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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分基礎(chǔ)與考點過關(guān) 不等式選講學(xué)案選修4-5.doc

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選修45　不等式選講第1課時　絕對值不等式含有絕對值的不等式的解法. ① 理解絕對值的幾何意義. ② 會解絕對值不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c. ③ 了解絕對值不等式：|x－c|＋|x－b|≥a的解法. 1. （選修45P5例2改編）解不等式|2x－1|>3. 解：不等式|2x－1|＞3可化為2x－1<－3或2x－1>3，解得x<－1或x>2.故不等式的解集為{x| x<－1或x>2}. 2. 已知|x－a||5－x|，兩邊同時平方得 4x2＋4x＋1>25－10x＋x2，即3x2＋14x－24>0，解得原不等式的解集為（－∞，－6）∪（，＋∞）. 4. （選修45P6例4改編）若存在實數(shù)x滿足不等式|x－4|＋|x－3|k的解集為R，求實數(shù)k的取值范圍. 解：（解法1）根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，－1，2在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為P，A，B，則原不等式等價于PA－PB>k恒成立.∵ AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3，∴ 故當k<－3時，原不等式恒成立.即實數(shù)k的取值范圍為（－∞，－3）. （解法2）令y＝|x＋1|－|x－2|，則y＝作出y＝的圖象（如圖），要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<－3即可.即實數(shù)k的取值范圍為（－∞，－3）. 1. 不等式的基本性質(zhì) ① a>b?bb，b>c?a>c； ③ a>b?a＋c>b＋c； ④ a>b，c>d?a＋c>b＋d； ⑤ a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?acb>0，c>d>0?ac>bd； ⑦ a>b>0?an>bn（n∈N，且n>1）； ⑧ a>b>0?>（n∈N，且n>1）. 2. 含有絕對值的不等式的解法 ① |f（x）|>a（a>0）?f（x）>a或f（x）<－a； ② |f（x）|0）?－a0，b>0，且a2＋b2＝，若a＋b≤m恒成立. （1）求m的最小值；（2）若2|x－1|＋|x|≥a＋b對任意的a，b恒成立，求實數(shù)x的取值范圍. 解：（1） ∵ （a2＋b2）（12＋12）≥（a＋b）2， ∴ a＋b≤3，當且僅當＝，即時取等號. ∵ a＋b≤m恒成立，∴ m≥3. 故m的最小值為3. （2）要使2|x－1|＋|x|≥a＋b恒成立，則2|x－1|＋|x|≥3， ∴ 或或 ∴ x≤－或x≥. ∴ x的取值范圍是∪. 1. （2017蘇北四市期末）已知a，b，c為正實數(shù)，＋＋＋27abc的最小值為m，解關(guān)于x的不等式|x＋1|－2x＜m. 解：因為a，b，c>0，所以＋＋＋27abc≥3＋27abc＝＋27abc≥2＝18，當且僅當a＝b＝c＝時，取等號，所以m＝18. 所以不等式|x＋1|－2x－，所以原不等式的解集為. 2. （2016江蘇卷）設(shè)a＞0，|x－1|＜，|y－2|＜，求證：|2x＋y－4|＜a. 證明：∵ |x－1|<，|y－2|<，∴ |2x＋y－4|＝|2（x－1）＋（y－2）|≤2|x－1|＋|y－2|<2＋＝a. 3. （2017蘇北四市期中）設(shè)c＞0，|x－1|＜，|y－1|＜，求證：|2x＋y－3|＜c. 證明：因為|x－1|＜，所以|2x－2|＜，故|2x＋y－3|＝|2x－2＋y－1|≤|2x－2|＋|y－1|＜＋＝c，故|2x＋y－3|＜c. 4. 已知一次函數(shù)f（x）＝ax－2. （1）當a＝3時，解不等式|f（x）|<4；（2）解關(guān)于x的不等式|f（x）|<4；（3）若不等式|f（x）|≤3對任意x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍. 解：（1）當a＝3時，則f（x）＝3x－2， ∴ |f（x）|<4?|3x－2|<4?－4<3x－2<4?－2<3x<6?－0時，不等式的解集為{x|－＜x＜}；當a<0時，不等式的解集為{x|＜x＜－}. （3） |f（x）|≤3?|ax－2|≤3?－3≤ax－2≤3?－1≤ax≤5? ∵ x∈[0，1]，∴ 當x＝0時，不等式組恒成立；當x≠0時，不等式組轉(zhuǎn)化為 ∵ ≥5，≤－1，∴ －1≤a≤5. ∴ a的取值范圍為[－1，5]. 1. （ 2017蘇州期初）已知a≥2，x∈R.求證：|x－1＋a|＋|x－a|≥3. 證明：因為|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－（x－a）|＝|2a－1|. 又a≥2，故|2a－1|≥3. 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3. 2. 設(shè)不等式|x－2|＋|3－x|0. 故ab＋1>a＋b. 2. 若a，b，c∈R*，且滿足a＋b＋c＝2，求abc的最大值. 解：因為a，b，c∈R*，所以2＝a＋b＋c≥3，故abc≤.當且僅當a＝b＝c＝時等號成立，所以abc的最大值為. 3. 若實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝4，求3a＋4b＋5c的最大值. 解：由柯西不等式得（3a＋4b＋5c）2≤（a2＋b2＋c2）（9＋16＋25）＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值為10. 4. 已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R.求證：≤.　證明：∵ x＞0，y＞0，∴ x＋y＞0， ∴ 要證≤，即證（ax＋by）2≤（x＋y）（a2x＋b2y），即證xy（a2－2ab＋b2）≥0，即證（a－b）2≥0. 而（a－b）2≥0顯然成立， ∴ ≤. 5. 已知a，b＞0，a＋b＝2，x，y＞0，求證：（ax＋by）（bx＋ay）≥4xy. 證明：已知（ax＋by）（bx＋ay）＝ab（x2＋y2）＋（a2＋b2）xy，且a，b，x，y＞0，所以由均值不等式得ab（x2＋y2）＋（a2＋b2）xy≥（a2＋2ab＋b2）xy＝（a＋b）2xy＝4xy，當且僅當x＝y(tǒng)時取等號. 1. 不等式證明的常用方法（1）比較法：比較法是證明不等式的一種最基本的方法，也是一種常用方法，基本不等式就是用比較法證得的.比較法有差值、比值兩種形式，但比值法必須考慮正負. 比較法證明不等式的步驟：作差（商）、變形、判斷符號.其中的變形主要方法是分解因式、配方，判斷過程必須詳細敘述. （2）綜合法：綜合法就是從題設(shè)條件和已經(jīng)證明過的基本不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直到推出要證明的結(jié)論，即為“由因?qū)Ч?，在使用綜合法證明不等式時，常常用到基本不等式. （3）分析法：分析法就是從所要證明的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的不等式，直至推出顯然成立的不等式，即為“執(zhí)果索因”. 2. 不等式證明的其他方法和技巧（1）反證法從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定結(jié)論是正確的證明方法. （2）放縮法欲證A≥B，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間量，使得A≥C1≥C2≥…≥Cn≥B，利用傳遞性達到證明的目的. （3）數(shù)學(xué)歸納法 3. 柯西不等式的二維形式（1）柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a1，a2，b1，b2均為實數(shù)，則（a＋a）（b＋b）≥（a1b1＋a2b2）2（當且僅當a1b2＝a2b1時，等號成立）. （2）柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|αβ|. （3）三角形不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么＋≥. 4. 柯西不等式的一般形式設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai，bi（i＝1，2，…，n）為實數(shù)，則ab≥，其中等號當且僅當＝＝…＝時成立（當ai＝0時，約定bi＝0，i＝1，2，…，n）. 5. 算術(shù)幾何平均不等式 ≥（a1，a2，…，an∈R*），等號當且僅當a1＝a2＝…＝an時成立. ,　　　　　　　　　1　用比較法證明不等式) ,　　　　　1)?。?017南京、鹽城模擬）設(shè)a≠b，求證：a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）. 證明：a4＋6a2b2＋b4－4ab（a2＋b2）＝（a2＋b2）2－4ab（a2＋b2）＋4a2b2＝（a2＋b2－2ab）2＝（a－b）4. 因為a≠b，所以（a－b）4＞0，所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab（a2＋b2）. 已知m，n是正數(shù)，求證：＋≥m2＋n2. 證明：∵ ＋－m2－n2＝＋＝＝，又m，n均為正實數(shù)，∴ ≥0， ∴ ＋≥m2＋n2，當且僅當m＝n時，等號成立. ,　　　　　　　　　2　用分析法、綜合法證明不等式) ,　　　　　2)?。?017南通、泰州模擬）設(shè)x，y，z均為正實數(shù)，且xyz＝1，求證：＋＋≥xy＋yz＋zx. 證明：因為x，y，z均為正實數(shù)，且xyz＝1，所以＋xy≥＝2yz，＋yz≥＝2xz，＋xz≥＝2xy. 所以＋＋≥xy＋yz＋zx. 變式訓(xùn)練已知a，b，c均為正數(shù).求證：a2＋b2＋c2＋≥6. 證明：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 同理＋＋≥＋＋，故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ca＋＋＋≥6. 所以原不等式成立. ,　　　　　　　　　3　均值不等式的應(yīng)用) ,　　　　　3)?。?017南通、揚州、泰州模擬）已知a，b，c，d是正實數(shù)，且abcd＝1.求證：a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d. 證明：因為a，b，c，d是正實數(shù)，且abcd＝1，所以a5＋b＋c＋d≥4＝4a?、? 同理b5＋c＋d＋a≥4b?、冢琧5＋d＋a＋b≥4c?、郏琩5＋a＋b＋c≥4d?、?，將①②③④式相加并整理，即得a5＋b5＋c5＋d5≥a＋b＋c＋d. 變式訓(xùn)練已知x，y，z均為正數(shù)，求證：＋＋≥＋＋. 證明：因為x，y，z均為正數(shù)，所以＋≥≥. 同理可得＋≥，＋≥. 當且僅當x＝y(tǒng)＝z時，以上三式等號都成立. 將上述三個不等式左、右兩邊分別相加，并除以2，得＋＋≥＋＋. 已知正數(shù)a，b，c滿足abc＝1，求（a＋2）（b＋2）（c＋2）的最小值. 解：∵ （a＋2）（b＋2）（c＋2）＝（a＋1＋1）（b＋1＋1）（c＋1＋1）≥333＝27＝27，當且僅當a＝b＝c＝1時等號成立， ∴ （a＋2）（b＋2）（c＋2）的最小值為27. ,　　　　　　　　　4　柯西不等式的應(yīng)用) ,　　　　　4)　（2017蘇錫常鎮(zhèn)一模）已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝3，求＋＋的最大值. 解：由柯西不等式可得（＋＋）2≤（12＋12＋12）[（）2＋（）2＋（）2]＝312， ∴ ＋＋≤6，當且僅當＝＝時取等號. ∴ ＋＋的最大值是6. 變式訓(xùn)練求函數(shù)f（x）＝5＋的最大值. 解：函數(shù)定義域為[0，4]，且f（x）≥0. 由柯西不等式得[52＋（）2][（）2＋（）2]≥（5＋）2，即274≥（5＋）2，所以5＋≤6. 當且僅當＝5，即x＝時，取等號. 所以函數(shù)f（x）＝5＋的最大值為6. （2017南京期末）求函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值. 解：y＝3sin x＋2＝3sin x＋4. 由柯西不等式得y2＝（3sin x＋4）2≤（32＋42）（sin2x＋cos2x）＝25，所以ymax＝5，此時sin x＝. 所以函數(shù)y＝3sin x＋2的最大值為5. 1. （2017蘇州期中）已知a，b，c，d都是正實數(shù)，且a＋b＋c＋d＝1，求證：＋＋＋≥. 證明：∵ [（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）]≥（＋＋＋）2＝（a＋b＋c＋d）2＝1，又（1＋a）＋（1＋b）＋（1＋c）＋（1＋d）＝5， ∴ ＋＋＋≥. 2. （2017南京、鹽城期末）若實數(shù)x，y，z滿足x＋2y＋z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值. 解：由柯西不等式，得（x＋2y＋z）2≤（12＋22＋12）（x2＋y2＋z2），即x＋2y＋z≤. 因為x＋2y＋z＝1，所以x2＋y2＋z2≥，當且僅當＝＝，即x＝z＝，y＝時取等號. 綜上，（x2＋y2＋z2）min＝. 3. （2017鎮(zhèn)江期末）已知a＞0，b＞0，求證：（a2＋b2＋ab）（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2. 證明：因為a＞0，b＞0，由均值不等式知a2＋b2＋ab≥3＝3ab，ab2＋a2b＋1≥3＝3ab，所以兩式相乘可得（a2＋b2＋ab）（ab2＋a2b＋1）≥9a2b2. 4. （2017常州期末）已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，求4x2＋y2的最小值. 解：（解法1）根據(jù)柯西不等式得[（2x）2＋y2]（12＋12）≥（2x＋y）2，化簡得4x2＋y2≥18，當且僅當2x＝y(tǒng)＝3，即x＝，y＝3時取等號. 因此，當x＝，y＝3時，4x2＋y2取得最小值18. （解法2）由2x＋y＝6得y＝6－2x；由x＞0，y＞0，得0＜x＜3. 因此4x2＋y2＝4x2＋（6－2x）2＝8x2－24x＋36＝8＋18. 當x＝，y＝3時，4x2＋y2取得最小值18. 5. 已知a，b，c>0，且＋＋＝1，求證：＋＋≤. 證明：因為＋＋＝1，所以＋＋＝2. 由柯西不等式，得（＋＋）（＋＋）≥（＋＋）2，所以＋＋≤. 1. 已知x1，x2，x3為正實數(shù)，若x1＋x2＋x3＝1，求證：＋＋≥1. 證明：因為x1，x2，x3為正實數(shù)，所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2＋2＋2＝2（x1＋x2＋x3）＝2，當且僅當x1＝x2＝x3時取等號.所以＋＋≥1. 2. 設(shè)a，b，c均為正數(shù)， abc＝1.求證：＋＋≥＋＋. 證明：由a，b，c均為正數(shù)，根據(jù)均值不等式，得＋≥，＋≥，＋≥. 將此三式相加，得2≥＋＋，即＋＋≥＋＋. 由abc＝1，則有＝1. 所以＋＋≥＋＋＝＋＋. 3. （2017蘇北三市模擬）已知a，b，c為正實數(shù)，且a3＋b3＋c3＝a2b2c2.求證：a＋b＋c≥3. 證明：因為a3＋b3＋c3＝a2b2c2≥3，所以abc≥3，所以a＋b＋c≥3≥3，當且僅當a＝b＝c＝時，取等號. 4. 已知a，b，c∈R，a2＋2b2＋3c2＝6，求a＋b＋c的最大值. 解：由柯西不等式，得[a2＋（b）2＋（c）2]≥（a＋b＋c）2. 因為a2＋2b2＋3c2＝6，所以（a＋b＋c）2≤11，所以－≤a＋b＋c≤. 所以a＋b＋c的最大值為，當且僅當a＝2b＝3c＝時取得.

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