《2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題39 數(shù)列與數(shù)學歸納法.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題39 數(shù)列與數(shù)學歸納法.doc（26頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

專題39 數(shù)列與數(shù)學歸納法 【熱點聚焦與擴展】 數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學方法，其應用主要體現(xiàn)在證明等式、證明不等式、證明整除性問題、歸納猜想證明等．本專題主要舉例說明利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題. 1、數(shù)學歸納法適用的范圍：關于正整數(shù)的命題（例如數(shù)列，不等式，整除問題等），則可以考慮使用數(shù)學歸納法進行證明 2、第一數(shù)學歸納法：通過假設成立，再結合其它條件去證成立即可.證明的步驟如下： （1）歸納驗證：驗證（是滿足條件的最小整數(shù)）時，命題成立 （2）歸納假設：假設成立，證明當時，命題也成立 （3）歸納結論：得到結論：時，命題均成立 3、第一歸納法要注意的地方： （1）數(shù)學歸納法所證命題不一定從開始成立，可從任意一個正整數(shù)開始，此時歸納驗證從開始 （2）歸納假設中，要注意，保證遞推的連續(xù)性 （3）歸納假設中的，命題成立，是證明命題成立的重要條件.在證明的過程中要注意尋找與的聯(lián)系 4、第二數(shù)學歸納法：在第一數(shù)學歸納法中有一個細節(jié)，就是在假設命題成立時，可用的條件只有，而不能默認其它的時依然成立.第二數(shù)學歸納法是對第一歸納法的補充，將歸納假設擴充為假設，命題均成立，然后證明命題成立.可使用的條件要比第一歸納法多，證明的步驟如下： （1）歸納驗證：驗證（是滿足條件的最小整數(shù)）時，命題成立 （2）歸納假設：假設成立，證明當時，命題也成立 （3）歸納結論：得到結論：時，命題均成立. 5.注意點：對于歸納猜想證明類問題，有三個易錯點.一是歸納結論不正確；二是應用數(shù)學歸納法，確認n的初始值n0不準確；三是在第二步證明中，忽視應用歸納假設. 【經典例題】 例1.【2018屆重慶市第一中學5月月考】已知為正項數(shù)列的前項和，，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為______. 【答案】 【解析】分析：由題意首先求得，然后利用題意結合函數(shù)的性質確定最小值即可. 詳解：由題意結合， 以下用數(shù)學歸納法進行證明： 當時，結論是成立的， 假設當時，數(shù)列的通項公式為：，則， 由題意可知：， 結合假設有：，解得：， 綜上可得數(shù)列的通項公式是正確的. 據此可知：，， 利用等差數(shù)列前n項和公式可得：， 則， 結合對勾函數(shù)的性質可知，當或時，取得最小值， 當時， 當時， 由于，據此可知的最小值為. 點睛：本題的關鍵在于合理利用歸納推理得到數(shù)列的通項公式.歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法． 例2. 設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，滿足Sn＝2an－2 (n∈N*) （1）求的值，并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式an； （2）用數(shù)學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想． 【答案】（1）；（2）見解析. 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2a4－2，∴a4＝16. 由此猜想： (n∈N*)． (2)證明：①當n＝1時，a1＝2，猜想成立． ②假設n＝k(k≥1且k∈N*)時，猜想成立，即， 那么n＝k＋1時， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak ∴ak＋1=2ak， 這表明n＝k＋1時，猜想成立， 由①②知猜想 成立． 點睛：數(shù)學歸納法被用來證明與自然數(shù)有關的命題：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉. 例3．已知數(shù)列滿足：，. （Ⅰ）試求數(shù)列，，的值； （Ⅱ）請猜想的通項公式，并運用數(shù)學歸納法證明之. 【答案】（Ⅰ） ， ， . （Ⅱ），證明見解析. 由此猜想. 下面用數(shù)學歸納法證明之： 當 時，，結論成立； 假設時，結論成立，即有， 則對于時， ∴當時，結論成立. 綜上，可得對， 成立 點睛：運用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題的步驟及其需要注意的問題： 1、第一步：歸納奠基（即驗證時成立）； 第二步：歸納遞推（即假設時成立，驗證時成立）； 3、兩個條件缺一不可，在驗證時成立時一定要用到歸納假設時的結論，最后得到的形式應與前面的完全一致. 例4.【2018屆浙江省溫州市高三9月一?！恳阎獢?shù)列中，，（）．　 （1）求證：； （2）求證：是等差數(shù)列； （3）設，記數(shù)列的前項和為，求證： ． 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）利用數(shù)學歸納法可證明；（2）化簡，由可得是等差數(shù)列；（3）由（2）可得，從而可得，先證明，利用放縮法及等比數(shù)列求和公式可證結論. （2）由，得， 所以， 即， 即， 所以，數(shù)列是等差數(shù)列． （3）由（2）知，， ∴， 因此， 當時，， 即時，， 所以時，， 顯然，只需證明，即可． 當時， ． 例5.已知函數(shù) （1）若函數(shù)在處切線斜率為，，已知，求證： （2）在（1）的條件下，求證： 【答案】見解析 下面用數(shù)學歸納法證明： 當時，成立 假設成立，則時 時，不等式成立 （2） 由（1）可知 例6．【浙江省紹興市2018屆5月調測】已知數(shù)列中. （1）證明：； （2）設數(shù)列的前項和為，證明：． 【答案】（1）見解析；（2）見解析 詳解：（1）數(shù)學歸納法：①當時，，，顯然有. ②假設當，結論成立，即， 那么，， 即， 綜上所述成立. （2）由（1）知：，， 即 ，； 點睛：解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題的關鍵是從題設中提煉出數(shù)列的基本條件，綜合函數(shù)與不等式的知識求解；數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點． 例7．【福建省南平市2018屆5月檢查】己知函數(shù). （Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間； （Ⅱ）若函數(shù)的最小值為-1，，數(shù)列滿足，，記，表示不超過的最大整數(shù)．證明：． 【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析. 詳解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為. 1、當時，，即在上為增函數(shù)； 2、當時，令得，即在上為增函數(shù)； 同理可得在上為減函數(shù). （Ⅱ）Q有最小值為-1，\由（Ⅰ）知函數(shù)的最小值點為， 即，則， 令， 當時，，故在上是減函數(shù) 所以當時 ∵，∴.（未證明，直接得出不扣分） 則.由得， 從而.∵，∴. 猜想當時，. 下面用數(shù)學歸納法證明猜想正確. 1、當時，猜想正確. 2、假設時，猜想正確. 即時，. 當時，有， 由（Ⅰ）知是上的增函數(shù)， 則，即， 例8.已知函數(shù)，在原點處切線的斜率為，數(shù)列滿足為常數(shù)且，． （1）求的解析式； （2）計算，并由此猜想出數(shù)列的通項公式； （3）用數(shù)學歸納法證明你的猜想． 【答案】（1）；（2） ；（3）證明見解析． （2），則， ，， 由此猜想數(shù)列的通項公式應為． （3）①當時，猜想顯然成立， ②假設時，猜想成立，即， 則當時，， 即當時，猜想成立．由①②知，對一切正整數(shù)都成立． 例9.已知數(shù)列是等差數(shù)列，. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)設數(shù)列的通項 (其中且)記是數(shù)列的前項和，試比較與的大小，并證明你的結論. 【答案】（1）；（2）當時，,當時，，證明見解析. 詳解：(1) 設數(shù)列{bn}的公差為d, 由題意得,∴bn=3n－2 . (2)證明：由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1 的大小 比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當n=1時，已驗證(*)式成立 ②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當n=k+1時， , 即當n=k+1時，(*)式成立 由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立 于是，當a＞1時，Sn＞logabn+1 ,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 . 例10.【2018年浙江省高考模擬】已知數(shù)列滿足： . 證明：當時， （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析 由數(shù)列的遞推式，以及（2）的結論可得，根據等比數(shù)列的通項公式即可證明，再結合已知可得，即可證明不等式成立. 詳解：（1）數(shù)學歸納法證明： 當時， 成立 假設時，成立，那么時，假設， 則，矛盾 所以，故得證 所以，故 （2）由 得 設 則 （3）由（2）得，則 所以 又，所以，所以，故 所以，所以 【精選精練】 1．用數(shù)學歸納法證明“”時，由時等式成立推證時，左邊應增加的項為__________ . 【答案】 點睛：項數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律. 2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為______________． 【答案】 【解析】試題分析：由題意得：“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)依次構成一個等差數(shù)列，首項為8，公差為6，因此第n項為 x+kw 3．已知數(shù)列中，且. （1）求，，； （2）根據（1）的結果猜想出的一個通項公式，并用數(shù)學歸納法進行證明； （3）若，且，求. 【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）. （2）由此猜想. 下面用數(shù)學歸納法加以證明： ①當時，由（1）知成立； ②假設，結論成立，即成立. 則當時，有，即 即時，結論也成立； 由①②可知，的通項公式為. （3）由（2）知， . 4．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，. （1）計算，，，根據計算結果，猜想的表達式； （2）用數(shù)學歸納法證明你猜想的結論. 【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 【解析】分析：（1）計算，，，根據計算結果，猜想. （2）用數(shù)學歸納法證明猜想的結論. 由此猜想， （2）下面用數(shù)學歸納法證明， ①當時，顯然成立， ②假設當時猜想成立，即， 由題意得， ∴， ∴， ∴當時猜想也成立， 由①和②，可知猜想成立，即. 點睛：（1）在利用數(shù)學歸納法證明數(shù)學問題時，一定要注意利用前面的時的假設，否則就是偽數(shù)學歸納法，是錯誤的.（2）看到或，要注意聯(lián)想到項和公式解題. 5．已知數(shù)列滿足，. （1）計算，，，根據計算結果，猜想的表達式； （2）用數(shù)學歸納法證明你猜想的結論. 【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析. 由此猜想； （2）下面用數(shù)學歸納法證明， ①當時，顯然成立， ②假設當時猜想成立，即， 由題意得，∴當時猜想也成立； 由①和②，可知猜想成立，即. 6．已知數(shù)列滿足且. （1）計算、、的值，由此猜想數(shù)列的通項公式； （2）用數(shù)學歸納法對你的結論進行證明． 【答案】（1），；（2）證明見解析. 【解析】試題分析：（1）由,，將代入上式計算出、、的值，根據共同規(guī)律猜想即可；（2）對于，用數(shù)學歸納法證明即可.①當時，證 即當時，結論也成立， 由①②得，數(shù)列的通項公式為. 7．在數(shù)列中，，，，， ． （）計算，，的值． （）猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明． 【答案】（1），，；（2），證明見解析. （）由（）可猜想：，證明：當時，，等式成立，假設時，等式成立，即，則當時， ，即當時，等式也成立，綜上所述，對任意自然數(shù)，． 8．已知數(shù)列數(shù)列{an}的通項公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn為其前n項和． (1)求S1，S2，S3，S4的值； (2)猜想Sn的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論． 【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案見解析. 【解析】試題分析：(Ⅰ)根據，代入計算，可求的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表達式，再根據數(shù)學歸納法的證題步驟進行證明，檢驗時等式成立，假設時命題成立，證明時命題也成立即可. 試題解析：(1)依題意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4； (2)猜想：Sn＝(－1)nn. 證明：①當n＝1時，猜想顯然成立； ②假設當n＝k時，猜想成立，即Sk＝(－1)kk， 那么當n＝k＋1時，Sk＋1＝(－1)kk＋ak＋1＝(－1)kk＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(k＋1)． 即n＝k＋1時，猜想也成立． 故由①和②可知，猜想成立. 【方法點睛】本題考查歸納推理以及數(shù)學歸納法的應用，屬于中檔題.由歸納推理所得的結論雖然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具體到抽象的認識功能，對科學的發(fā)現(xiàn)十分有用,觀察、實驗、對有限的資料作歸納整理，提出帶規(guī)律性的說法是科學研究的最基本的方法之一.通過不完全歸納法發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用數(shù)學歸納法加以證明才能應用. 9．設， ，令， ， . （1）寫出， ， 的值，并猜想數(shù)列的通項公式； （2）用數(shù)學歸納法證明你的結論. 【答案】(1)a1＝1，a2＝，a3＝；a4＝，猜想an＝ （n∈N+）；(2)證明見解析. 試題解析： （1）∵a1＝1， ∴a2＝f（a1）＝f（1）＝， a3＝f（a2）＝；a4＝f（a3）＝， 猜想an＝ （n∈N+）； （2）證明：①易知，n＝1時，猜想正確. ②假設n＝k時猜想正確，即ak＝， 則ak＋1＝f（ak）＝=. 這說明n＝k＋1時猜想正確. 由①②知，對于任何n∈N+，都有an＝. 點睛：數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關的數(shù)學問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據． 10.【2017浙江，22】已知數(shù)列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）． 證明：當時， （Ⅰ）0＜xn+1＜xn； （Ⅱ）2xn+1? xn≤； （Ⅲ）≤xn≤． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析． 【解析】 （Ⅱ）由得 【名師點睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關系與單調性等基礎知識，不等式及其應用，同時考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題．本題主要應用：（1）數(shù)學歸納法證明不等式；（2）構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性證明不等式；（3）由遞推關系證明． 11．【2018屆浙江省名校協(xié)作體高三上學期聯(lián)考】已知無窮數(shù)列的首項， . （Ⅰ）證明： ； （Ⅱ） 記， 為數(shù)列的前項和，證明：對任意正整數(shù)， . 【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析. 【解析】試題分析; （I）運用數(shù)學歸納法推理論證， （Ⅱ）由已知，即，可得數(shù)列為遞增數(shù)列. 又 ，易知為遞減數(shù)列， 試題解析：（Ⅰ）證明：①當時顯然成立； ②假設當 時不等式成立，即， 那么當時， ，所以， 即時不等式也成立. 綜合①②可知， 對任意成立. （Ⅱ），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列. 又 ，易知為遞減數(shù)列， 所以也為遞減數(shù)列， 所以當時， 所以當時， 當時， ，成立； 當時， 綜上，對任意正整數(shù)， 12．已知，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若是展開式中所有無理項的二項式系數(shù)和，數(shù)列是各項都大于1的數(shù)組成的數(shù)列，試用數(shù)學歸納法證明:. 【答案】（1）. （2）165.（3）見解析. 所以 . （3）因為，所以要得無理項，必為奇數(shù)， 所以， 要證明， 只要證明，用數(shù)學歸納法證明如下： （Ⅰ）當時，左邊=右邊， 當時，， ∴時，不等式成立. 綜合（Ⅰ）（Ⅱ）可知對一切均成立. ∴不等式成立 . 點睛：本題主要考查二項式定理的應用、初等函數(shù)求導公式以及數(shù)學歸納法證明不等式，屬于難題.利用數(shù)學歸納法證明結論的步驟是:(1)驗證時結論成立；（2）假設時結論正確，證明時結論正確（證明過程一定要用假設結論）；（3）得出結論.