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小題專練作業(yè)(三) 不等式與線性規(guī)劃
1．設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析 由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3。當(dāng)x<0時，x＋6>3，解得－3
3，解得x>3或0≤x<1。綜上，不等式的解集為(－3，1)∪(3，＋∞)。故選A。
答案 A
2．在R上定義運算：x?y＝x(1－y)。若不等式(x－a)?(x－b)>0的解集是(2,3)，則a＋b＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 由題知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4。故選C。
答案 C
3．已知正數(shù)a，b的等比中項是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析 由正數(shù)a，b的等比中項是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時等號成立，故m＋n的最小值為5。故選C。
答案 C
4．(2018北京高考)設(shè)集合A＝{(x，y)|x－y≥1，ax＋y>4，x－ay≤2}，則( )
A．對任意實數(shù)a，(2,1)∈A
B．對任意實數(shù)a，(2,1)?A
C．當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，(2,1)?A
D．當(dāng)且僅當(dāng)a≤時，(2,1)?A
解析 若(2,1)∈A，則解得a>，所以當(dāng)且僅當(dāng)a≤時，(2,1)?A。故選D。
答案 D
5．(2018重慶聯(lián)考)已知x，y滿足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為( )
A．或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析 畫出約束條件所表示的可行域，如圖中陰影部分所示。令z＝0，畫出直線y＝ax，a＝0顯然不滿足題意。當(dāng)a<0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則需使直線y＝ax與x＋y－2＝0平行，此時a＝－1；當(dāng)a>0時，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則需使直線y＝ax與2x－y＋2＝0平行，此時a＝2。綜上，a＝－1或2。故選D。
答案 D
6．(2018河北聯(lián)考)某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如表所示。如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為( )
甲
乙
原料限額
A/噸
3
2
12
B/噸
1
2
8
A.15萬元 B．16萬元
C．17萬元 D．18萬元
解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，獲利潤z萬元，由題意可知，z＝3x＋4y，畫出可行域如圖中陰影部分所示，直線z＝3x＋4y過點M時，z＝3x＋4y取得最大值，由得所以M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值為18。故選D。
答案 D
7．已知實數(shù)x，y滿足：若z＝x＋2y的最小值為－4，則實數(shù)a＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過點C時，z取得最小值－4，所以－a＋2＝－4，解得a＝2。故選B。
答案 B
8．(2018全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________。
解析 解法一：作出可行域為如圖所示的△ABC所表示的陰影區(qū)域，作出直線3x＋2y＝0，并平移該直線，當(dāng)直線過點A(2，0)時，目標函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝32＋20＝6。
解法二：由題知可行域為以 A(2,0)，B(－1,0)，C(－4，－3)圍成的三角形及內(nèi)部的點構(gòu)成，由zA＝32＋20＝6，zB＝3(－1)＋20＝－3，zC＝3(－4)＋2(－3)＝－18，得zmax＝zA＝6。
答案 6
9．若2x＋4y＝4，則x＋2y的最大值是________。
解析 因為4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，所以當(dāng)且僅當(dāng)2x＝22y＝2，即x＝2y＝1時，x＋2y取得最大值2。
答案 2
10．已知關(guān)于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，則實數(shù)a的最小值為________。
解析 由x>a，知x－a>0，則2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由題意可知4＋2a≥7，解得a≥，即實數(shù)a的最小值為。
答案
11．(2018聊城一模)已知函數(shù)f(x)＝|x|(10x－10－x)，不等式f(1－2x)＋f(3)>0的解集為( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解析 由于f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，且為定義域R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故f(1－2x)＋f(3)>0?f(1－2x)>－f(3)＝f(－3)，所以1－2x>－3，解得x<2。故選A。
答案 A
12．(2018福州聯(lián)考)設(shè)x，y滿足約束條件其中a>0，若的最大值為2，則a的值為( )
A． B．
C． D.
解析 設(shè)z＝，則y＝x，當(dāng)z＝2時，y＝－x，作出x，y滿足的約束條件
表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，作出直線y＝－x，易知此直線與區(qū)域的邊界線2x－2y－1＝0的交點為，當(dāng)直線x＝a過點時a＝，又此時直線y＝x的斜率的最小值為－，即－1＋的最小值為－，即z的最大值為2，符合題意，所以a的值為。故選C。
答案 C
13．(2018陜西模擬)已知a>b>1，c<0，在不等式①>；②ln(a＋c)>ln(b＋c)；③(a－c)c<(b－c)c；④bea>aeb中，所有正確命題的序號是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④
解析 因為a>b>1，所以0<<，又c<0，所以>，所以①正確；因為a>b>1，c<0，所以不妨取a＝3，b＝2，c＝－4，此時ln(a＋c)>ln(b＋c)不成立，所以②錯誤；易知函數(shù)y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，因為a－c>b－c>0，c<0，所以(a－c)c<(b－c)c，所以③正確；令y＝(x≠0)，則y′＝，令y′＝0，得x＝1，令y′>0，得x>1，故函數(shù)y＝在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，因為a>b>1，所以>，即bea>aeb，所以④正確。故選B。
答案 B
14．(2018遼寧重點中學(xué)協(xié)作體模擬)某校的一個志愿者服務(wù)隊由高中部學(xué)生組成，成員同時滿足以下三個條件：
①高一學(xué)生人數(shù)多于高二學(xué)生人數(shù)；
②高二學(xué)生人數(shù)多于高三學(xué)生人數(shù)；
③高三學(xué)生人數(shù)的3倍多于高一高二學(xué)生人數(shù)之和。
若高一學(xué)生人數(shù)為7，則該志愿者服務(wù)隊總?cè)藬?shù)為________。
解析 設(shè)高二、高三人數(shù)分別為x，y(x，y∈N*)人。根據(jù)題意則滿足解得該志愿者服務(wù)隊總?cè)藬?shù)為x＋y＋7＝5＋6＋7＝18。
答案 18
15．(2018青島模擬)設(shè)a，b為正實數(shù)，現(xiàn)有下列命題：
①若a2－b2＝1，則a－b<1；
②若－＝1，則a－b<1；
③若|－|＝1，則|a－b|<1；
④若|a3－b3|＝1，則|a－b|<1。
其中為真命題的是________。(寫出所有真命題的序號)
解析 對于①，由a2－b2＝1，知(a－b)(a＋b)＝1，因為a，b為正實數(shù)，則a＋b>a－b>0，所以a－b<1，故①正確。對于②，不妨取a＝2，b＝，滿足－＝1，但a－b＝>1，故②錯誤。對于③，不妨取a＝4，b＝1，滿足|－|＝1，但|a－b|＝3>1，故③錯誤。對于④，對于|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝1，若a，b中至少有一個大于等于1，則a2＋ab＋b2>1，則|a－b|<1；若a，b都小于1，則|a－b|<1，所以④正確。綜上，①④為真命題。
答案 ①④
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