2018-2019學年高中數(shù)學 考點49 軌跡方程庖丁解題 新人教A版必修2.doc
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考點49 軌跡方程 要點闡述 在高考數(shù)學試題中,求動點軌跡是一個難點,也是一個重點.求動點軌跡方程常用的方法有:直接法、定義法、參數(shù)法,相關點法等. 典型例題 【例】已知動點P(x,y)與兩定點M(-1,0),N(1,0)連線的斜率之積等于–1.則動點P的軌跡C的方程為_______________. 【答案】x2+y2=1(x≠1). 【規(guī)律方法】求軌跡方程的一般步驟 (1)建立適當坐標系,設出動點M的坐標(x,y). (2)列出點M滿足條件的集合. (3)用坐標表示上述條件,列出方程f(x,y)=0. (4)將上述方程化簡. (5)證明化簡后的以方程的解為坐標的點都是軌跡上的點. 小試牛刀 1.方程y=表示的曲線是( ) A.一條射線 B.一個圓 C.兩條射線 D.半個圓 【答案】D 【解析】方程y=可化為x2+y2=9(y≥0), 所以方程y=表示圓x2+y2=9位于x軸上方的部分,是半個圓. 【易錯易混】要注意到y(tǒng)>0,應是個半圓. 2.方程x2 +y2+2ax–b2 =0表示的圖形是( ) A.一個圓 B.只有當a=0時,才能表示一個圓 C.一個點 D.a(chǎn),b不同時為0時,才能表示一個圓 【答案】D 【解析】當a=b=0時,原方程變?yōu)閤2+y2=0,表示一個點.當a2+b20時,方程x2+y2+2ax–b2=0表示一個圓. 3.在△ABC中,若頂點B、C的坐標分別是(-2,0)和(2,0),中線AD的長度是3,則點A的軌跡方程是( ) A.x2+y2=3 B.x2+y2=4 C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0) 【答案】C 【解析】中點D(0,0),由于|AD|為定長3,所以A點在以D為圓心,3為半徑的圓上,選C. 【規(guī)律總結】求軌跡方程時經(jīng)常遇到“去”或“補”的問題,當所求方程包括不合題意的點時,必須去 掉;當所求方程不含其他合乎條件的點時,必須補出來(如本例). 以上例題所用方法均是由題意所給出的等量關系直接列出方程所得,故稱“直接法”. 4.已知兩定點A(–2,0),B(1,0), 若動P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于( ) A.π B.4π C.8π D.9π 【答案】B 5.已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍,那么點M的軌跡方程是( ?。? A.x2+y2 =32 B.x2+y2 =16 C.(x–1)2+y2=16 D.x2+(y–1)2=16 【答案】B 【解析】設M(x,y),則M滿足整理得x2+y2= 16. 6.已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0. (1)求證:對任意m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點; (2)求弦AB的中點M的軌跡方程. 考題速遞 1.方程|x|-1= 所表示的曲線是( ) A.一個圓 B.兩個圓 C.一個半圓 D.兩個半圓 【答案】D 【解析】方程可化為(|x|-1)2+(y-1)2=1,又|x|-1≥0,所以x≥1或x≤-1.若x≤-1,方程為(x+1)2+(y-1)2=1;若x≥1,方程為(x-1)2+(y-1)2=1.方程表示兩個半圓. 2.動點A在圓x2+y2=1上移動時,它與定點B(3,0)連線的中點的軌跡方程是 . 【答案】(2x–3)2+4y2=1 【解析】設中點M(x,y),則動點A(2x–3,2y),∵A在圓x2+y2=1上,∴(2x–3)2+(2y)2=1, 即所求軌跡方程為(2x–3)2+4y2=1. 3.設方程,若該方程表示一個圓, m的取值范圍 ,這時圓心的軌跡方程 . 【答案】, 【解析】配方得: 4.設定點M(–3,4),動點N在圓x2+y2=4上運動,以OM,ON為兩邊作MONP,求點P的軌跡方程. 【解析】如圖所示,設P(x,y),N(x0,y0), 則線段OP的中點坐標為,線段MN的中點坐標為. 因為平行四邊形的對角線互相平分, 故, 則有即N(x+3,y–4). 又點N在圓x2+ y2=4上,故(x+3)2+(y–4)2=4. 因此點P的軌跡為圓(除去兩點), 其軌跡方程為(x+3)2+(y–4)2=4 (除去,兩點). 數(shù)學文化 天津之眼 天津之眼,全稱天津永樂橋摩天輪,坐落在天津海河畔,是一座跨河建設、橋輪合一的摩天輪,兼具觀光和交通功能.是世界上唯一建在橋上的摩天輪,是天津的地標之一. 摩天輪直徑為110米,輪外裝掛64個360度透明座艙,每個座艙可乘坐8個人,可同時供512個人觀光.摩天輪旋轉一周所需時間為30分鐘,到達最高處時,周邊景色一覽無余,甚至能看到方圓40公里以內(nèi)的景致,被譽為“天津之眼”.圖為天津之眼夜景.- 配套講稿:
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