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直線(xiàn)、圓的位置關(guān)系
一、選擇題(本大題共12小題,共60分)
1. 已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線(xiàn)x+y=0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是22,則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是( )
A. 內(nèi)切 B. 相交 C. 外切 D. 相離
(正確答案)B
解:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為M:x2+(y-a)2=a2(a>0),
則圓心為(0,a),半徑R=a,
圓心到直線(xiàn)x+y=0的距離d=a2,
∵圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線(xiàn)x+y=0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是22,
∴2R2-d2=2a2-a22=2a22=22,
即a22=2,即a2=4,a=2,
則圓心為M(0,2),半徑R=2,
圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為N(1,1),半徑r=1,
則MN=12+12=2,
∵R+r=3,R-r=1,
∴R-r
r,直線(xiàn)與圓相離,是基礎(chǔ)題.
7. 若直線(xiàn)y=x+m與圓x2+y2+4x+2=0有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A. (2-2,2+2) B. (-4,0)
C. (-2-2,-2+2) D. (0,4)
(正確答案)D
解:圓x2+y2+4x+2=0化為(x+2)2+y2=2,圓的圓心坐標(biāo)(-2,0),半徑為2
∵直線(xiàn)y=x+m與圓(x+2)2+y2=2有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),
∴d=|m-2|2<2
∴m2-4m<0
∴00,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長(zhǎng)為2,則1m+3n的最小值為( )
A. 4 B. 12 C. 16 D. 6
(正確答案)D
解:圓(x+3)2+(y+1)2=1的半徑為1,圓心(-3,-1)
直線(xiàn)mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圓(x+3)2+(y+1)2=1的弦長(zhǎng)為2,
直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心.
可得:3m+n=2.
則1m+3n=12(1m+3n)(3m+n)=12(3+3+nm+9mn)≥3+nm?9mn=6.
當(dāng)且僅當(dāng)m=13,n=1時(shí)取等號(hào).
故選:D.
利用已知條件求出m,n的關(guān)系式,然后利用基本不等式求解最值即可.
本題考查基本不等式的應(yīng)用,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.
11. 已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線(xiàn)x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)a的值是( )
A. -2 B. -4 C. -6 D. -8
(正確答案)B
解:圓x2+y2+2x-2y+a=0即(x+1)2+(y-1)2=2-a,
故弦心距d=|-1+1+2|2=2.
再由弦長(zhǎng)公式可得2-a=2+4,∴a=-4,
故選:B.
把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,求出弦心距,再由條件根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得a的值.
本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
12. 若直線(xiàn)x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切,則a的值為( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
(正確答案)D
解:圓x2+(y-a)2=1的圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為1,
∵直線(xiàn)x+y=0與圓x2+(y-a)2=1相切,
∴圓心(0,a)到直線(xiàn)的距離d=r,
即|a|2=1,
解得:a=2.
故選D.
由直線(xiàn)與圓相切,得到圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值
本題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí),圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑,熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共4小題,共20分)
13. 設(shè)直線(xiàn)y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=23,則圓C的面積為_(kāi)_____ .
(正確答案)4π
解:圓C:x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為a2+2,
∵直線(xiàn)y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=23,
∴圓心(0,a)到直線(xiàn)y=x+2a的距離d=a2-1,
即|a|2=a2-1,
解得:a2=2,
故圓的半徑r=2.
故圓的面積S=4π,
故答案為:4π
圓C:x2+y2-2ay-2=0的圓心坐標(biāo)為(0,a),半徑為a2+2,利用圓的弦長(zhǎng)公式,求出a值,進(jìn)而求出圓半徑,可得圓的面積.
本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì),點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,難度中檔.
14. 已知直線(xiàn)l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=23,則|CD|= ______ .
(正確答案)4
解:由題意,|AB|=23,∴圓心到直線(xiàn)的距離d=3,
∴|3m-3|m2+1=3,
∴m=-33
∴直線(xiàn)l的傾斜角為30°,
∵過(guò)A,B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),
∴|CD|=2332=4.
故答案為:4.
先求出m,可得直線(xiàn)l的傾斜角為30°,再利用三角函數(shù)求出|CD|即可.
本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系,考查弦長(zhǎng)的計(jì)算,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ).
15. 在[-1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k,則事件“直線(xiàn)y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_(kāi)_____.
(正確答案)34
解:圓(x-5)2+y2=9的圓心為(5,0),半徑為3.
圓心到直線(xiàn)y=kx的距離為|5k|k2+1,
要使直線(xiàn)y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交,則|5k|k2+1<3,解得-34
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練習(xí)
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