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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理 (VI) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 已知全集 ，集合 ，，則 A. B. C. D. 2. 設(shè)命題 ：若定義域?yàn)? 的函數(shù) 不是偶函數(shù)，則 ，．命題 ： 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．則下列判斷錯(cuò)誤的是 A. 為假 B. 為真 C. 為真 D. 為假 3. 已知 ，，則 A. B. C. D. 4. 函數(shù) 的圖象大致為 A. B. C. D. 5. 已知正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)是2，一條拋物線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)該正六邊形相鄰的四個(gè)頂點(diǎn)，則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是 A. B. C. D. 6. 已知，為平面上的單位向量，與的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)，與的夾角為，平面區(qū)域D由所有滿(mǎn)足的點(diǎn)P組成，其中那么平面區(qū)域D的面積為 A. B. C. D. 7. 設(shè)命題p：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，q：實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則p是q的 A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 8. 若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿(mǎn)足，則的最小值為 A. B. 2 C. D. 8 9. 已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點(diǎn)A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圓C上存在點(diǎn)P，使得∠APB＝90，則m的最大值為 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知點(diǎn)A，F(xiàn)，P分別為雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)以及右支上的動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則雙曲線(xiàn)的離心率為 A. B. C. 2 D. 11. 設(shè)，若函數(shù) 在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 A. B. C. D. 12. 設(shè)實(shí)數(shù) ，若對(duì)任意的 ，不等式 恒成立，則 的最小值為 A. B. C. D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足及，且在上有，則________． 14. △ABC的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中b＝3，c＝2． O為△ABC的外心，則________． 15. 已知點(diǎn)及圓，一光線(xiàn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸上一點(diǎn)反射后與圓相切于點(diǎn)，則的值為_(kāi)_______． 16. 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 17. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)P在BC邊上，∠PAC＝60，PC＝2，AP＋AC＝4． （1）求∠ACP； （2）若△APB的面積是 ，求 ． 18. （本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，． （1）求的方程； （2）求過(guò)點(diǎn)，且與的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程． 19. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)． （1）證明：AE⊥PD； （2）若PA＝AB＝2，求二面角E-AF-C余弦值． 20. （本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓的離心率，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3． （1）求橢圓的方程； （2）斜率為的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，在平面上是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率均存在時(shí)，斜率之和是與l無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 21. （本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)，其中a∈R． （1）討論的單調(diào)性； （2）若函數(shù)存在極值，對(duì)于任意的，存在正實(shí)數(shù)，使得 試判斷與的大小關(guān)系并給出證明． （二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分. 22. （本小題滿(mǎn)分10分）已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)． (1)求曲線(xiàn)的普通方程和的直角坐標(biāo)方程； (2)若與相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，求的值． 23. （本小題滿(mǎn)分10分）已知函數(shù)． (1)若，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)m的最小值M； (2)在(1)的條件下，若正數(shù)a，b滿(mǎn)足，求的最小值． 佛山一中xx高三年級(jí)期中考數(shù)學(xué)（理科）答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D B D A D B C D A 二、填空題 13. 14. 15. 16. 2 三、解答題 17. （1） 在 中，因?yàn)?，，， 由余弦定理得 ，…………………………2分 所以 ， 整理得 ， 解得 ．所以 ．…………………………………………………………………4分 所以 是等邊三角形． 所以 ．………………………………………………………………………………5分 （2） 由于 是 的外角， 所以 ．……………………………………………………………………………6分 因?yàn)? 的面積是 ， 所以 ．………………………………………………………7分 所以 ．………………………………………………………………………………………8分 在 中， 所以 ．…………………………………………………………………………………10分 在 中，由正弦定理得 ，…………………………………11分 所以 ．……………………………………………………12分 18. (1)設(shè)，由題意得，的方程為．…………………1分 由得．……………………………………………………2分 ，故．…………………………………………………………3分 所以．…………………………………………4分 由題設(shè)知，解得（舍去），．……………………………………………5分 因此的方程為．……………………………………………………………………………6分 (2)由(1)得的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 所以的垂直平分線(xiàn)方程為，即．……………………………………8分 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則……………………………10分 解得或……………………………………………………………………………11分 因此所求圓的方程為或．……………………12分 19. （1） 因?yàn)樗睦忮F ，底面 為菱形， ，， 分別是 ， 的中點(diǎn)， 所以 是等邊三角形， 所以 ，…………………………………………1分 又因?yàn)樵诹庑? 中，， 所以 ，…………………………………………2分 因?yàn)?，，所以 ，………………………………3分 因?yàn)?，所以 ，………………………………………………………4分 因?yàn)?，所以 ．……………………………………………………………5分 （2） 由（）知 ，， 兩兩垂直，所以以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?， 分別為 ， 的中點(diǎn)，，所以 ，，， ，，，，……………………………………………………6分 所以 ，，………………………………………………………7分 設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ， 則 取 ，得 ，……………………………………………………………………9分 因?yàn)?，，，所以 ， 所以 為平面 的一個(gè)法向量．又 ，………………………………11分 所以 ． 因?yàn)槎娼? 為銳角， 所以所求二面角的余弦值為 ．………………………………………………………………………12分 20. (1) 設(shè)橢圓的半焦距為c，則，且．由解得．……2分 依題意，，于是橢圓的方程為．…………………………………………………4分 (2)設(shè)，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立得 則有……………………………………………………………………………6分 直線(xiàn)PA,PB的斜率之和 …………………9分 當(dāng)時(shí)斜率的和恒為0，解得…………………………………11分 綜上所述，所有滿(mǎn)足條件的定點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．…………………………………12分 21. 解?。?）函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)………………2分 情形一　a?0．此時(shí)，于是f(x)在上單調(diào)遞增；……………………………………3分 情形二　a>0．此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．………………………4分 （2）函數(shù)f(x)存在極值，因此a>0．根據(jù)題意，有 …………5分 而 …………6分 故只需要比較與的大?。? 令，則．當(dāng)時(shí)，，故在(1,＋∞)上單調(diào)遞增．因此，當(dāng)時(shí)，． 于是，，即．………………………………………………9分 于是………………………………………………………………………………10分 又在上單調(diào)遞減，因此進(jìn)而．……………………………12分 22. 解：(1)∵曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，，， ∴曲線(xiàn)的普通方程為．…………………………………………………………………2分 ∵曲線(xiàn)：，，，， ∴曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為．………………………………………………………………5分 (Ⅱ)由題意可設(shè)，與A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，將的參數(shù)方程代入C2的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)整理得，，，…………………………………7分 ，，， ．……………………………………………………………………………10分 23.解：(1)由題意，不等式有解，即．…………1分 ，…………………………………………………………………3分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)， ．…………………………………………………………………………………………………5分 (2)由(1)得， ，…………………………………8分 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，………………………………………………………9分 故．…………………………………………………………………………………10分