2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題突破課時作業(yè)16 圓錐曲線的綜合問題 理.doc
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課時作業(yè)16 圓錐曲線的綜合問題 1.[2018全國卷Ⅱ]設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 解析:(1)解:由題意得F(1,0),l的方程為 y=k(x-1)(k>0). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0. Δ=16k2+16>0,故x1+x2=. 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=. 由題設(shè)知=8,解得k=-1(舍去)或k=1. 因此l的方程為y=x-1. (2)解:由(1)得AB的中點坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為y-2=-(x-3),即y=-x+5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0,y0),則 解得或 因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 2.[2018天津卷]設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的右頂點為A,上頂點為B,已知橢圓的離心率為,|AB|=. (1)求橢圓的方程. (2)設(shè)直線l:y=kx(k<0)與橢圓交于P,Q兩點,l與直線AB交于點M,且點P,M均在第四象限.若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,求k的值. 解析:(1)解:設(shè)橢圓的焦距為2c,由已知有=,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.又|AB|==,從而a=3,b=2. 所以,橢圓的方程為+=1. (2)解:設(shè)點P的坐標(biāo)為(x1,y1),點M的坐標(biāo)為(x2,y2),由題意知,x2>x1>0,點Q的坐標(biāo)為(-x1,-y1). 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍,可得|PM|=2|PQ|,從而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1. 易知直線AB的方程為2x+3y=6, 由方程組消去y,可得x2=. 由方程組消去y, 可得x1=. 由x2=5x1,可得=5(3k+2),兩邊平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-,或k=-. 當(dāng)k=-時,x2=-9<0,不合題意,舍去; 當(dāng)k=-時,x2=12,x1=,符合題意. 所以,k的值為-. 3.[2018全國卷Ⅰ]設(shè)拋物線C:y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線l與C交于M,N兩點. (1)當(dāng)l與x軸垂直時,求直線BM的方程; (2)證明:∠ABM=∠ABN. 解析:(1)解:當(dāng)l與x軸垂直時,l的方程為x=2,可得點M的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2). 所以直線BM的方程為y=x+1或y=-x-1. (2)證明:當(dāng)l與x軸垂直時,AB為MN的垂直平分線, 所以∠ABM=∠ABN. 當(dāng)l與x軸不垂直時,設(shè)l的方程為y=k(x-2)(k≠0), M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0. 由得ky2-2y-4k=0, 可知y1+y2=,y1y2=-4. 直線BM,BN的斜率之和為kBM+kBN=+=.① 將x1=+2,x2=+2及y1+y2,y1y2的表達(dá)式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)===0. 所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的傾斜角互補,所以∠ABM=∠ABN. 綜上,∠ABM=∠ABN. 4.[2018北京卷]已知橢圓M:+=1(a>b>0)的離心率為,焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩個不同的交點A,B. (1)求橢圓M的方程; (2)若k=1,求|AB|的最大值; (3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個交點為C,直線PB與橢圓M的另一個交點為D,若C,D和點Q共線,求k. 解析:(1)解:由題意得解得a=,b=1. 所以橢圓M的方程為+y2=1. (2)解:設(shè)直線l的方程為y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 由得4x2+6mx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-,x1x2=. 所以|AB|= = = = . 當(dāng)m=0,即直線l過原點時,|AB|最大,最大值為. (3)解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由題意得x1+3y1=3,x2+3y2=3. 直線PA的方程為y=(x+2). 由得 [(x1+2)2+3y1]x2+12y1x+12y1-3(x1+2)2=0. 設(shè)C(xC,yC), 所以xC+x1==. 所以xC=-x1=. 所以yC=(xC+2)=. 設(shè)D(xD,yD), 同理得xD=,yD=. 記直線CQ,DQ的斜率分別為kCQ,kDQ, 則kCQ-kDQ=- =4(y1-y2-x1+x2). 因為C,D,Q三點共線, 所以kCQ-kDQ=0. 故y1-y2=x1-x2. 所以直線l的斜率k==1. 5.[2018太原市高三年級模擬試題(一)]已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,右焦點為F2(1,0),點B在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程; (2)若直線l:y=k(x-4)(k≠0)與橢圓C由左至右依次交于M,N兩點,已知直線A1M與A2N相交于點G,證明:點G在定直線上,并求出定直線的方程. 解析:(1)由F2(1,0),知c=1,由題意得所以a=2,b=,所以橢圓C的方程為+=1. (2)因為y=k(x-4),所以直線l過定點(4,0),由橢圓的對稱性知點G在直線x=x0上. 當(dāng)直線l過橢圓C的上頂點時,M(0,), 所以直線l的斜率k=-,由得或所以N, 由(1)知A1(-2,0),A2(2,0), 所以直線lA1M的方程為y=(x+2),直線lA2N的方程為y=-(x-2),所以G,所以G在直線x=1上. 當(dāng)直線l不過橢圓C的上頂點時,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由 得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0, 所以Δ=(-32k2)2-4(3+4k2)(64k2-12)>0,得-<k<, x1+x2=,x1x2=, 易得直線lA1M的方程為y=(x+2),直線lA2N的方程為y=(x-2),當(dāng)x=1時,=得2x1x2-5(x1+x2)+8=0, 所以-+=0顯然成立,所以G在直線x=1上. 6.[2018南昌市NCS0607項目第二次模擬]已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩定點A(-2,0),B(2,0)及動點C(x,y),△ABC的兩邊AC,BC所在直線的斜率之積為-. (1)求動點C的軌跡E的方程; (2)設(shè)P是y軸上的一點,若(1)中軌跡E上存在兩點M,N使得=2,求以AP為直徑的圓的面積的取值范圍. 解析:(1)由已知,kACkBC=-,即=-, 所以3x2+4y2=24,又三點構(gòu)成三角形,所以y≠0, 所以點C的軌跡E的方程為+=1(y≠0). (2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,t) 當(dāng)直線MN的斜率不存在時,可得M,N分別是短軸的兩端點,得到t=. 當(dāng)直線MN的斜率存在時,設(shè)直線MN的方程為y=kx+t(k≠0), M(x1,y1),N(x2,y2), 則由=2得x1=-2x2. ① 聯(lián)立得得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0, 當(dāng)Δ>0得64k2t2-4(3+4k2)(4t2-24)>0,整理得t2<8k2+6. 所以x1+x2=-,x1x2=, ② 由①②,消去x1,x2得k2=. 則解得<t2<6. 不妨取M(-2,0),可求得N,此時t=,由(1)知y≠0,故t2≠2. 綜上,≤t2<2或2<t2<6. 又以AP為直徑的圓的面積S=π, 所以S的取值范圍是∪.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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