《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.3.2 含有一個量詞的命題的否定學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.3.2 含有一個量詞的命題的否定學(xué)案 蘇教版選修1 -1.docx（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1.3.2　含有一個量詞的命題的否定 學(xué)習目標　1.理解含有一個量詞的命題的否定的意義.2.會對含有一個量詞的命題進行否定.3.掌握全稱命題的否定是存在性命題，存在性命題的否定是全稱命題. 知識點一　全稱命題與存在性命題的否定 思考1　寫出下列命題的否定： ①所有的矩形都是平行四邊形； ②有些平行四邊形是菱形. 答案?、俨⒎撬械木匦味际瞧叫兴倪呅? ②每一個平行四邊形都不是菱形. 思考2　對①的否定能否寫成：所有的矩形都不是平行四邊形？ 答案　不能. 思考3　對②的否定能否寫成：有些平行四邊形不是菱形？ 答案　不能. 梳理　(1) 命題 命題的表述 全稱命題p ?x∈M，p(x) 全稱命題的否定綈p ?x∈M，綈p(x) 存在性命題p ?x∈M，p(x) 存在性命題的否定綈p ?x∈M，綈p(x) (2)常見的命題的否定形式 原語句 是 都是 > 至少有一個 至多有一個 對任意x∈A使p(x)為真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一個也沒有 至少有兩個 存在x∈A使p(x)為假 知識點二　含有一個量詞的命題p的否定真假性判斷 對“含有一個量詞的命題p的否定”的真假判斷一般有兩種思路：一是直接判斷綈p的真假，二是用p與綈p的真假性相反來判斷. 1.命題綈p的否定是p.(　√　) 2.?x∈M，p(x)與?x∈M，綈p(x)的真假性相反.(　√　) 3.從存在性命題的否定看，是對“量詞”和“p(x)”同時否定.(　　) 類型一　全稱命題的否定 例1　寫出下列命題的否定，并判斷其真假： (1)p：任意n∈Z，則n∈Q； (2)p：等圓的面積相等，周長相等； (3)p：偶數(shù)的平方是正數(shù). 考點　全稱命題的否定 題點　含有全稱量詞的命題的否定 解　(1)綈p：存在n∈Z，使n?Q，這是假命題. (2)綈p：存在等圓，其面積不相等或周長不相等，這是假命題. (3)綈p：存在偶數(shù)的平方不是正數(shù)，這是真命題. 反思與感悟　(1)寫出全稱命題的否定的關(guān)鍵是找出全稱命題的全稱量詞和結(jié)論，把全稱量詞改為存在量詞，結(jié)論變?yōu)榉穸ǖ男问骄偷玫矫}的否定. (2)有些全稱命題省略了量詞，在這種情況下，千萬不要將否定簡單的寫成“是”或“不是”.全稱命題的否定的真假性與全稱命題相反. 跟蹤訓(xùn)練1　寫出下列全稱命題的否定： (1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)； (2)p：對任意x∈Z，x2的個位數(shù)字都不等于3； (3)p：在數(shù)列{1,2,3,4,5}中的每一項都是偶數(shù)； (4)p：可以被5整除的整數(shù)，末位是0. 考點　全稱命題的否定 題點　含有全稱量詞的命題的否定 解　(1)綈p：存在一個能被3整除的整數(shù)不是奇數(shù). (2)綈p：?x∈Z，x2的個位數(shù)字等于3. (3)綈p：在數(shù)列{1,2,3,4,5}中至少有一項不是偶數(shù). (4)綈p：存在被5整除的整數(shù)，末位不是0. 類型二　存在性命題的否定 例2　寫出下列存在性命題的否定，并判斷其否定的真假： (1)有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)； (2)某些平行四邊形是菱形； (3)?x∈R，x2＋1<0； (4)?x，y∈Z，使得x＋y＝3. 考點　存在性命題的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 解　(1)命題的否定是“不存在一個實數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，即“所有實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)”.命題的否定是假命題. (2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”.由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題. (3)命題的否定是“不存在x∈R，使x2＋1<0”，即“?x∈R，x2＋1≥0”.由于x2＋1≥1>0，因此命題的否定是真命題. (4)命題的否定是“?x，y∈Z，x＋y≠3”. 當x＝0，y＝3時，x＋y＝3，因此命題的否定是假命題. 引申探究 若本例(2)改為“某些平行四邊形是正方形”，寫出該命題的否定并判斷真假. 解　命題的否定是“沒有一個平行四邊形是正方形”，即“每一個平行四邊形都不是正方形”，假命題. 反思與感悟　(1)對存在性命題否定的兩個步驟 ①改變量詞：把存在量詞換為恰當?shù)娜Q量詞. ②否定性質(zhì)：原命題中的“有”“存在”等更改為“沒有”“不存在”等. (2)存在性命題否定后的真假判斷 存在性命題的否定是全稱命題，其真假性與存在性命題相反；要說明一個存在性命題是真命題，只需要找到一個實例即可. 跟蹤訓(xùn)練2　寫出下列存在性命題的否定： (1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0； (2)p：有的三角形是等邊三角形； (3)p：存在一元二次方程無實數(shù)根. 考點　存在性命題的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 解　(1)綈p：?x∈R，x2＋2x＋2>0. (2)綈p：所有的三角形都不是等邊三角形. (3)綈p：所有一元二次方程都有實數(shù)根. 類型三　含量詞命題的否定的應(yīng)用 例3　對于任意實數(shù)x，不等式sinx＋cosx>m恒成立.求實數(shù)m的取值范圍. 考點　全稱量詞、存在性量詞的否定 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 解　令y＝sinx＋cosx，x∈R， ∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－， 又∵?x∈R，sinx＋cosx>m恒成立， ∴只要m<－即可， ∴所求m的取值范圍是(－∞，－). 反思與感悟　若全稱命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定——存在性命題為真命題解決.同理，若存在性命題為假命題，通常轉(zhuǎn)化為其否定——全稱命題為真命題解決. 跟蹤訓(xùn)練3　若本例條件變?yōu)椋骸按嬖趯崝?shù)x，使不等式sinx＋cosx>m有解”，求實數(shù)m的取值范圍. 考點　存在性命題的否定 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 解　令y＝sinx＋cosx，x∈R， ∵y＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]. 又∵?x∈R，sinx＋cosx>m有解， ∴只要m<即可， ∴所求m的取值范圍是(－∞，). 1.命題p：“存在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根”，則“綈p”形式的命題是__________________________. 考點　存在性命題的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實根 解析　命題p是存在性命題，其否定形式為全稱命題，即綈p：對任意的實數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實根. 2.設(shè)x∈Z，集合A是奇數(shù)集，集合B是偶數(shù)集.若命題p：?x∈A,2x∈B，則綈p為________________. 考點　全稱命題的否定 題點　含有全稱量詞的否定 答案　?x∈A,2x?B 3.對下列命題的否定說法錯誤的是________(填序號). ①p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；綈p：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)；②p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形；③p：有的三角形為正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形；④p：?x∈R，x2＋x＋2≤0；綈p：?x∈R，x2＋x＋2＞0. 考點　全稱命題，存在性命題的否定 題點　含有全稱量詞和存在量詞的否定 答案　③ 解析　“有的三角形為正三角形”為存在性命題，其否定為全稱命題：“所有的三角形都不是正三角形”，故③錯誤. 4.命題“至少有一個正實數(shù)x滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是____________________________. 考點　存在量詞的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　所有正實數(shù)x都不滿足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 解析　把量詞“至少有一個”改為“所有”，“滿足”改為“都不滿足”，得命題的否定. 5.已知命題“存在x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點　存在性命題的否定 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 答案　(－1,3) 解析　由題意知，“?x∈R，都有2x2＋(a－1)x＋>0”是真命題，可得Δ＝(a－1)2－42<0，∴－12n，則綈p為____________. 考點　存在性命題的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　?n∈N，n2≤2n 解析　將命題p的量詞“?”改為“?”，“n2>2n”改為“n2≤2n”. 2.命題“任意x∈R，若y>0，則x2＋y>0”的否定是________________. 考點　全稱命題的否定 題點　含有全稱量詞命題的否定 答案　存在x∈R，若y>0，則x2＋y≤0 解析　已知命題是一個全稱命題，其否定為存在性命題，先將“任意”換成“存在”，再否定結(jié)論，即命題的否定是“存在x∈R，若y>0，則x2＋y≤0”. 3.下列命題的否定為真命題的是________.(填序號) ①?x∈R，－x2＋x－1<0； ②?x∈R，|x|>x； ③?x，y∈Z,2x－5y≠12； ④?x∈R，sin2x＋sinx＋1＝0. 考點　全稱量詞、存在性量詞的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案?、冖邰? 解析　命題的否定為假命題亦即原命題為真命題，只有①為真命題，其余均為假命題，故否定為真命題的是②③④. 4.若?θ∈R，使sinθ<1是假命題，則cos的值為________. 考點　存在性命題的否定 題點　含存在量詞的命題的否定 答案　 解析　由題意得?θ∈R，sinθ－1≥0. 又－1≤sinθ≤1，∴sinθ＝1. ∴θ＝2kπ＋(k∈Z)， 故cos＝. 5.下列命題中的真命題是________.(填序號) ①?x∈R，使得sinx＋cosx＝； ②?x∈(0，＋∞)，ex>x＋1； ③?x∈(－∞，0)，2x<3x； ④?x∈(0，π)，sinx>cosx. 考點　全稱量詞，存在性量詞的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案?、? 解析　∵sinx＋cosx＝sin≤<，故①錯誤；設(shè)f(x)＝ex－x－1，則f′(x)＝ex－1， ∴f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，又f(0)＝0， ∴?x∈(0，＋∞)，f(x)>0， 即ex>x＋1，故②正確； 當x<0時，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故③錯誤；∵當x∈時，sinx0成立”為真，則參數(shù)a的取值范圍為________. 考點　存在性命題的否定 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 答案　(－3，＋∞) 解析　由已知得綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立. ∴設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a， 則 ∴解得a≤－3， ∵綈p為假，∴a>－3，即a的取值范圍是(－3，＋∞). 7.已知命題p：?x∈R，x2－x＋<0，命題q：?x∈R，sinx＋cosx＝－，則在p∨q，p∧q，綈p，綈q中是真命題的有________. 考點　全稱量詞，存在性量詞的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案　p∨q，綈p 解析　∵x2－x＋＝2≥0， ∴p為假命題. ∵sinx＋cosx＝sin∈[－，]， ∴q為真命題. 故p∨q，綈p為真命題. 8.下列命題中是假命題的是________.(填序號) ①?m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是冪函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； ②?a>0，函數(shù)f(x)＝(lnx)2＋lnx－a有零點； ③?α，β∈R，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ； ④?φ∈R，函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函數(shù). 考點　全稱量詞，存在性量詞的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案?、? 解析　∵f(x)是冪函數(shù)，∴m－1＝1， ∴m＝2，∴f(x)＝x－1， ∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故①為真命題； ∵y＝(lnx)2＋lnx＝2－的值域為， ∴?a>0，方程(lnx)2＋lnx－a＝0有解， 即f(x)有零點，故②為真命題； ∵當α＝β＝0時，cos(α＋β)＝cosα＋sinβ成立，故③為真命題； ∵當φ＝時，f(x)＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數(shù)，故④為假命題. 9.已知命題p：“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充要條件，命題q：?x∈R，x2＋x－1>0，則下列結(jié)論中正確的是________. ①命題“p∧q”是真命題； ②命題“p∧(綈q)”是真命題； ③命題“綈p∧q”是真命題； ④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題. 考點　全稱量詞，存在性量詞的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 答案?、? 解析　因為a＝1可以推出x＋＝x＋≥2＝2， 顯然當a＝2時也能推出“?x>0，x＋≥2”成立， 所以“a＝1”是“?x>0，x＋≥2”的充分不必要條件， 故p是假命題.而q是真命題，故③正確. 10.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，則實數(shù)m的取值范圍為________. 考點　全稱量詞、存在性量詞的否定 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 答案　 解析　當x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝0， 當x∈[1,2]時，g(x)min＝g(2)＝－m， 由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m， 所以m≥. 二、解答題 11.命題p是“對某些實數(shù)x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常數(shù). (1)寫出命題p的否定； (2)當a，b滿足什么條件時，命題p的否定為真？ 考點　存在性命題的否定 題點　含一個量詞的命題真假判斷 解　(1)命題p的否定：對任意實數(shù)x，有x－a≤0且x－b>0. (2)要使命題p的否定為真，需要使不等式組的解集不為空集， 通過畫數(shù)軸可看出，a，b應(yīng)滿足的條件是b0， ∴a>2或a<－2. ∴當命題q為假命題時，－2≤a≤2. ∴當命題p為真命題，q為假命題時， a的取值范圍為[－2，－1]. 三、探究與拓展 14.已知當－1≤a≤1時，x2＋(a－4)x＋4－2a≤0不成立，則實數(shù)x的取值范圍為________. 考點　全稱命題的否定 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 答案　(－∞，1)∪(3，＋∞) 解析　設(shè)f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，則f(a)>0對?a∈[－1,1]恒成立等價于 即解得x<1或x>3， 即實數(shù)x的取值范圍是(－∞，1)∪(3，＋∞). 15.f(x)是定義在[－2,2]上的奇函數(shù)，當x∈(0,2]時，f(x)＝2x－1，函數(shù)g(x)＝x2－2x＋m.如果?x1∈[－2,2]，?x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，則實數(shù)m的取值范圍為________. 考點　全稱量詞、存在性量詞 題點　由含量詞的命題的真假求參數(shù)的范圍 答案　[－5，－2] 解析　因為當x∈(0,2]時，函數(shù)f(x)＝2x－1，所以f(x)的值域為(0,3].又因為f(x)是[－2,2]上的奇函數(shù)，所以當x＝0時，f(0)＝0，所以在[－2,2]上f(x)的值域為[－3,3].而在[－2,2]上，g(x)的值域為[m－1,8＋m].如果對于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，則有[－3,3]?[m－1,8＋m]，所以解得所以－5≤m≤－2.