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第一講　空間幾何體 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析 2018 Ⅰ卷 圓柱的表面積計(jì)算T5 立體幾何問題既是高考的必考點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，保持“一小一大”或“兩小一大”的格局．多以選擇題或者填空題的形式考查空間幾何體三視圖的識(shí)別，空間幾何體的體積或表面積的計(jì)算. 長(zhǎng)方體體積計(jì)算T10 Ⅱ卷 圓錐的體積求法T16 Ⅲ卷 與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的三視圖判斷T3 2017 Ⅰ卷 三棱錐與球的結(jié)合體問題T16 Ⅱ卷 三視圖與體積求法T6 長(zhǎng)方體與球的結(jié)合體問題T15 Ⅲ卷 圓柱與球的結(jié)合體問題T9 2016 Ⅰ卷 有關(guān)球的三視圖及表面積T7 Ⅱ卷 正方體及其外接球的空間關(guān)系，及外接球的表面積T4 空間幾何體三視圖及組合體的表面積T7 Ⅲ卷 空間幾何體三視圖及表面積的計(jì)算T10 直三棱柱的體積最值問題T11 空間幾何體的三視圖 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第34頁 [悟通——方法結(jié)論] 一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣，即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”． [全練——快速解答] 1．(2018高考全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析：由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A. 故選A. 答案：A 2．(2017高考全國卷Ⅰ)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10　　　　 B．12 C．14 D．16 解析：由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，且這兩個(gè)梯形全等，這些梯形的面積之和為2＝12，故選B. 答案：B 3．(2018山西八校聯(lián)考)將正方體(如圖1)截去三個(gè)三棱錐后，得到如圖2所示的幾何體，側(cè)視圖的視線方向如圖2所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：將圖2中的幾何體放到正方體中如圖所示，從側(cè)視圖的視線方向觀察，易知該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)D中的圖形，故選D. 答案：D 【類題通法】 明確三視圖問題的常見類型及解題策略 (1)由幾何體的直觀圖求三視圖．注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，看不到的部分用虛線表示． (2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖．先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式．當(dāng)然作為選擇題，也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合． (3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀．要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖． 空間幾何體的表面積與體積 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第35頁 [悟通——方法結(jié)論] 求解幾何體的表面積或體積 (1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算． (2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解． (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用． [全練——快速解答] 1．(2017高考全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π　　　　 B．63π C．42π D．36π 解析：法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V＝π3210－π326＝63π. 法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V＝π327＝63π. 答案：B 2．(2018福州四校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A. B．27 C．27 D．27 解析：在長(zhǎng)、寬、高分別為3，3,3的長(zhǎng)方體中，由幾何體的三視圖得幾何體為如圖所示的三棱錐CBAP，其中底面BAP是∠BAP＝90?的直角三角形，AB＝3，AP＝3，所以BP＝6，又棱CB⊥平面BAP且CB＝3，所以AC＝6，所以該幾何體的表面積是33＋33＋63＋63＝27，故選D. 答案：D 3.(2018西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A． B． C．2＋ D．4＋ 解析：由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球與一個(gè)底面半徑為1，高為2的半圓柱組合而成的組合體，故其體積V＝π13＋π122＝π，故選B. 答案：B 4．(2018高考全國卷Ⅰ)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30，則該長(zhǎng)方體的體積為(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 解析：如圖，連接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2， ∴V長(zhǎng)方體＝ABBCCC1 ＝222＝8. 故選C. 答案：C 【類題通法】 1．活用求幾何體的表面積的方法 (1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差得幾何體的表面積． 2．活用求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算． (2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等． (3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體． 空間幾何體與球的切、接問題 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第36頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．解決與球有關(guān)的“切”“接”問題，一般要過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系． 2．記住幾個(gè)常用的結(jié)論： (1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R. ①正方體的外接球，則2R＝a； ②正方體的內(nèi)切球，則2R＝a； ③球與正方體的各棱相切，則2R＝a. (2)在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 　(1)(2017高考全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π　　　B.　　　C.　　　D. 解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2＝12－2＝，所以，圓柱的體積V＝π1＝，故選B. 答案：B (2)(2017高考全國卷Ⅰ)已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為________． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VSABC＝VASBC＝S△SBCAO ＝AO， 即9＝R，解得R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π32＝36π. 答案：36π 【類題通法】 掌握“切”“接”問題的處理方法 (1)“切”的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)要先找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則多通過多面體過球心的對(duì)角面來作截面. (2)“接”的處理：把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑． [練通——即學(xué)即用] 1．(2018湘東五校聯(lián)考)已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，沿DE將△ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐ADECB的外接球的表面積為________． 解析：取DE的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)N，連接MN(圖略)，由題意知，MN⊥平面ADE，因?yàn)椤鰽DE是等腰直角三角形，所以△ADE的外接圓的圓心是點(diǎn)M，四棱錐ADECB的外接球的球心在直線MN上，又等腰梯形DECB的外接圓的圓心在MN上，所以四棱錐ADECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圓的圓心．連接BE，易知△BEC是鈍角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圓的圓心在等腰梯形DECB的外部．設(shè)四棱錐ADECB的外接球的半徑為R，球心到BC的距離為d，則解得R2＝，故四棱錐ADECB的外接球的表面積S＝4πR2＝10π. 答案：10π 2．(2018合肥模擬)如圖，已知平面四邊形ABCD滿足AB＝AD＝2，∠A＝60?，∠C＝90?，將△ABD沿對(duì)角線BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，則四面體ABCD外接球的體積為________． 解析：在四面體ABCD中，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60?，∴△ABD為正三角形，設(shè)BD的中點(diǎn)為M，連接AM，則AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM⊥平面CBD.∵△CBD為直角三角形，∴其外接圓的圓心是斜邊BD的中點(diǎn)M，由球的性質(zhì)知，四面體ABCD外接球的球心必在線段AM上，又△ABD為正三角形，∴球心是△ABD的中心，則外接球的半徑為2＝，∴四面體ABCD外接球的體積為π()3＝. 答案： 授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第123頁 一、選擇題 1.(2018廣州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 解析：由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，底面為正方形，面積為22＝4，因?yàn)樵搸缀误w的體積為42＝，滿足條件，所以俯視圖可以為一個(gè)直角三角形．故選D. 答案：D 2．(2018高考全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1、O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π　 B．12π C．8π D．10π 解析：設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由x2＝8，得x＝2，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2π()2＋2π2＝12π. 故選B. 答案：B 3．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. (2－)π 解析：本題考查空間幾何體的三視圖和體積，意在考查考生的空間想象能力和計(jì)算能力． 由三視圖可知該幾何體由半球內(nèi)挖去一個(gè)同底的圓錐得到，所以該幾何體的體積為π13－π121＝，選擇B. 答案：B 4．(2018合肥模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)半圓柱與兩個(gè)半球構(gòu)成，故其表面積為4π12＋2π13＋2π12＋32＝8π＋6.故選C. 答案：C 5．(2018遼寧五校聯(lián)考)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是三棱錐的三視圖，則此三棱錐的體積是(　　) A．8 B．16 C．24 D．48 解析：由三視圖還原三棱錐的直觀圖，如圖中三棱錐PABC所示，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6,2,4，△ABC是直角三角形，AB⊥BC，AB＝2，BC＝6，三棱錐PABC的高為4，故其體積為624＝8，故選A. 答案：A 6．(2018沈陽模擬)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是(　　) A．4＋4 B．4＋2 C．8＋4 D． 解析：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，記為四棱錐PABCD，如圖所示，其中PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2，所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個(gè)直角三角形的面積和，即S＝2(22＋22)＝4＋4，故選A. 答案：A 7．(2018河北五校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：所求幾何體可看作是將長(zhǎng)方體截去兩個(gè)三棱柱得到的幾何體，在長(zhǎng)方體中還原該幾何體，如圖中ABCDA′B′C′D′所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,3，兩個(gè)三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長(zhǎng)分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V＝423－232＝15，故選C. 答案：C 8．(2018聊城模擬)在三棱錐PABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120?，PA＝AB＝AC＝2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　) A．10π B．18π C．20π D．9π 解析：該三棱錐為圖中正六棱柱內(nèi)的三棱錐PABC，PA＝AB＝AC＝2，所以該三棱錐的外接球即該六棱柱的外接球，所以外接球的直徑2R＝＝2?R＝，所以該球的表面積為4πR2＝20π. 答案：C 9．(2018高考全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑． ON＝16＝4，OM＝2， ∴|MN|＝＝＝2. 故選B. 答案：B 10．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)，則三棱錐C1AMC的體積為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：取BC的中點(diǎn)D，連接AD.在正三棱柱ABCA1B1C1中，△ABC為正三角形，所以AD⊥BC，又BB1⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以BB1⊥AD，又BB1∩BC＝B，所以AD⊥平面BCC1B1，即AD⊥平面MCC1，所以點(diǎn)A到平面MCC1的距離就是AD.在正三角形ABC中，AB＝2，所以AD＝，又AA1＝3，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)，所以S△MCC1＝S矩形BCC1B1＝23＝3，所以VC1－AMC＝VAMCC1＝3＝. 答案：A 11．如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐NPAC與三棱錐DPAC的體積比為(　　) A．1∶2 B．1∶8 C．1∶6 D．1∶3 解析：由NB＝2PN可得＝.設(shè)三棱錐NPAC的高為h1，三棱錐BPAC的高為h，則＝＝.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以點(diǎn)B到平面PAC的距離與點(diǎn)D到平面PAC的距離相等，所以三棱錐NPAC與三棱錐DPAC的體積比為＝＝. 答案：D 12．已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，∠ASC＝∠BSC＝30?，則棱錐SABC的體積最大為(　　) A．2 B. C. D．2 解析：如圖，因?yàn)榍虻闹睆綖镾C，且SC＝4，∠ASC＝∠BSC＝30?，所以∠SAC＝∠SBC＝90?，AC＝BC＝2，SA＝SB＝2，所以S△SBC＝22＝2，則當(dāng)點(diǎn)A到平面SBC的距離最大時(shí)，棱錐ASBC即SABC的體積最大，此時(shí)平面SAC⊥平面SBC，點(diǎn)A到平面SBC的距離為2sin 30?＝，所以棱錐SABC的體積最大為2＝2，故選A. 答案：A 二、填空題 13．(2018洛陽統(tǒng)考)已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝2.若三棱錐DABC體積的最大值為3，則球O的表面積為________． 解析：由題意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圓半徑r＝，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，VDABC＝S△ABCh(h為D到底面ABC的距離)，即3＝h?h＝3，即R＋＝3(R為外接球半徑)，解得R＝2，∴球O的表面積為4π22＝16π. 答案：16π 14．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓直徑為4，則該幾何體的體積為________． 解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體挖掉半個(gè)圓柱，所以其體積為248－π222＝64－4π. 答案：64－4π 15．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為________． 解析：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐ABCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長(zhǎng)為1的正方形，則S△ABC＝S△ABE＝1＝，S△ADE＝，S△ACD＝1＝，故面積最大的側(cè)面的面積為. 答案： 16．(2018福州四校聯(lián)考)已知三棱錐ABCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的 體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90?，則球O的體積為________． 解析：設(shè)A到平面BCD的距離為h，∵三棱錐的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90?，∴3h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點(diǎn)為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圓的直徑CD＝2，∴球O的半徑OD＝2，∴球O的體積為. 答案：