2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專(zhuān)題 專(zhuān)題5 概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)整合學(xué)案 理.docx
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專(zhuān)題5 概率與統(tǒng)計(jì) 一、計(jì)數(shù)原理 1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別是什么? 分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題,各個(gè)步驟相互依存,只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事. 2.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)是什么? 公式 (1)Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)! (2)Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m! =n!m!(n-m)!(n,m∈N+,且m≤n) 特別地,Cn0=1 性質(zhì) (1)0!=1;Ann=n! (2)Cnm=Cnn-m;Cn+1m=Cnm+Cnm-1 3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是什么? 性質(zhì) 性質(zhì)描述 對(duì)稱(chēng)性 與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,即Cnk=Cnn-k 增減性 二項(xiàng)式系數(shù)Cnk 當(dāng)k0.5.故p=0.7. 答案? A 15.(2017全國(guó)Ⅱ卷理T13改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.08,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)= . 解析? 有放回地抽取,是一個(gè)二項(xiàng)分布模型,其中p=0.08,n=100,則D(X)=np(1-p)=1000.080.92=7.36. 答案? 7.36 二、解答題的命題特點(diǎn) 概率與統(tǒng)計(jì)綜合試題的題干閱讀量大,容易造成考生在數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化過(guò)程中失誤,得分率不高.這些試題主要考查古典概型,用樣本估計(jì)總體,利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè),獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,正態(tài)分布等.概率、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望交匯命題,高考對(duì)此類(lèi)題目的要求是能根據(jù)給出的或通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖表給出的相關(guān)數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程. 1.(2018全國(guó)Ⅱ卷理T18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位:億元)的折線(xiàn)圖. 為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線(xiàn)性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5t. (1)分別利用這兩個(gè)模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值. (2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠?并說(shuō)明理由. 解析? (1)利用模型①,從2000年開(kāi)始算起,2018年即t=19,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y^=-30.4+13.519=226.1(億元). 利用模型②,從2010年開(kāi)始算起,2018年即t=9,所以該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y^=99+17.59=256.5(億元). (2)利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 理由如下: (i)從折線(xiàn)圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線(xiàn)y=-30.4+13.5t上下,這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線(xiàn)性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線(xiàn)的附近,這說(shuō)明從2010年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì),利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線(xiàn)性模型y^=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì),因此利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. (ii)從計(jì)算結(jié)果看,相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理,說(shuō)明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠. 2.(2018全國(guó)Ⅰ卷,理T20)某工廠(chǎng)的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶(hù)之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0
0,f(p)單調(diào)遞增;當(dāng)p∈110,1時(shí),f(p)<0,f(p)單調(diào)遞減.
故f(p)max=f(p0)=f110,即p0=110.
(2)(i)由題意,剩余未作檢驗(yàn)的產(chǎn)品有180件,其中Y表示不合格品的件數(shù),其服從二項(xiàng)分布Y~B180,110.
故E(Y)=180110=18.
又X=40+25Y,
故E(X)=E(40+25Y)=40+2518=490(元).
(ii)若對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn),則需要的檢驗(yàn)費(fèi)為2002=400(元).
因?yàn)镋(X)=490>400,所以需要對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn).
3.(2018全國(guó)Ⅲ卷理T18)某工廠(chǎng)為提高生產(chǎn)效率,開(kāi)展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng),提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機(jī)分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位:min)繪制了如下莖葉圖:
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高?并說(shuō)明理由.
(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表:
超過(guò)m
不超過(guò)m
第一種生產(chǎn)方式
第二種生產(chǎn)方式
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異?
附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
解析? (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
理由如下:
(i)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人中,有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(ii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(iii)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘,用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(iv)由莖葉圖可知,用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多,關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱(chēng)分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多,關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱(chēng)分布.又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同,故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少,因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.
(2)由莖葉圖知m=79+812=80.
列聯(lián)表如下:
超過(guò)m
不超過(guò)m
第一種生產(chǎn)方式
15
5
第二種生產(chǎn)方式
5
15
(3)因?yàn)镵2的觀(guān)測(cè)值k=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.
4.(2017全國(guó)Ⅰ卷理T19)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線(xiàn)的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線(xiàn)上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望.
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線(xiàn)在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.
(i)試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性.
(ii)下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98
10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
經(jīng)計(jì)算得x-=116∑i=116xi=9.97,s=116∑i=116(xi-x-)2=116(∑i=116xi2-16x-2)≈0.212,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用樣本平均數(shù)x-作為μ的估計(jì)值μ^,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值σ^,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01).
附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ
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