2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)(第1課時(shí))拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案(含解析)新人教B版選修1 -1.docx
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第1課時(shí) 拋物線的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等幾何性質(zhì).2.會(huì)利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一 拋物線的幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) 圖形 性質(zhì) 范圍 x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 對(duì)稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) (0,0) 離心率 e=1 知識(shí)點(diǎn)二 焦點(diǎn)弦 設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y(tǒng)1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 1.橢圓、雙曲線和拋物線都是中心對(duì)稱圖形.( ) 2.拋物線和雙曲線一樣,開(kāi)口大小都與離心率有關(guān).( ) 3.拋物線只有一條對(duì)稱軸和一個(gè)頂點(diǎn).( √ ) 4.拋物線的開(kāi)口大小與焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離有關(guān).( √ ) 題型一 由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程 例1 已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上,直線l過(guò)F且垂直于x軸,l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若△OAB的面積等于4,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解 由題意,設(shè)拋物線方程為y2=2mx(m≠0), 焦點(diǎn)F.直線l:x=, 所以A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)為,, 所以|AB|=2|m|. 因?yàn)椤鱋AB的面積為4, 所以2|m|=4, 所以m=2. 所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. 引申探究 等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2=2px(p>0),O為拋物線的頂點(diǎn),OA⊥OB,則△AOB的面積是( ) A.8p2B.4p2C.2p2D.p2 答案 B 解析 因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為x軸,內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形,所以由拋物線的對(duì)稱性知,直線AB與拋物線的對(duì)稱軸垂直,從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組 得或 所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2p,2p),同理可得B(2p,-2p), 所以|AB|=4p,所以S△AOB=4p2p=4p2. 反思感悟 把握三個(gè)要點(diǎn)確定拋物線的幾何性質(zhì) (1)開(kāi)口:由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開(kāi)口,關(guān)鍵是看準(zhǔn)二次項(xiàng)是x還是y,一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù). (2)關(guān)系:頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間,準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸. (3)定值:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(又稱為通徑)長(zhǎng)為2p;離心率恒等于1. 跟蹤訓(xùn)練1 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸重合于橢圓+=1短軸所在的直線,拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為5,求拋物線的方程. 解 ∵橢圓+=1的短軸所在直線為x軸, ∴拋物線的對(duì)稱軸為x軸. 設(shè)拋物線的方程為y2=ax(a≠0), 設(shè)=5,∴a=20. ∴拋物線的方程為y2=20x或y2=-20x. 題型二 拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題 例2 已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=6x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn). (1)若直線l的傾斜角為60,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離. 解 (1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60, 所以其斜率k=tan 60=. 又F,所以直線l的方程為y=. 聯(lián)立消去y,得x2-5x+=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=5. 而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+ =x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線定義知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3, 所以x1+x2=6,所以線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3. 又準(zhǔn)線方程是x=-, 所以M到準(zhǔn)線的距離等于3+=. 引申探究 本例中,若A,B在其準(zhǔn)線上的射影分別為A1,B1,求∠A1FB1. 解 由拋物線定義|AA1|=|AF|,得∠AA1F=∠AFA1, 又AA1∥x軸, ∴∠OFA1=∠AA1F, ∴∠OFA1=∠AFA1, 同理得∠OFB1=∠BFB1, ∴∠A1FO+∠B1FO=90,即∠A1FB1=90. 反思感悟 (1)拋物線的焦半徑 定義 拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段 焦半徑公式 P(x0,y0)為拋物線上一點(diǎn),F(xiàn)為焦點(diǎn). ①若拋物線y2=2px(p>0),則|PF|=x0+; ②若拋物線y2=-2px(p>0),則|PF|=-x0; ③若拋物線x2=2py(p>0),則|PF|=y(tǒng)0+; ④若拋物線x2=-2py(p>0),則|PF|=-y0 (2)過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)的求解方法 設(shè)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p.然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元,由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2即可. 跟蹤訓(xùn)練2 直線l過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則直線l的方程為_(kāi)_______________. 答案 x+y-1=0或x-y-1=0 解析 因?yàn)閽佄锞€y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), 若l與x軸垂直,則|AB|=4,不符合題意. 所以可設(shè)所求直線l的方程為y=k(x-1). 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 則由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=. 又AB過(guò)焦點(diǎn),由拋物線的定義可知|AB|=x1+x2+p=+2=8,即=6,解得k=1. 所以所求直線l的方程為x+y-1=0或x-y-1=0. 1.以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為( ) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 答案 C 解析 設(shè)拋物線y2=2px或y2=-2px(p>0),p=4. 2.若拋物線y2=x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由題意知,點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到頂點(diǎn)O的距離,因此點(diǎn)P在線段OF的垂直平分線上,而F,所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入拋物線方程得y=,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為,故選B. 3.已知過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)作直線l,交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則|AB|的值為_(kāi)_______. 答案 10 解析 由y2=8x,得p=4,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由焦點(diǎn)弦公式得|AB|=x1+x2+p=2+4 =23+4=10. 4.對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線,給出下列條件: ①焦點(diǎn)在y軸上; ②焦點(diǎn)在x軸上; ③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6; ④拋物線的通徑的長(zhǎng)為5; ⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線,垂足坐標(biāo)為(2,1). 符合拋物線方程為y2=10x的條件是________.(要求填寫合適條件的序號(hào)) 答案?、冖? 解析 由拋物線方程y2=10x,知它的焦點(diǎn)在x軸上, 所以②符合. 又因?yàn)樗慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為F,原點(diǎn)O(0,0), 設(shè)點(diǎn)P(2,1),可得kPOkPF=-1,所以⑤也符合. 而①顯然不符合,通過(guò)計(jì)算可知③,④不合題意. 所以應(yīng)填②⑤. 5.求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程: (1)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4; (2)頂點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的中心,準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn),且垂直于坐標(biāo)軸. 解 (1)由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)應(yīng)的圖形易知:頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,故=4,p=8. 因此,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x或x2=16y. (2)雙曲線方程16x2-9y2=144化為標(biāo)準(zhǔn)形式為-=1,中心為原點(diǎn),左頂點(diǎn)為(-3,0),故拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線為x=-3.由題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),可得=3,故p=6.因此,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x. 1.討論拋物線的幾何性質(zhì),一定要利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;利用幾何性質(zhì),也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程. 2.解決拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí),要注意拋物線定義在其中的應(yīng)用,通過(guò)定義將焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為端點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題,從而可借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解. 3.設(shè)直線方程時(shí)要特別注意斜率不存在的直線應(yīng)單獨(dú)討論. 一、選擇題 1.拋物線y=ax2(a<0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程分別為( ) A.,x=- B.,x= C.,y=- D.,y= 答案 C 解析 y=ax2可化為x2=y(tǒng), ∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為y=-. 2.已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,點(diǎn)P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為( ) A.18B.24C.36D.48 答案 C 解析 由題意知|AB|=2p,則S△ABP=2pp=p2, 又∵2p=12,∴p=6,S△ABP=62=36. 3.拋物線C1:y2=2x的焦點(diǎn)為F1,拋物線C2:x2=y(tǒng)的焦點(diǎn)為F2,則過(guò)F1且與直線F1F2垂直的直線l的方程為( ) A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.4x-y-2=0 D.4x-3y-2=0 答案 C 解析 由題意知,F(xiàn)1,F(xiàn)2. 所以直線F1F2的斜率為-, 則直線l的斜率為4. 故直線l的方程為y=4, 即4x-y-2=0. 4.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,|PQ|=10,則拋物線方程是( ) A.y2=4x B.y2=2x C.y2=8x D.y2=6x 答案 C 解析 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 則=3,即x1+x2=6. 又|PQ|=x1+x2+p=10, 即p=4,∴拋物線方程為y2=8x. 5.已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,點(diǎn)A為垂足.如果直線AF的斜率為-,那么|PF|等于( ) A.4B.8C.8D.16 答案 B 解析 拋物線y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,焦點(diǎn)F(2,0), 設(shè)A(-2,y0),kAF==-,則y0=4, ∴P(x0,4),將P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程y2=8x, (4)2=8x0,得x0=6. 由拋物線定義可知|PF|=|PA|=x0+=6+=8. 6.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|等于( ) A. B.6 C.12 D.7 答案 C 解析 設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1,)(x2,y2).∵F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),∴F, ∴AB的方程為y-0=tan30, 即y=x-. 聯(lián)立 消去y,得x2-x+=0. ∴x1+x2=-=, 由于|AB|=x1+x2+p, ∴|AB|=+=12. 7.直線y=x+b交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn),O為拋物線頂點(diǎn),OA⊥OB,則b的值為( ) A.-1B.0C.1D.2 考點(diǎn) 題點(diǎn) 答案 D 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 將y=x+b代入y=x2, 化簡(jiǎn)可得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b, 所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2. 又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0, 即-2b+b2=0,則b=2或b=0, 經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)b=0時(shí),不符合題意,故b=2. 二、填空題 8.設(shè)拋物線y2=16x上一點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為12,則點(diǎn)P與焦點(diǎn)F的距離|PF|=________. 答案 13 解析 設(shè)P(x,12),代入y2=16x,得x=9, ∴|PF|=x+=9+4=13. 9.拋物線y=x2的焦點(diǎn)與雙曲線-=1的上焦點(diǎn)重合,則m=________. 答案 13 解析 拋物線y=x2可化為x2=16y, 則其焦點(diǎn)為(0,4),∴3+m=16,則m=13. 10.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),|AF|=3,則|BF|=________. 答案 解析 由題意知F(1,0),且AB與x軸不垂直, 則由|AF|=3,知xA=2. 設(shè)lAB:y=k(x-1),代入y2=4x, 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, 所以xAxB=1,故xB=, 故|BF|=xB+1=. 11.一個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都在拋物線y2=4x上,其中一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),則這個(gè)三角形的面積是________. 答案 48 解析 設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)為(x,2),則tan30==, ∴x=12. ∴S=128=48. 三、解答題 12.若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開(kāi)口向上,F(xiàn)為焦點(diǎn),M為準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn),A為拋物線上一點(diǎn),且|AM|=,|AF|=3,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解 設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p>0),A(x0,y0),由題知M. ∵|AF|=3,∴y0+=3. ∵|AM|=,∴x+2=17, ∴x=8,代入方程x=2py0得 8=2p,解得p=2或p=4. ∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y或x2=8y. 13.已知拋物線y2=2x. (1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為,求拋物線上距離點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|; (2)在拋物線上求一點(diǎn)P,使P到直線x-y+3=0的距離最短,并求出距離的最小值. 解 (1)設(shè)拋物線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)(x≥0), 則|PA|2=2+y2=2+2x =2+. ∵x≥0,且在此區(qū)間上函數(shù)單調(diào)遞增, 故當(dāng)x=0時(shí),|PA|min=, 故距點(diǎn)A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0). (2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y2=2x上任一點(diǎn), 則P到直線x-y+3=0的距離為 d== =, 當(dāng)y0=1時(shí),dmin==, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 14.設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心,|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y0的取值范圍是( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 答案 C 解析 M到準(zhǔn)線的距離大于p,即y0+2>4,∴y0>2. 15.設(shè)F(1,0),點(diǎn)M在x軸上,點(diǎn)P在y軸上,且=2,=0. (1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)N的軌跡C的方程; (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn),且||,||,||成等差數(shù)列,當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0)時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo). 解 (1)設(shè)N(x,y),由=2,得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn), ∴P,M(-x,0), ∴=,=. 由=-x+=0,得y2=4x. 即點(diǎn)N的軌跡方程為y2=4x. (2)由拋物線的定義,知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|DF|=x3+1, ∵||,||,||成等差數(shù)列, ∴2x2+2=x1+1+x3+1,即x2=. ∵線段AD的中點(diǎn)為,且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3,0), ∴線段AD的垂直平分線的斜率為k=. 又kAD=,∴=-1, 即=-1. ∵x1≠x3,∴x1+x3=2,又x2=,∴x2=1. ∵點(diǎn)B在拋物線上,∴B(1,2)或B(1,-2).- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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