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第五章數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 5 1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 一 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作 加法 乘法 延遲 為了表示簡單 通常用信號流圖來表示其運(yùn)算結(jié)構(gòu) 對于加法 乘法及延遲這三種基本運(yùn)算 return 只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸入節(jié)點(diǎn)或源點(diǎn) 只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)稱為輸出節(jié)點(diǎn)或阱點(diǎn) 既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)叫做混合節(jié)點(diǎn) 通路是指從源點(diǎn)到阱點(diǎn)之間沿著箭頭方向的連續(xù)的一串支路 通路的增益是該通路上各支路增益的乘積 回路是指從一個節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著支路箭頭方向到達(dá)同一個節(jié)點(diǎn)的閉合通路 它象征著系統(tǒng)中的反饋回路 組成回路的所有支路增益的乘積通常叫做回路增益 梅遜 Mason 公式 式中Tk為從輸入節(jié)點(diǎn) 源點(diǎn) 到輸出節(jié)點(diǎn) 阱點(diǎn) 的第k條前向通路增益 為流圖的特征式 k是不接觸第k條前向通路的特征式余因子 信號流圖的轉(zhuǎn)置定理 對于單個輸入 單個輸出的系統(tǒng) 通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向 并且將其輸入和輸出互換 得出的流圖具有與原始流圖相同的系統(tǒng)函數(shù) 信號流圖轉(zhuǎn)置的作用 轉(zhuǎn)變運(yùn)算結(jié)構(gòu) 驗(yàn)證計(jì)算流圖的系統(tǒng)函數(shù)的正確與否 運(yùn)算結(jié)構(gòu)對濾波器的實(shí)現(xiàn)很重要 尤其對于一些定點(diǎn)運(yùn)算的處理機(jī) 結(jié)構(gòu)的不同將會影響系統(tǒng)的精度 誤差 穩(wěn)定性 經(jīng)濟(jì)性以及運(yùn)算速度等許多重要的性能 對于無限長單位沖激響應(yīng) IIR 數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器 它們在結(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點(diǎn) 因此我們在下面將對它們分別加以討論 二 IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn) 存在反饋環(huán)路 遞歸型結(jié)構(gòu) 同一系統(tǒng)函數(shù) 有各種不同的結(jié)構(gòu)形式 其主要結(jié)構(gòu)有 1 直接型直接由IIRDF的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 圖二IIR數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 上述結(jié)構(gòu)缺點(diǎn) 需要2N個延遲器 z 1 太多 系數(shù)ai bi對濾波器性能的控制不直接 對極 零點(diǎn)的控制難 一個ai bi的改變會影響系統(tǒng)的零點(diǎn)或極點(diǎn)分布 對字長變化敏感 對ai bi的準(zhǔn)確度要求嚴(yán)格 易不穩(wěn)定 階數(shù)高時 上述影響更大 2 直接 型上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò) H1 z 和H2 z 兩部分串接構(gòu)成總的系統(tǒng)函數(shù) 由系統(tǒng)函數(shù)的不變性 系統(tǒng)是線性的 得 兩條延時鏈中對應(yīng)的延時單元內(nèi)容完全相同 可合并 得 直接II型優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn) 延遲線減少一半 為N個 可節(jié)省寄存器或存儲單元 缺點(diǎn) 同直接型 通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng) 而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng) 一 二階 來實(shí)現(xiàn) 3 級聯(lián)型 串聯(lián) 一個N階系統(tǒng)函數(shù)可用它的零 極點(diǎn)表示 即把它的分子 分母都表達(dá)為因子形式由于系數(shù) 都是實(shí)數(shù) 極 零點(diǎn)為實(shí)根或共軛復(fù)根 所以有 實(shí)根 復(fù)根且將共軛因子合并為實(shí)系數(shù)二階因子 單實(shí)根因子看作二階因子的一個特例 則 為實(shí)系數(shù) 用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成濾波器 二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié) 可用正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn) 簡化實(shí)現(xiàn) 用一個二階節(jié) 通過變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個系統(tǒng) 極 零點(diǎn)可單獨(dú)控制 調(diào)整 調(diào)整 可單獨(dú)調(diào)整第對零點(diǎn) 調(diào)整 可單獨(dú)調(diào)整第對極點(diǎn) 各二階節(jié)零 極點(diǎn)的搭配可互換位置 優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差 可流水線操作 缺點(diǎn) 二階節(jié)電平難控制 電平大易導(dǎo)致溢出 電平小則使信噪比減小 4 并聯(lián)型 將系統(tǒng)函數(shù)展開成部分分式之和 可用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器 將上式中的共軛復(fù)根成對地合并為二階實(shí)系數(shù)的部分分式 上式表明 可用L個一階網(wǎng)絡(luò) M個二階網(wǎng)絡(luò)以及一個常數(shù)并聯(lián)組成濾波器H z 結(jié)構(gòu)如下圖 特點(diǎn) 系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)簡單 只需一個二階節(jié) 系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成 極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整 運(yùn)算速度快 可并行進(jìn)行 各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響 總的誤差小 對字長要求低 缺點(diǎn) 不能直接調(diào)整零點(diǎn) 因多個二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn) 當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時 級聯(lián)型最合適 三 FIRDF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式 FIRDF特點(diǎn) 主要是非遞歸結(jié)構(gòu) 無反饋 但在頻率采樣結(jié)構(gòu)等某些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分 它的系統(tǒng)函數(shù)和差分方程一般有如下形式 基本的結(jié)構(gòu)形式有下幾種 1 直接型 卷積型 橫截型 卷積型 差分方程是信號的卷積形式 橫截型 差分方程是一條輸入x n 延時鏈的橫向結(jié)構(gòu) 直接由差分方程可畫出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 圖 直接型的轉(zhuǎn)置 圖 2 級聯(lián)型 串聯(lián)型 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時 可將系統(tǒng)函數(shù)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的形式 于是可用二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成 每一個二階節(jié)控制一對零點(diǎn) 缺點(diǎn) 所需要的系數(shù)a比直接型的h n 多 乘法運(yùn)算多于直接型 圖 3 線性相位型FIR的重要特點(diǎn)是可設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器 此時滿足偶對稱或奇對稱條件 偶對稱時 N為偶數(shù) N為奇數(shù) 由上兩式 可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu) 如圖 優(yōu)點(diǎn) 線相相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)減為 N偶數(shù) N奇數(shù) 橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù) N次 圖N為偶數(shù)的線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu) 圖N為奇數(shù)的線性相位FIR濾波器結(jié)構(gòu) 4 頻率采樣型第二章討論了有限長序列可以進(jìn)行頻域采樣 現(xiàn)是長為的序列 因此也可對系統(tǒng)函數(shù)H z 在單位圓上作等分采樣 這個采樣值也就是的離散付里葉變換值H k 根據(jù)上一章的討論 用頻率采樣表達(dá)z函數(shù)的內(nèi)插公式為 H z 由兩部分級聯(lián)而成 第一部分 部分 這是一個由節(jié)延時器組成的梳狀濾波器 它在單位圓上有個等分的零點(diǎn) 其頻響為 梳狀濾波器頻響 第二部分 IIR部分 是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò) 此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點(diǎn) 該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為 是一個諧振頻率為的諧振器 這些并聯(lián)諧振器的極點(diǎn)正好各自抵消一個梳狀濾波器的零點(diǎn) 從而使這個頻率點(diǎn)的響應(yīng)等于 兩部分級聯(lián)后 就得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu) 圖頻率采樣型結(jié)構(gòu) 這一結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是它的系數(shù)H k 直接就是濾波器在處的響應(yīng) 因此 控制濾波器的響應(yīng)很直接 兩個主要的缺點(diǎn) 所有的系數(shù)和都是復(fù)數(shù) 計(jì)算復(fù)雜 所有諧振器的極點(diǎn)都在單位圓上 考慮到系數(shù)量化的影響 有些極點(diǎn)實(shí)際上不能與梳狀濾波器的零點(diǎn)相抵消 使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差 為了克服這兩個缺點(diǎn) 作兩點(diǎn)修正 1 將所有零點(diǎn)和極點(diǎn)移到半徑為的圓上 略小于1 同時頻率采樣點(diǎn)也移到該圓上 以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性 這時 2 共軛根合并 將一對復(fù)數(shù)一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個實(shí)系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò) 這些共軛根在圓周上是對稱點(diǎn)即同樣 h m 因是實(shí)數(shù) 其DFT也是圓周共軛對稱的 因此可將第k及第N k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)其中 這個二端網(wǎng)絡(luò)是一個有限Q值的諧振器 諧振頻率為 除了以上共軛極點(diǎn)外 還有實(shí)數(shù)極點(diǎn) 分兩種情況 當(dāng)為偶數(shù)時 有二個實(shí)數(shù)極點(diǎn) 對應(yīng)H 0 和H N 2 有二個一階網(wǎng)絡(luò) 所以有 當(dāng)為奇數(shù)時 只有一個實(shí)數(shù)極點(diǎn) 對應(yīng)H 0 有一個一階網(wǎng)絡(luò) 所以有 改進(jìn)后的頻率采樣型結(jié)構(gòu)如下圖 頻率采樣型特點(diǎn) 一 優(yōu)點(diǎn) 1 選頻性好 適于窄帶濾波 大部分H k 為0 只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò) 2 不同的FIR濾波器 若長度相同 可通過改變系數(shù)用同一個網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn) 3 復(fù)用性好 二 缺點(diǎn) 結(jié)構(gòu)復(fù)雜 采用的存貯器多 說明 頻率采樣型結(jié)構(gòu) 適合于任何FIR系統(tǒng)函數(shù) 頻率采樣法設(shè)計(jì)得到的系統(tǒng)函數(shù) 可以用頻率采樣型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn) 也可以用橫截型 級聯(lián)型或FFT實(shí)現(xiàn) 5 FFT快速算法