3.1.2　共面向量定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解共面向量等概念.2.理解空間向量共面的充要條件． 知識(shí)點(diǎn)一　共面向量 能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量． 知識(shí)點(diǎn)二　共面向量定理 如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a，b線性表示． 知識(shí)點(diǎn)三　空間四點(diǎn)共面的條件 若空間任意無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)，對(duì)于空間任一點(diǎn)O，存在實(shí)數(shù)x，y，z使得＝x＋y＋z，且x，y，z滿足x＋y＋z＝1，則A，B，C，D四點(diǎn)共面． 1．實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算．() 2．空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量．() 3．若P，M，A，B共面，則＝x＋y.() 類型一　向量共面的判定 例1　給出以下命題： ①用分別在兩條異面直線上的兩條有向線段表示兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量一定不共面； ②已知空間四邊形ABCD，則由四條線段AB，BC，CD，DA分別確定的四個(gè)向量之和為零向量； ③若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)使得＝x＋y，則O，P，A，B四點(diǎn)共面； ④若三個(gè)向量共面，則這三個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)一定共面； ⑤若a，b，c三向量?jī)蓛晒裁妫瑒ta，b，c三向量共面． 其中正確命題的序號(hào)是________． 答案?、? 解析?、馘e(cuò)，空間中任意兩個(gè)向量都是共面的； ②錯(cuò)，因?yàn)樗臈l線段確定的向量沒有強(qiáng)調(diào)方向； ③正確，因?yàn)?，，共面? ∴O，P，A，B四點(diǎn)共面； ④錯(cuò)，沒有強(qiáng)調(diào)零向量； ⑤錯(cuò)，例如三棱柱的三條側(cè)棱表示的向量． 反思與感悟　共面向量不一定在同一個(gè)平面內(nèi)，但可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)．判定向量共面的主要依據(jù)是共面向量定理． 跟蹤訓(xùn)練1　下列說法正確的是________．(填序號(hào)) ①以三個(gè)向量為三條棱一定可以作成一個(gè)平行六面體； ②設(shè)平行六面體的三條棱是，，，則這一平行六面體的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量是＋＋； ③若＝(P＋)成立，則P點(diǎn)一定是線段AB的中點(diǎn)； ④在空間中，若向量與是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共面； ⑤若a，b，c三向量共面，則由a，b所在直線所確定的平面與由b，c所在直線確定的平面是同一個(gè)平面． 答案?、? 類型二　向量共面的證明 例2　如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)H為PC上的點(diǎn)，且＝，點(diǎn)G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四點(diǎn)共面，求m的值． 考點(diǎn)　空間向量的數(shù)乘運(yùn)算 題點(diǎn)　空間共面向量定理及應(yīng)用 解　連結(jié)BG. 因?yàn)椋剑剑? 所以＝－， 因?yàn)椋剑? 所以＝＋－＝－＋＋. 因?yàn)椋?，所以＝? 所以＝(－＋＋) ＝－＋＋. 又因?yàn)椋剑? 所以＝－＋＋， 因?yàn)椋絤， 所以＝m＝－＋＋， 因?yàn)椋剑剑? 所以＝＋＋. 又因?yàn)镚，B，P，D四點(diǎn)共面， 所以1－＝0，m＝. 即m的值是. 反思與感悟　利用向量法證明向量共面問題，關(guān)鍵是熟練的進(jìn)行向量的表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn)．證明：向量，，是共面向量． 證明?。剑? ＝－＋ ＝(＋)－ ＝－. 又，不共線， 由向量共面的充要條件知，，，是共面向量． 類型三　共面向量定理的應(yīng)用 例3　如圖，在底面為正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中，D為AC的中點(diǎn)， 求證：AB1∥平面C1BD. 證明　記＝a，＝b，＝c，則＝a＋c， ＝－＝a－b， ＝＋＝b＋c， 所以＋＝a＋c＝，又與不共線， 所以，，共面． 又由于AB1?平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD. 反思與感悟　在空間證明線面平行的又一方法是應(yīng)用共面向量定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．要熟悉其證明過程和證明步驟． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，設(shè)＝a，＝b，＝c，在面對(duì)角線AC1上和棱BC上分別取點(diǎn)M，N，使＝k，＝k(0≤k≤1)． 求證：MN∥平面ABB1A1. 證明?。絢＝k(＋)＝kb＋kc， 又∵＝＋＝a＋k＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb， ∴＝－＝(1－k)a＋kb－kb－kc ＝(1－k)a－kc.又a與c不共線． ∴與向量a，c是共面向量． 又MN?平面ABB1A1， ∴MN∥平面ABB1A1. 1．給出下列幾個(gè)命題： ①向量a，b，c共面，則它們所在的直線共面； ②零向量的方向是任意的； ③若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb. 其中真命題的個(gè)數(shù)為________． 答案　1 解析?、偌倜}．三個(gè)向量共面時(shí)，它們所在的直線或者在平面內(nèi)或者與平面平行；②真命題．這是關(guān)于零向量的方向的規(guī)定；③假命題．當(dāng)b＝0時(shí)，則有無數(shù)多個(gè)λ使之成立． 2．已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋＋，則x的值為________． 答案　 解析　由題意知，x＋＋＝1， 所以x＝. 3．下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為________． ①若a∥b，則a與b方向相同或相反； ②若＝，則A，B，C，D四點(diǎn)共線； ③若a，b不共線，則空間任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)． 答案　0 解析　當(dāng)a，b中有零向量時(shí)，①不正確；＝時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面不一定共線，故②不正確；由p，a，b共面的充要條件知，當(dāng)p，a，b共面時(shí)才滿足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正確． 4．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量＝＋＋λ確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，那么λ＝________. 答案　 解析　∵P與A，B，C共面．∴＝α＋β，∴＝α(－)＋β(－)，即＝＋α－α＋β－β＝(1－α－β)＋α＋β， ∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1，解得λ＝. 共面向量定理的應(yīng)用： (1)空間中任意兩個(gè)向量a，b總是共面向量，空間中三個(gè)向量a，b，c則不一定共面． (2)空間中四點(diǎn)共面的條件 空間點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)，則存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y使得＝x＋y，① 此為空間共面向量定理，其實(shí)質(zhì)就是平面向量基本定理，，實(shí)質(zhì)就是平面MAB內(nèi)平面向量的一組基底． 另外有＝＋x＋y，② 或＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，③ ①②③均可作為證明四點(diǎn)共面的條件，但是①更為常用． 一、填空題 1．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，則λ＝________，μ＝________. 答案　0　0 解析　∵a，b是兩個(gè)不共線的向量， ∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝0. 2．下列結(jié)論中，正確的是________．(填序號(hào)) ①若a，b，c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ②若a，b，c不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ③若a，b，c共面，b，c不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc. 答案　②③ 解析　要注意共面向量定理給出的是一個(gè)充要條件，所以第②個(gè)命題正確；但定理的應(yīng)用又有一個(gè)前提：b，c是不共線向量，否則即使三個(gè)向量a，b，c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確；③正確． 3．空間的任意三個(gè)向量a，b,3a－2b，它們一定是________． 答案　共面向量 解析　如果a，b是不共線的兩個(gè)向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共線，則a，b,3a－2b共線，當(dāng)然也共面． 4.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1，若＝x＋y＋z，則x＋y＋z＝________. 答案　 解析?。剑剑?＋)＝＋－－＝－＋. ∴x＝－1，y＝1，z＝.∴x＋y＋z＝. 5．i，j，k是三個(gè)不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，則λ的值為________． 答案　1 解析　若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則向量，，共面，故存在不全為零的實(shí)數(shù)a，b，c， 使得a＋b＋c＝0. 即a(i－2j＋2k)＋b(2i＋j－3k)＋c(λi＋3j－5k)＝0， ∴(a＋2b＋λc)i＋(－2a＋b＋3c)j＋(2a－3b－5c)k＝0. ∵i，j，k不共面， ∴∴ 6.如圖，在空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點(diǎn)，則＝________.(用a，b，c表示) 答案?。璦＋b＋c 解析?。剑剑?－)＋＝a＋(b－a)＋(－) ＝a＋(b－a)＋(c－b) ＝－a＋b＋c. 7．平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中無三點(diǎn)共線，O為空間一點(diǎn)，滿足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，則x＋3y＝________. 答案　 解析　由點(diǎn)A，B，C，D共面得x＋y＝，又由點(diǎn)B，C，D，E共面得2x＋y＝，聯(lián)立方程組解得x＝，y＝，所以x＋3y＝. 8．已知a＝(－2,1,3)，b＝(3，－4,2)，c＝(7，λ，5)，若a，b，c共面，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 答案?。? 解析　易得c＝ta＋μb＝(－2t＋3μ，t－4μ，3t＋2μ)， 所以解得 故λ的值為－. 9．已知P，A，B，C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任一點(diǎn)O都有＝2＋＋λ，則λ＝________. 答案　－ 解析　因?yàn)镻，A，B，C四點(diǎn)共面，所以＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以2＋＋λ＝1，得λ＝－. 10．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ＝________. 答案　 解析　∵a，b，c三向量共面， ∴存在實(shí)數(shù)m，n，使得c＝ma＋nb， 即7i＋5j＋λk＝m(2i－j＋3k)＋n(－i＋4j－2k)． ∴∴λ＝. 11．在以下命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為________． ①已知A，B，C，D是空間任意四點(diǎn)，則＋＋＋＝0； ②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件； ③若a與b共線，則a與b所在直線平行； ④對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面． 答案　3 解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，①正確； 若a，b同向共線，則|a|－|b|<|a＋b|，故②不正確； 由向量平行知③不正確； 由空間向量共面知④不正確． 故共有3個(gè)命題不正確． 二、解答題 12.如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE. 求證：向量，，共面． 證明　因?yàn)镸在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，，共面． 13．已知非零向量e1，e2不共線，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求證：A，B，C，D共面． 證明　方法一　令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0， 則(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0. 因?yàn)閑1，e2不共線，所以 則是其中一組解，則－5＋＋＝0， 所以A，B，C，D共面． 方法二　觀察可得＋＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5，所以＝＋. 由共面向量知，，，共面． 又它們有公共點(diǎn)A，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面． 三、探究與拓展 14．如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AE＝3EA1，AF＝FD，AG＝GB，過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的平面與對(duì)角線AC1交于點(diǎn)P，則AP∶PC1＝________. 答案　 解析　設(shè)＝m， 因?yàn)椋剑? ＝＋＋ ＝3＋＋2， 所以＝3m＋m＋2m， 又因?yàn)镋、F、G、P四點(diǎn)共面，所以3m＋m＋2m＝1， 所以m＝，所以AP∶PC1＝3∶16. 15.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，求證：，，是共面向量． 證明　設(shè)＝a， ＝b，＝c， ∵四邊形B1BCC1為平行四邊形，∴＝c－a， 又O是B1D1的中點(diǎn)， ∴＝(a＋b)， ∴＝－(a＋b)， ＝－＝b－(a＋b)＝(b－a)． ∵D1D綊C1C，∴＝c， ∴＝＋＝(b－a)＋c. 若存在實(shí)數(shù)x，y，使＝x＋y (x，y∈R)成立，則 c－a＝x＋y ＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc. ∵a，b，c不共線，∴ 得 ∴＝＋，又與不共線， ∴，，是共面向量．