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坐標與距離公式 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 過點A(-1,0)，斜率為k的直線，被圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23，則k的值為( ) A. 33 B. 33 C. 3 D. 3 （正確答案）A 解：設(shè)直線方程為y=k(x+1)，即kx-y+k=0， ∵圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23， ∴圓心到直線的距離為4-3=1， ∴|2k|k2+1=1， ∴k=33． 故選：A． 設(shè)直線方程為y=k(x+1)，利用圓(x-1)2+y2=4截得的弦長為23，求出圓心到直線的距離為1，即可得出結(jié)論． 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查點到直線距離公式的運用，考查學生的計算能力，確定圓心到直線的距離為1是關(guān)鍵． 2. 若兩平行直線l1：x-2y+m=0(m>0)與l2：2x+ny-6=0之間的距離是5，則m+n=( ) A. 0 B. 1 C. -2 D. -1 （正確答案）C 解：由題意12=-2n，解得n=-4，即直線l2：x-2y-3=0， 所以兩直線之間的距離為d=|m+3|1+4=5，解得m=2， 所以m+n=-2， 故選C． 化簡直線l2，利用兩直線之間的距離為d=|m+3|1+4=5，求出m，即可得出結(jié)論． 本題考查兩條平行線間的距離，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 3. 點P是曲線y=x2-1nx上任意一點，則點P到直線y=x-2的距離的最小值是( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 （正確答案）B 解：由題意作圖如下， 當點P是曲線的切線中與直線y=x-2平行的直線的切點時，與直線距離最近； 故令y=2x-1x=1解得，x=1； 故點P的坐標為(1,1)； 故點P到直線y=x-2的最小值為|1-2-1|1+1=2； 故選：B． 畫出函數(shù)的圖象，故當點P是曲線的切線中與直線y=x-2平行的直線的切點時，然后求解即可． 本題考查了幾何意義的運用及導數(shù)的綜合應(yīng)用，平行線之間距離的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題． 4. 曲線y=2lnx上的點到直線2x-y+3=0的最短距離為( ) A. 5 B. 25 C. 35 D. 2 （正確答案）A 解：設(shè)與直線2x-y+3=0平行且與曲線y=2lnx相切的直線方程為2x-y+m=0． 設(shè)切點為P(x0,y0)， ∵y=2x， ∴斜率2x=2， 解得x0=1，因此y0=2ln1=0． ∴切點為P(1,0)． 則點P到直線2x-y+3=0的距離d=|2-0+3|22+(-1)2=5． ∴曲線y=2lnx上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是5． 故選：A． 設(shè)與直線2x-y+3=0平行且與曲線y=2lnx相切的直線方程為2x-y+m=0.設(shè)切點為P(x0,y0)，利用導數(shù)的幾何意義求得切點P，再利用點到直線的距離公式即可得出． 本題考查了導數(shù)的幾何意義和兩條平行線之間的距離、點到直線的距離公式，屬于中檔題． 5. 在平面直角坐標系中，記d為點P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離.當θ、m變化時，d的最大值為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （正確答案）C 解：由題意d=|cosθ-msinθ-2|12+m2=|m2+1sin(θ+α)-2|m2+1，tanα=-1m， ∴當sin(θ+α)=-1時， dmax=1+2m2+1≤3． ∴d的最大值為3． 故選：C． 由題意d=|cosθ-msinθ-2|12+m2=|m2+1sin(θ+α)-2|m2+1，當sin(θ+α)=-1時，dmax=1+2m2+1≤3.由此能求出d的最大值． 本題考查點到直線的距離的最大值的求法，考查點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題． 6. 圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 22 （正確答案）C 解：∵圓(x+1)2+y2=2的圓心為(-1,0)， ∴圓(x+1)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為： d=|-1+3|2=2． 故選：C． 先求出圓(x+1)2+y2=2的圓心，再利用點到到直線y=x+3的距離公式求解． 本題考查圓心到直線的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意點到直線的距離公式和圓的性質(zhì)的合理運用． 7. 已知M為曲線C：y=sinθx=3+cosθ(θ為參數(shù))上的動點.設(shè)O為原點，則|OM|的最大值是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （正確答案）D 解：曲線C：y=sinθx=3+cosθ(θ為參數(shù)) 轉(zhuǎn)化為：(x-3)2+y2=1， 則：圓心(3,0)到原點(0.0)的距離為3， 故點M到原點的最大值為：3+1=4． 故選：D． 直接把圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，進一步利用兩點間的距離公式求出結(jié)果． 本題考查的知識要點：參數(shù)方程和直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，兩點間的距離公式的應(yīng)用． 8. (理科)已知兩點A(0,-3)，B(4,0)，若點P是圓x2+y2-2y=0上的動點，則△ABP面積的最小值為( ) A. 6 B. 112 C. 8 D. 212 （正確答案）B 解：求△ABP面積的最小值，即求P到直線AB的最小值，即為圓心到直線AB的距離減去半徑． 直線AB的方程為x4+y-3=1，即3x-4y-12=0，圓x2+y2-2y=0，即x2+(y-1)2=1，圓心為(0,1)，半徑為1 ∵圓心到直線AB的距離為d=|-4-12|5=165，∴P到直線AB的最小值為165-1=115 ∵|AB|=5， ∴△ABP面積的最小值為125115=112 故選B． 求△ABP面積的最小值，即求P到直線AB的最小值，即為圓心到直線AB的距離減去半徑.利用三角形的面積公式可得結(jié)論． 本題考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 9. 設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0和 x+y+b=0，已知a、b是關(guān)于x的方程x2+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤18，則這兩條直線間距離的最大值為( ) A. 24 B. 22 C. 12 D. 2 （正確答案）B 解：因為a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根， 所以a+b=-1，ab=c，兩條直線之間的距離d=|a-b|2， 所以d2=(a+b)2-ab2=1-4c2， 因為0≤c≤18， 所以12≤1-4c≤1， 即d2∈[14,12]，所以兩條直線之間的距離的最大值是22． 故選：B． 利用方程的根，求出a，b，c的關(guān)系，求出平行線之間的距離表達式，然后求解距離的最值． 本題考查平行線之間的距離的求法，函數(shù)的最值的求法，考查計算能力． 10. 已知F是拋物線y2=4x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=5，則線段AB的中點到該拋物線準線的距離為( ) A. 32 B. 52 C. 4 D. 5 （正確答案）B 解：∵F是拋物線y2=4x的焦點 F(1,0)準線方程x=-1， 設(shè)A(x1,y1) B(x2,y2) ∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=5 解得x1+x2=3， ∴線段AB的中點橫坐標為32 ∴線段AB的中點到該拋物線準線的距離為52． 故選B． 根據(jù)拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出A，B的中點橫坐標，求出線段AB的中點到該拋物線準線的距離． 本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離． 11. 在平面直角坐標系xoy中，已知直線l：x+y+a=0與點A(0,2)，若直線l上存在點M滿足|MA|2+|MO|2=10(O為坐標原點)，則實數(shù)a的取值范圍是( ) A. (-5-1,5-1) B. [-5-1,5-1] C. (-22-1,22-1) D. [-22-1,22-1] （正確答案）D 解：設(shè)M(x,-x-a)， ∵直線l：x+y+a=0，點A(0,2)，直線l上存在點M，滿足|MA|2+|MO|2=10， ∴x2+(x+a)2+x2+(-x-a-2)2=10， 整理，得4x2+2(2a+2)x+a2+(a+2)2-10=0①， ∵直線l上存在點M，滿足|MA|2+|MO|2=10， ∴方程①有解， ∴△=4(2a+2)2-16[a2+(a+2)2-10]≥0， 解得：-22-1≤a≤22-1， 故選：D． 設(shè)M(x,-x-a)，由已知條件利用兩點間距離公式得x2+(-x-a)2+x2+(-x-a-2)2=10，由此利用根的判別式能求出實數(shù)a的取值范圍． 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意兩點間距離公式和一元二次方程式根的判別式的合理運用． 12. 設(shè)m，θ∈R，則(22-m-cosθ)2+(22+m-sinθ)2的最小值為( ) A. 3 B. 4 C. 9 D. 16 （正確答案）C 解：令點P(22-m,22+m)，Q(cosθ,sinθ)． 點P在直線x+y-42=0上，點Q的軌跡為單位圓：x2+y2=1． 因此(22-m-cosθ)2+(22+m-sinθ)2的最小值為：單位圓上的點到直線x+y-42=0的距離的平方， 故其最小值=(422-1)2=(4-1)2=9． 故選：C． 令點P(22-m,22+m)，Q(cosθ,sinθ).點P在直線x+y-42=0上，點Q的軌跡為單位圓：x2+y2=1.因此(22-m-cosθ)2+(22+m-sinθ)2的最小值為：單位圓上的點到直線x+y-42=0的距離的平方，即可得出． 本題考查了直線與圓的方程、點到直線的距離公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 已知實數(shù)x，y滿足2x+y+5=0,那么x2+y2的最小值為______． （正確答案）5 【分析】 由題意得，所求的最小值就是原點到直線2x+y+5=0的距離.本題考查x2+y2的意義，以及點到直線的距離公式的應(yīng)用，其中明確x2+y2表示直線2x+y+5=0上的點與原點的距離，是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題． 【解答】 解：x2+y2 表示直線2x+y+5=0上的點與原點的距離，其最小值就是原點到直線2x+y+5=0 的距離|0+0+5|4+1=5， 故答案為5． 14. 已知m∈R，若點M(x,y)為直線l1：my=-x和l2：mx=y+m-3的交點，l1和l2分別過定點A和B，則|MA|?|MB|的最大值為______ ． （正確答案）5 解：動直線l1：my=-x過定點A(0,0)， 動直線l2：mx=y+m-3化為m(x-1)-(y-3)=0，得x=1，y=3.過定點B(1,3)． ∵此兩條直線互相垂直， ∴|MA|2+|PM|2=|AB|2=10， ∴10≥2|MA|?|MB|， ∴|MA|?|PM≤5， 當且僅當|MA|=|MB|時取等號． 故答案為：5． 求出定點A，B的坐標，由于此兩條直線互相垂直，可得|MA|2+|PM|2=|AB|2=10，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出． 本題考查了直線系、相互垂直的直線位置的關(guān)系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 15. 直線y=9-tx=-1+t(t為參數(shù))被圓y=5sinθ-1x=5cosθ+3(θ為參數(shù))所截得的弦長為______． （正確答案）27 解：由y=9-tx=-1+t，得x+y-8=0， 由y=5sinθ-1x=5cosθ+3，得y+1=5sinθx-3=5cosθ， 兩式平方作和得：(x-3)2+(y+1)2=25． ∴圓心坐標為(3,-1)，半徑為5． 圓心到直線的距離d=|13+1(-1)-8|2=62=32． ∴直線被圓所截弦長為2r2-d2=225-18=27． 故答案為：27． 分別化直線與圓的參數(shù)方程為普通方程，由點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理得答案． 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查垂徑定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題． 16. 已知實數(shù)x1、x2、y1、y2滿足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12，則|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值為______． （正確答案）1 解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)， OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)， 由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=12， 可得A，B兩點在圓x2+y2=1上， 且OA?OB=11cos∠AOB=12， 即有∠AOB=60°， 即三角形OAB為等邊三角形， AB=1， |x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的幾何意義為點A，B兩點 到直線x+y-1=0的距離d1與d2之和， 顯然d1+d2≤AB=1， 即|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的最大值為1， 故答案為：1． 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，由圓的方程和向量數(shù)量積的定義、坐標表示，可得三角形OAB為等邊三角形，AB=1，|x1+y1-1|2+|x2+y2-1|2的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y-1=0的距離d1與d2之和，由兩點的距離最短可得所求最大值． 本題考查向量數(shù)量積的坐標表示和定義，以及圓的方程和運用，考查點與圓的位置關(guān)系，運用點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題． 三、解答題（本大題共3小題，共30分） 17. 已知曲線C1：x=-4+costy=3+sint(t為參數(shù))，C2：x=8cosθy=3sinθ(θ為參數(shù))． (1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線； (2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t=π2，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C1：y=-2+tx=3+2t(t為參數(shù))距離的最小值． （正確答案）解：(1)把曲線C1：x=-4+costy=3+sint(t為參數(shù))化為普通方程得：(x+4)2+(y-3)2=1， 所以此曲線表示的曲線為圓心(-4,3)，半徑1的圓； 把C2：x=8cosθy=3sinθ(θ為參數(shù))化為普通方程得：x264+y29=1，所以此曲線方程表述的曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長半軸為8，短半軸為3的橢圓； (2)把t=π2代入到曲線C1的參數(shù)方程得：P(-4,4)， 把直線C3：x=3+2ty=-2+t(t為參數(shù))化為普通方程得：x-2y-7=0， 設(shè)Q的坐標為Q(8cosθ,3sinθ)，故M(-2+4cosθ,2+32sinθ) 所以M到直線的距離d=|4cosθ-3sinθ-13|5=|5sin(α-θ)-13|5，(其中sinα=45，cosα=3535) 從而當cosθ=45，sinθ=-35時，d取得最小值855． (1)分別消去兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)得到兩曲線的普通方程，即可得到曲線C1表示一個圓；曲線C2表示一個橢圓； (2)把t的值代入曲線C1的參數(shù)方程得點P的坐標，然后把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C2的參數(shù)方程設(shè)出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值． 此題考查學生理解并運用直線和圓的參數(shù)方程解決數(shù)學問題，靈活運用點到直線的距離公式及中點坐標公式化簡求值，是一道綜合題． 18. 已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點M到直線l:y=x+1的最小距離為 .點N在直線l上，過點N作直線與拋物線相切，切點分別為A，B． 求拋物線方程． 當原點O到直線AB的距離最大時，求三角形OAB的面積． （正確答案） 【小題1】 設(shè)y=x+b與拋物線y2=2px(p>0)相切，且與l：y=x+1的最小距離為，則 所以p=1或p=0(舍去)， 所以拋物線方程為y2=2x． 【小題2】 設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，N(x0,y0)，則 過點A的切線方程為yy1=x+x1， 點N在直線上，故有y0y1=x0+x1， 同理，y0y2=x0+x2， 故直線AB的方程為y0y=x0+x， y0=x0+1代入整理可得(y-1)x0+y-x=0， 所以AB恒過(1,1)， 點O到直線AB距離最大，顯然直線AB的方程為y=-x+2， 代入拋物線方程，整理得x2-6x+4=0， 所以x1+x2=6，x1x2=4， 所以AB=所以原點O到直線AB的距離最大時，三角形OAB的面積為 【小題1】略 【小題2】略 19. 在平面直角坐標系中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，取相同的長度單位，若曲線C1的極坐標方程為ρsinθ=-1，曲線C2的參數(shù)方程為y=-2+2sinθx=2cosθ(θ為參數(shù))，設(shè)P是曲線C1上任一點，Q是曲線C2上任一點． (1)求C1與C2交點的極坐標； (2)已知直線l：x-y+2=0，點P在曲線C2上，求點P到l的距離的最大值． （正確答案）解：(1)曲線C1的極坐標方程為ρsinθ=-1，轉(zhuǎn)化為C1的直角坐標方程為y=-1， 曲線C2的參數(shù)方程為y=-2+2sinθx=2cosθ(θ為參數(shù))，轉(zhuǎn)化為C2的普通方程為x2+(y+2)2=4 由x2+(y+2)2=4y=-1， 得x=3y=-1或x=-3y=-1 又∵(3)2+(-1)2=2,-13=-33=tan(-π6),-1-3=33=tan76π， 所以C1與C2的交點極坐標為(2,-π6)與(2,76π) (2)圓C2的圓心(0,-2)到直線l的距離為d=2+22=22， 圓半徑為2 所以點P到l的距離的最大值為22+2． (1)直接把參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程進行轉(zhuǎn)化.進一步建立方程組，求出結(jié)果． (2)直接利用點到直線的距離公式求出結(jié)果． 本題考查的知識要點：參數(shù)方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，二元二次方程組的解法，點到直線的距離公式的應(yīng)用．