《2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 專題研究3 數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 理.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 專題研究3 數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 理.doc（15頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
專題研究3 數(shù)列的綜合應(yīng)用
第一次作業(yè)
1．設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
答案 D
解析 S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6.
∵S22＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．
∴4a12－4a1＋1＝4a12－6a1?a1＝－.
2．(2017山西四校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則＝( )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
答案 C
解析 因?yàn)閍1，a3，2a2成等差數(shù)列，所以a32＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，所以q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
3．已知{an}是等差數(shù)列，a1＝15，S5＝55，則過點(diǎn)P(3，a2)，Q(4，a4)的直線的斜率為( )
A．4 B.
C．－4 D．－
答案 C
解析 S5＝5a1＋d，所以515＋10d＝55，即d＝－2.所以kPQ＝＝2d＝－4.
4．(2016四川)某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( )
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
答案 B
解析 根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列{an}，其中，首項(xiàng)a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝1301.12n－1.由1301.12n－1>200，兩邊同時(shí)取對數(shù)，得n－1>，又≈＝3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.
5．已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－a72＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝( )
A．2 B．4
C．8 D．16
答案 D
解析 因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化為4a7－a72＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)，又{bn}為等比數(shù)列，所以b6b8＝b72＝a72＝16.
6．已知{an}，{bn}均為等差數(shù)列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，則由{an}，{bn}的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn＝( )
A．3n＋4 B．6n＋2
C．6n＋4 D．2n＋2
答案 C
解析 設(shè){an}的公差為d1，{bn}的公差為d2，
則d1＝＝＝2，d2＝＝＝3.
∴an＝a2＋(n－2)2＝2n＋4，bn＝b2＋(n－2)3＝3n－2.
∴數(shù)列{an}為6，8，10，12，14，16，18，20，22，…，數(shù)列{bn}為1，4，7，10，13，16，19，22，….
∴{cn}是以10為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列．
∴cn＝10＋(n－1)6＝6n＋4.
7．(2017重慶巴蜀中學(xué)二診)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人，共獵得五鹿，欲以爵次分之，問各得幾何？”意思是：今有大夫、不更、簪裊、上造、公士凡五人，他們共獵兒五只鹿，欲按其爵級高低依次遞減相同的量來分配，問各得多少．若五只鹿的鹿肉共500斤，則不更、簪裊、上造這三人共分得鹿肉斤數(shù)為( )
A．200 B．300
C. D．400
答案 B
解析 由題意可知五人分得的鹿肉斤數(shù)成等差數(shù)列，記為a1，a2，a3，a4，a5，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝500.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得5a3＝500，即a3＝100，所以a2＋a3＋a4＝3a3＝300.
8．(2017河南洛陽期末)已知等差數(shù)列{an}的公差和首項(xiàng)都不等于0，且a2，a4，a8成等比數(shù)列，則＝( )
A．2 B．3
C．5 D．6
答案 B
解析 ∵a2，a4，a8成等比數(shù)列，∴a42＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴a1＝d，∴＝＝3.故選B.
9．(2017衡水中學(xué)調(diào)研卷)在1到104之間所有形如2n與形如3n(n∈N*)的數(shù)，它們各自之和的差的絕對值為(lg2≈0.301 0)( )
A．1 631 B．6 542
C．15 340 D．17 424
答案 B
解析 由2n<104，得n<≈13.29，故數(shù)列{2n}在1到104之間的項(xiàng)共有13項(xiàng)，它們的和S1＝＝16 382；同理，數(shù)列{3n}在1到104之間的項(xiàng)共有8項(xiàng)，它們的和S2＝＝9 840，∴|S1－S2|＝6 542.
10．(2018溫州十校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}和{bn}分別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，且a1＝b1＝4，a4＝b4＝1，則以下結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)2>b2 B．a(chǎn)3
b5 D．a(chǎn)6>b6
答案 A
解析 設(shè)等差數(shù)列的公差、等比數(shù)列的公比分別為d，q，則由題意得解得則a2－b2＝3－>3－＝0；故選A.
11．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1，a3，a4是等比數(shù)列{bn}中的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為________．
答案 或1
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題可知，a32＝a1a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.當(dāng)d＝0時(shí)，等比數(shù)列{bn}的公比為1；當(dāng)a1＝－4d時(shí)，a1，a3，a4分別為－4d，－2d，－d，所以等比數(shù)列{bn}的公比為.
12．(2017廣東潮州期末)從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精，然后填滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒________次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.
答案 4
解析 設(shè)開始純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為1，操作一次后純酒精體積與總?cè)芤后w積之比a1＝，設(shè)操作n次后，純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為an，則an＋1＝an，∴an＝a1qn－1＝()n，∴()n<，解得n≥4.
13．(2015浙江)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an與bn；
(2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.
答案 (1)an＝2n，bn＝n (2)Tn＝(n－1)2n＋1＋2
解析 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由題意知：
當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝b2－1，故b2＝2.
n≥2時(shí)，b1＋b2＋…＋bn－1＝bn－1和原遞推式作差得bn＝bn＋1－bn，整理得＝，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)由①知anbn＝n2n，
因此Tn＝2＋222＋323＋…＋n2n，
2Tn＝22＋223＋324＋…＋n2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
14．(2016四川)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝2，求e12＋e22＋…＋en2.
答案 (1)an＝2n－1(n∈N*) (2)n＋(3n－1)
解析 (1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1.
又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，
故an＋1＝qan對所有n≥1都成立．
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列．
從而an＝qn－1.
由a2，a3，a2＋a3成等差數(shù)列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，
所以a3＝2a2，故q＝2，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)可知，an＝qn－1.
所以雙曲線x2－＝1的離心率en＝＝.
由e2＝＝2解得q＝.
所以e12＋e22＋…＋en2＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1)．
15．(2018衡水中學(xué)調(diào)研卷)若某地區(qū)2015年人口總數(shù)為45萬，實(shí)施“放開二胎”新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2016年開始到2025年每年人口比上年增加0.5萬人，從2026年開始到2035年每年人口為上一年的99%.
(1)求實(shí)施新政策后第n年的人口總數(shù)an的表達(dá)式(注：2016年為第一年)；
(2)若新政策實(shí)施后的2016年到2035年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施，問到2035年后是否需要調(diào)整政策？(說明：0.9910＝(1－0.01)10≈0.9)．
答案 (1) (2)不需要
解析 (1)由題意知，當(dāng)n≤10時(shí)，數(shù)列{an}是以45.5為首項(xiàng)，0.5為公差的等差數(shù)列，所以an＝45.5＋(n－1)0.5＝0.5n＋45.
當(dāng)11≤n≤20時(shí)，數(shù)列{an}是公比為0.99的等比數(shù)列，而a11＝500.99，所以an＝500.99n－10.
所以新政策實(shí)施后第n年的人口總數(shù)an(單位：萬)的表達(dá)式為an＝
(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則從2016年到2035年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950(1－0.9910)≈972.5(萬)，
所以新政策實(shí)施到2035年人口均值為≈48.63<49.
所以到2035年后不需要調(diào)整政策．
16．(2018云、貴、川三省聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}是公差大于0的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝9，且2a1，a3－1，a4＋1構(gòu)成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足＝2n－1(n∈N*)，設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Tn<6.
答案 (1)2n－1 (2)略
解析 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則d>0.
因?yàn)镾3＝9，所以a1＋a2＋a3＝3a2＝9，即a2＝3.
因?yàn)?a1，a3－1，a4＋1構(gòu)成等比數(shù)列，
所以(2＋d)2＝2(3－d)(4＋2d)，
所以d＝2.所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.
(2)證明：因?yàn)椋?n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝(2n－1)()n－1，
所以Tn＝1()0＋3()1＋…＋(2n－1)()n－1，①
所以Tn＝1()1＋3()2＋…＋(2n－3)()n－1＋(2n－1)()n，②
由①②兩式相減得
Tn＝1＋2()1＋2()2＋…＋2()n－1－(2n－1)()n＝1＋－＝3－－，整理化簡得
Tn＝6－.
又因?yàn)閚∈N*，所以Tn＝6－<6.
第二次作業(yè)
1．若方程x2－5x＋m＝0與x2－10x＋n＝0的四個根適當(dāng)排列后，恰好組成一個首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，則m∶n的值為( )
A. B.
C．2 D．4
答案 A
解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由根與系數(shù)的關(guān)系，得1＋q＋q2＋q3＝15，即(q－2)(q2＋3q＋7)＝0，因此q＝2，此時(shí)m＝q2，n＝q4，故m∶n＝1∶4，故選A.
2．某林廠年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增長率生長，而每年末要砍伐固定的木材量x立方米，為實(shí)現(xiàn)經(jīng)過兩次砍伐后的木材的存量增加50%，則x的值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 [(1＋)S－x](1＋)－x＝(1＋)S，x＝.
3．在如圖的表格中，每格填上一個數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為( )
1
2
1
a
b
c
A.1 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 由題意知，a＝，b＝，c＝.故a＋b＋c＝1，故選A.
4．今年“五一”期間，北京十家重點(diǎn)公園舉行免費(fèi)游園活動，北海公園免費(fèi)開放一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)入公園，接下來的第一個30分鐘內(nèi)有4人進(jìn)去1人出來，第二個30分鐘內(nèi)有8人進(jìn)去2人出來，第三個30分鐘內(nèi)有16人進(jìn)去3人出來，第四個30分鐘內(nèi)有32人進(jìn)去4人出來，……，按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是( )
A．211－47 B．212－57
C．213－68 D．214－80
答案 B
解析 由題意，可知從早晨6時(shí)30分開始，接下來的每個30分鐘內(nèi)進(jìn)入的人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，出來的人數(shù)構(gòu)成以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，記第n個30分鐘內(nèi)進(jìn)入公園的人數(shù)為an，第n個30分鐘內(nèi)出來的人數(shù)為bn，則an＝42n－1，bn＝n，故上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)為S＝2＋－＝212－57.
5．(2017河北唐山一中調(diào)研)定義：F(x，y)＝y(tǒng)x(x>0，y>0)，已知數(shù)列{an}滿足：an＝(n∈N*)，若對任意正整數(shù)n，都有an≥ak(k∈N*)成立，則ak的值為( )
A. B．2
C. D.
答案 C
解析 由題意得an＝＝且ak＝(an)min，由指數(shù)函數(shù)y＝2x與二次函數(shù)y＝x2圖像的對比可得當(dāng)x>0時(shí)，先減后增，故有最小值．因此a1＝2，a2＝1，a3＝，a4＝1，所以a2>a3且a30)的圖像上．若點(diǎn)Bn的坐標(biāo)為(n，0)(n≥2，n∈N*)，記矩形AnBnCnDn的周長為an，則a2＋a3＋…＋a10等于( )
A．208 B．216
C．212 D．220
答案 B
解析 由Bn(n，0)，得Cn(n，n＋)，令x＋＝n＋，即x2－(n＋)x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn(，n＋)，所以矩形AnBnCnDn的周長an＝2(n－)＋2(n＋)＝4n.所以a2＋a3＋…＋a10＝4(2＋3＋…＋10)＝216.故選B.
7．(2018江西九江一中月考)在等比數(shù)列{an}中，a7是a8，a9的等差中項(xiàng)，公比q滿足如下條件：△OAB(O為原點(diǎn))中，＝(1，1)，＝(2，q)，∠A為銳角，則公比q＝________．
答案?。?
解析 由a7是a8，a9的等差中項(xiàng)，知2a7＝a8＋a9＝a7q＋a7q2，得q＝1或q＝－2.又因?yàn)椤螦為銳角，所以＝(－)＝(－1，－1)(1，q－1)＝－q>0，可知q<0，故q＝－2.
8．(2017河北教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)y＝x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak，ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak＋1(k∈N*)，若a1＝16，則a1＋a3＋a5＝________．
答案 21
解析 由題意，得函數(shù)y＝x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak，ak2)處的切線方程是y－ak2＝2ak(x－ak)．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此數(shù)列{ak}是以16為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以ak＝16()k－1＝25－k，所以a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.
9．(2017合肥質(zhì)檢)一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)后經(jīng)過__________分鐘，該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB＝210KB)．
答案 45
解析 依題意可知a0＝2，a1＝22，a2＝23，…，an＝2n＋1.
64MB＝64210＝216KB，令2n＋1＝216得n＝15.
∴開機(jī)后45分鐘該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存．
10．一個數(shù)字生成器，生成規(guī)則如下：第1次生成一個數(shù)x，以后每次生成的結(jié)果可將上一次生成的每一個數(shù)x生成兩個數(shù)，一個是－x，另一個是x＋3.設(shè)第n次生成的數(shù)的個數(shù)為an，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有數(shù)中不同的數(shù)的個數(shù)為Tn，則T4＝________．
答案 2n－1，10
解析 由題意可知，依次生成的數(shù)字個數(shù)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，故Sn＝＝2n－1.
當(dāng)x＝1時(shí)，第1次生成的數(shù)為1，第2次生成的數(shù)為－1，4，第3次生成的數(shù)為1，2；－4，7，第4次生成的數(shù)為－1，4；－2，5；4，－1；－7，10.故T4＝10.
11．(2018湖北武漢武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}中，a1＝a，{bn}是比公為的等比數(shù)列，記bn＝(n∈N*)，若不等式an>an＋1對一切n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (2，＋∞)
解析 因?yàn)閎n＝(n∈N*)，所以an＝，所以an＋1－an＝－＝－＝＝<0，即>0，解得bn>或0，則b1()n－1>對一切正整數(shù)n成立，顯然不可能；若02.
12．(2018上海虹口區(qū)模擬)某市2017年發(fā)放汽車牌照12萬張，其中燃油型汽車牌照10萬張，電動型汽車牌照2萬張．為了節(jié)能減排和控制總量，從2017年開始，每年電動型汽車牌照的發(fā)放量按50%增長，而燃油型汽車牌照每一年比上一年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動型汽車的牌照的數(shù)量維持在這一年的水平不變．
(1)記2017年為第一年，每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年發(fā)放的電動型汽車牌照數(shù)構(gòu)成數(shù)列{bn}，完成下列表格，并寫出這兩個數(shù)列的通項(xiàng)公式；
a1＝10
a2＝9.5
a3＝____
a4＝____
…
b1＝2
b2＝3
b3＝____
b4＝____
…
(2)從2017年算起，求二十年發(fā)放的汽車牌照總量．
答案 (1)a3＝9，a4＝8.5，b3＝4.5，b4＝6.75
an＝ bn＝
(2)229.25萬張
解析 (1)
a1＝10
a2＝9.5
a3＝9
a4＝8.5
…
b1＝2
b2＝3
b3＝4.5
b4＝6.75
…
當(dāng)1≤n≤20且n∈N*，an＝10＋(n－1)(－0.5)＝－＋；當(dāng)n≥21且n∈N*，an＝0，
∴an＝
∵a4＋b4＝15.25>15，
∴bn＝
(2)a1＋a2＋…＋a20＝1020＋(－)＝105，
b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋…＋b20＝＋6.7516＝124.25.
∴從2017年算起，二十年發(fā)放的汽車牌照總量為229.25萬張．
13．(2017江西省宜春中學(xué)與新余一中聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝＋sinx的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{xn}．
(1)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；
(2)令bn＝，設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn，求證Sn<.
答案 (1)xn＝2nπ－(n∈N*) (2)略
解析 (1)f(x)＝＋sinx，令f′(x)＝＋cosx＝0，得x＝2kπ(k∈Z)．
由f′(x)>0?2kπ－0.
由題意得所以3q2－5q－2＝0.因?yàn)閝>0，所以q＝2，x1＝1.因此數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公比為xn＝2n－1.
(2)過P1，P2，…，Pn＋1向x軸作垂線，垂足分別為Q1，Q2，…，Qn＋1.
由(1)得xn＋1－xn＝2n－2n－1＝2n－1，記梯形PnPn＋1Qn＋1Qn的面積為bn，由題意得bn＝2n－1＝(2n＋1)2n－2，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝32－1＋520＋721＋…＋(2n－1)2n－3＋(2n＋1)2n－2，①
又2Tn＝320＋521＋722＋…＋(2n－1)2n－2＋(2n＋1)2n－1.②
①－②得－Tn＝32－1＋(2＋22＋…＋2n－1)－(2n＋1)2n－1＝＋－(2n＋1)2n－1.
所以Tn＝.
15．(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，其中a1＝1，且a2，a4，a6＋2成等比數(shù)列；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＋bn＝1.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)如果cn＝anbn，設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)n，使得Tn>Sn成立？若存在，求出n的最小值；若不存在，說明理由．
答案 (1)an＝1 bn＝ (2)存在 2
解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依條件有a42＝a2(a6＋2)，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋5d＋2)，解得d＝－(因數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，故舍去)或d＝1，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝n.
由2Sn＋bn＝1，得Sn＝(1－bn)．
當(dāng)n＝1時(shí)，2S1＋b1＝1，解得b1＝；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Sn－Sn－1＝(1－bn)－(1－bn－1)＝－bn＋bn－1，
所以bn＝bn－1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故bn＝.
(2)由(1)知，cn＝anbn＝，
所以Tn＝1＋2＋3＋…＋n①
在①式兩邊同乘，得Tn＝1＋2＋3＋…＋n②
由①②兩式相減得Tn＝＋＋＋…＋－n，整理化簡得Tn＝－－＝－.又因?yàn)镾n＝＝－，
所以Tn－Sn＝－.
當(dāng)n＝1時(shí)，T1＝S1，
當(dāng)n≥2時(shí)，－＝[3n－(2n＋1)]>0，
所以Tn>Sn，故所求的正整數(shù)n存在，其最小值是2.
1．設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，若以分期付款的形式等額地分成n次付清，且每期利率r保持不變，按復(fù)利計(jì)算，則每期期末所付款是( )
A.(1＋r)n元 B.元
C.(1＋r)n－1元 D.元
答案 B
解析 設(shè)每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，即x＝a(1＋r)n，整理得x＝.故選B.
2．在平面直角坐標(biāo)系上，有一點(diǎn)列：P1，P2，…Pn，…(n∈N*)，設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(n，an)，其中an＝(n∈N*)，過點(diǎn)Pn，Pn＋1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為bn，設(shè)Sn表示數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則S5＝________．
答案
解析 由題意得，過點(diǎn)Pn，Pn＋1的直線為＝，即2x＋n(n＋1)y－2(2n＋1)＝0.令y＝0，得x＝2n＋1，令x＝0，得y＝，所以bn＝(2n＋1)＝4＋＝4＋－，所以S5＝45＋1－＋－＋…＋－＝.
3．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋sinx的所有正的極小值點(diǎn)從小到大排成的數(shù)列為{xn}，{xn}的前n項(xiàng)和為Sn，則sinSn不可能取的值是( )
A．0 B.
C．－ D.
答案 B
解析 由f(x)＝＋sinx，得f′(x)＝＋cosx，令f′(x)＝0，得x＝2kπ(k∈Z)，當(dāng)f′(x)>0時(shí)，2kπ－0且k≠1)，且數(shù)列{f(an)}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．
(1)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)若bn＝anf(an)，當(dāng)k＝時(shí)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn；
(3)若cn＝anlgan，問是否存在實(shí)數(shù)k，使得{cn}中的每一項(xiàng)恒小于它后面的項(xiàng)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
答案 (1)略 (2)Sn＝n2n＋3 (3)(0，)∪(1，＋∞)
解析 (1)由題意知f(an)＝4＋(n－1)2＝2n＋2，即logkan＝2n＋2，
∴an＝k2n＋2，∴＝＝k2.
∵常數(shù)k>0且k≠1，∴k2為非零常數(shù)．
∴數(shù)列{an}是以k4為首項(xiàng)，k2為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知，bn＝anf(an)＝k2n＋2(2n＋2)，
當(dāng)k＝時(shí)，bn＝(2n＋2)2n＋1＝(n＋1)2n＋2.
∴Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1)2n＋2，①
2Sn＝224＋325＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3.②
②－①，得Sn＝－223－24－25－…－2n＋2＋(n＋1)2n＋3
＝－23－(23＋24＋25＋…＋2n＋2)＋(n＋1)2n＋3，
∴Sn＝－23－＋(n＋1)2n＋3＝n2n＋3.
(3)存在．由(1)知，cn＝anlgan＝(2n＋2)k2n＋2lgk，要使cn1時(shí)，lgk>0，n＋1<(n＋2)k2對一切n∈N*恒成立；
②當(dāng)0(n＋2)k2對一切n∈N*恒成立，只需k2<()min，
∵＝1－單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n＝1時(shí)，()min＝.
∴k2<，且0
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2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第6章
數(shù)列
專題研究3
數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí)
2019
高考
數(shù)學(xué)
一輪
復(fù)習(xí)
專題研究
綜合
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2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 專題研究3 數(shù)列的綜合應(yīng)用練習(xí) 理.doc
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