B的極徑分別為ρ1,ρ2,求|ρ2-ρ1|的值. 解析:(1)曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 其普通方程為x2+(y-1)2=1,極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. ∵直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x, 故直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R). (2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ, 直線l的極坐標(biāo)方程為θ=, 將θ=代入C1的極坐標(biāo)方程得ρ1=1, 將θ=代入C2的極坐標(biāo)方程得ρ2=4, ∴|ρ2-ρ1|=3. 2.(2018開封模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C2:(x-2)2+y2=4,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程和交點(diǎn)A的坐標(biāo)(非坐標(biāo)原點(diǎn)); (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為B(非坐標(biāo)原點(diǎn)),求△OAB的最大面積. 解析:(1)由(t為參數(shù))得曲線C1的普通方程為y=xtan α,故曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R).將x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(x-2)2+y2=4,得C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ.故交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4cos α,α). (2)由題意知,B的極坐標(biāo)為(2,). ∴S△OAB=|24cos αsin(-α)|=|2sin(2α-)-2|, 故△OAB的最大面積是2+2. 3.(2018長(zhǎng)春模擬)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,2),點(diǎn)C的極坐標(biāo)為(3,),若直線l過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為,圓C以點(diǎn)C為圓心,3為半徑. (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程; (2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA||PB|. 解析:(1)由題意得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=6sin θ. (2)由(1)易知圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+(y-3)2=9, 把代入x2+(y-3)2=9,得t2+(-1)t-7=0, 設(shè)點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,∴t1t2=-7, 又|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴|PA||PB|=7. 4.(2018唐山模擬)極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸,兩種坐標(biāo)系的長(zhǎng)度單位相同.已知圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4(cos θ+sin θ),P是C1上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在射線OP上且滿足|OQ|=|OP|,點(diǎn)Q的軌跡為C2. (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程,并化為直角坐標(biāo)方程; (2)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤φ<π),l與曲線C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求φ的值. 解析:(1)設(shè)點(diǎn)P,Q的極坐標(biāo)分別為(ρ0,θ),(ρ,θ),則 ρ=ρ0=4(cos θ+sin θ)=2(cos θ+sin θ), 點(diǎn)Q的軌跡C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2(cos θ+sin θ), 兩邊同乘以ρ,得ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)將l的參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程,得 (tcos φ+1)2+(tsin φ-1)2=2,即t2+2(cos φ-sin φ)t=0,t1=0,t2=2(sin φ-cos φ), 由直線l與曲線C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn),得sin φ-cos φ=0, 因?yàn)?≤φ<π,所以φ=.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2019高考數(shù)學(xué)一本策略復(fù)習(xí) 專題七 系列4選講 第一講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程教案 2019 高考 數(shù)學(xué) 策略 復(fù)習(xí) 專題 系列 第一 坐標(biāo)系 參數(shù) 方程 教案
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