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第二講 小題考法—平面向量 考點(一) 平面向量的概念及線性運算 主要考查平面向量的加、減、數(shù)乘等線性運算以及向量共線定理的應(yīng)用 [題組練透] 1．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析：如圖，＝－＝－＝(－)＋＝＋. 又＝λ1＋λ2，且與不共線． 所以λ1＝－，λ2＝， 所以λ1＋λ2＝. 答案： 2.如圖，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ (λ∈R)，則λ的值為 ________. 解析：由題意，得＝＋＝＋， ＝－＝＋(λ－1)， 因為∥，所以λ－1＝，λ＝. 答案： 3．(2018南京考前模擬)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90，AB＝2CD，M為CD的中點，N為線段BC上一點(不包括端點)，若＝λ＋μ，則＋的最小值為________． 解析：以A為坐標(biāo)原點，AB為 x軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示， 設(shè)B(2,0)，C(1，t)，M， N(x0，y0)，因為N在線段BC上， 所以y0＝(x0－2)，即y0＝t(2－x0)，因為＝λ＋μ，所以 即t＝λt＋μy0＝λt＋μt(2－x0)，因為t≠0， 所以1＝λ＋μ(2－x0)＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－，所以3λ＋4μ＝4，這里λ，μ均為正數(shù)， 所以4＝(3λ＋4μ)＝3＋12＋＋≥15＋2＝27，所以＋≥當(dāng)且僅當(dāng)＝，即λ＝，μ＝時取等號． 所以＋的最小值為. 答案： [方法技巧] 向量線性運算問題的解題策略 (1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則． (2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧： ①觀察各向量的位置； ②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形； ③運用法則找關(guān)系； ④化簡結(jié)果． (3)與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值. 考點(二) 平面向量的數(shù)量積 主要考查數(shù)量積的運算、夾角以及模的計算問題或求參數(shù)的值. [題組練透] 1．已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60，則實數(shù)λ的值是________． 解析：因為＝， 故＝，解得λ＝. 答案： 2．在平行四邊形ABCD中，AD＝4，∠BAD＝，E為CD中點，若＝4，則AB的長為________． 解析：法一：設(shè)||＝x，則＝(＋)(＋)＝(＋)＝－＋2－2＝－x2＋x＋16＝4，解得x＝6或x＝－4(舍去)，故AB的長為6. 法二：以A為坐標(biāo)原點，AB為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，D(2,2)，設(shè)B(2a,0)，則C(2a＋2,2)，E(a＋2,2)，從而＝(2a＋2，2)，＝(2－a,2)，因此＝(2a＋2)(2－a)＋12＝4，解得a＝3或a＝－2(舍去)，故AB的長為6. 答案：6 3．(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)在△ABC中，P是邊AB的中點，已知||＝，||＝4，∠ACB＝，則＝________. 解析：法一：(基底法) 設(shè)||＝x，由2＝＋，兩邊平方，得12＝16＋x2－4x，即x＝2.所以＝(＋)＝(16－4)＝6. 法二：(坐標(biāo)法)以C為坐標(biāo)原點，CB為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)C(0,0)，B(x,0)，A(－2,2)，則P.由||＝，得x＝2.所以＝(0，)(－2,2)＝6. 答案：6 4．(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))在平面四邊形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，則的值為________． 解析：法一：因為＋＋＋＝0，則＋＋＝－，平方得2＋2＋2＋2(＋＋)＝(－)2＝2，即＋＋＝－6，則＝(＋)(＋)＝＋＋＋2＝－6＋16＝10. 法二：如圖，取AC中點O，連結(jié)BO，DO. 所以＝(＋)＝＋＝(－)(＋)－(－)(＋)＝(2－2－2＋2)＝(16－1－4＋9)＝10. 答案：10 [方法技巧] 平面向量數(shù)量積相關(guān)問題的求解策略 (1)夾角和模的問題的處理方法，一是轉(zhuǎn)為基底向量結(jié)合數(shù)量積的定義進行運算；二是建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)公式求解． (2)平面向量的數(shù)量積可以用定義結(jié)合基底向量求解，也可以建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)公式求解． (3)對于極化恒等式：ab＝2－2.在△ABC中，若M是BC的中點，則＝2－2.其作用是：用線段的長度來計算向量的數(shù)量積．從而避開求向量的夾角. 考點(三) 平面向量的綜合問題 主要考查與平面向量數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題或參數(shù)求值問題. [典例感悟] [典例]　(1)已知向量a，b滿足|a|＝，|b|＝1，且對于一切實數(shù)x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，則a與b的夾角大小為________． (2)(2018蘇州期末)如圖，△ABC為等腰三角形，∠BAC＝120，AB＝AC＝4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，點P是劣弧上的一動點，則的取值范圍是________． [解析]　(1)法一：將|a＋xb|≥|a＋b|兩邊平方可得：2＋2xab＋x2≥2＋2ab＋1， 即x2＋2abx－2ab－1≥0對于x∈R恒成立Δ＝4(ab)2＋8ab＋4≤0，即4(ab＋1)2≤0，所以ab＝－1，即cos θ＝＝－，所以a，b夾角為. 法二：圖，令＝a，＝xb(P為直線l上任意一點)，則＝a＋xb，所以|a＋xb|＝OP的最小值即O到直線l的距離OH，即OH＝|a＋b|，即＝a＋b，所以b＝.在直角三角形OHA中，AH＝1，OA＝，cos∠HOA＝，即∠HOA＝，所以a，b夾角為. (2)法一：(幾何法) 如圖，取BC的中點M，連結(jié)PM，＝(－)(＋)＝2－2. 因為MC為定值，所以的變化可由PM的變化確定． 易得AM＝2，MC＝2. 當(dāng)P為劣弧與AM的交點時，PM取最小值A(chǔ)M－1＝1；PM的最大值為EM＝FM＝. 所以PM2－MC2的取值范圍是[－11，－9]，即∈[－11，－9]． 法二：(坐標(biāo)法)以A為坐標(biāo)原點，垂直于BC的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則B(2，－2)，C(2,2)，設(shè)P(cos θ，sin θ)，其中θ∈. 所以＝(2－cos θ，－sin θ－2)(2－cos θ，2－sin θ)＝(cos θ－2)2＋sin2θ－12＝－7－4cos θ. 因為cos θ∈，所以∈[－11，－9]． [答案]　(1)　(2)[－11，－9] [方法技巧] 平面向量有關(guān)最值(范圍)問題求解的2種思路 形化 即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進行判斷 數(shù)化 即利用平面向量的坐標(biāo)運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決 [演練沖關(guān)] 1．已知||＝||＝，且＝1.若點C滿足|＋|＝1，則||的取值范圍是________． 解析：如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則＝＋，因為||＝||＝，＝1，所以||＝|＋|＝＝＝，由|＋|＝1得|＋|＝|＋－|＝|－|＝||＝1，所以點C在以點D為圓心，1為半徑的圓上，而||表示點C到點O的距離，從而||－1≤||≤||＋1，即－1≤||≤＋1，即||的取值范圍是[－1，＋1]． 答案：[－1，＋1] 2．已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB＝8，CD＝6，則 的取值范圍是________． 解析：因為＝＋，＝＋，又 ＝－，因此＝2＋(＋)＋＝2－2＝2－16.因為M是弦CD上的動點，所以MOmax＝4，此時點M在圓上；MOmin＝＝，此時點M為弦CD的中點，故∈[－9,0]． 答案：[－9,0] 3.如圖，在同一平面內(nèi)，點A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1,3.點B，C分別在m，n上，|＋|＝5，則的最大值是________． 解析：設(shè)P為BC的中點，則＋＝2，從而由|＋|＝5得||＝，又＝(＋)(＋)＝2－2＝－2，因為||≥2，所以2≥1，故≤－1＝，當(dāng)且僅當(dāng)||＝2時等號成立． 答案： [必備知能自主補缺] (一) 主干知識要記牢 1．平面向量的兩個充要條件 若兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 2．平面向量的性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝ . (4)|ab|≤|a||b|. (二)二級結(jié)論要用好 1．三點共線的判定 (1)A，B，C三點共線?，共線． (2)向量，，中三終點A，B，C共線?存在實數(shù)α，β使得＝α＋β，且α＋β＝1. [針對練]　在?ABCD中，點E是AD邊的中點，BE與AC相交于點F，若＝m＋n (m，n∈R)，則＝________. 解析：如圖，＝2，＝m＋n，∴＝＋＝m＋(2n＋1)， ∵F，E，B三點共線，∴m＋2n＋1＝1，∴＝－2. 答案：－2 2．中點坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo) (1)設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點P的坐標(biāo)為，. (2)三角形的重心坐標(biāo)公式：設(shè)△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)是G. 3．三角形“四心”向量形式的充要條件 設(shè)O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則 (1)O為△ABC的外心?||＝||＝||＝. (2)O為△ABC的重心?＋＋＝0. (3)O為△ABC的垂心?＝＝. (4)O為△ABC的內(nèi)心?a＋b＋c＝0. 4．極化恒等式ab＝2－2 [提醒]　極化恒等式的使用是最近考查的熱點，要有將平面向量數(shù)量積用此工具轉(zhuǎn)化的基本意識． [課時達標(biāo)訓(xùn)練] A組——抓牢中檔小題 1．(2018南京學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，則實數(shù)x＝________. 解析：因為a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b＝(－2，－4＋3x)．又a∥c，所以－4＋3x－8＝0，解得x＝4. 答案：4 2．(2018無錫期末)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，若a－b與ma＋b垂直，則m的值為________． 解析：因為a＝(2,1)，b＝(1，－1)，所以a－b＝(1,2)，ma＋b＝(2m＋1，m－1)，因為a－b與ma＋b垂直，所以(a－b)(ma＋b)＝0，即2m＋1＋2(m－1)＝0，解得m＝. 答案： 3．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 解析：由題意知a＋λb＝k[－(b－3a)]， 所以解得 答案：－ 4．已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角為________． 解析：∵a⊥(a－b)，∴a(a－b)＝a2－ab＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝. 答案： 5．在△ABC中，O為△ABC的重心，AB＝2，AC＝3，A＝60，則＝________. 解析：設(shè)BC邊中點為D，則＝，＝(＋)，∴＝(＋)＝(32cos 60＋32)＝4. 答案：4 6.如圖，在△ABC中，已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，＝3，則||＝________. 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)， 而＝＝(－)， 故＝－＋， 從而||＝ ＝＝. 答案： 7．已知非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，則a與2a－b夾角的余弦值為________． 解析：法一：因為非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以a2＝b2＝a2＋2ab＋b2，ab＝－a2＝－b2， 所以a(2a－b)＝2a2－ab＝a2，|2a－b|＝＝＝|a|， 所以cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝. 法二：因為非零向量a，b滿足|a|＝|b|＝|a＋b|，所以〈a，b〉＝， 所以a(2a－b)＝2a2－ab＝2a2－|a||b|cos＝a2，|2a－b|＝＝＝＝|a|. 所以cos〈a,2a－b〉＝＝＝＝. 答案： 8．在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60，P是線段BD上的任意一點，則＝________. 解析：如圖所示，由條件知△ABC為正三角形，AC⊥BP，所以＝(＋)＝＋＝＝cos 60＝22＝2. 答案：2 9．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120，點E，F(xiàn)分別在邊上BC，DC上，＝t，＝m，若＝1，＝－，則t＋m＝________. 解析：因為＝＋＝＋t＝＋t；＝＋＝＋m＝＋m， 所以＝(＋t)(＋m)＝－2－2tm＋4t＋4m＝1； ＝－2(1－t)(1－m)＝－2＋2m＋2t－2tm＝－， 聯(lián)立解得t＋m＝. 答案： 10．在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60，若點P滿足＝＋λ，且＝1，則實數(shù)λ的值為________． 解析：由題意可得，－＝＝λ.又＝－＝＋(λ－1)，所以＝λ＋λ(λ－1)||2＝1，即λ＋(λ2－λ)4＝1，所以4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－. 答案：1或－ 11.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點，且OA＝3，OC＝5.若＝－7，則的值是________． 解析：因為＝(－)(－)＝(＋)(－)＝OC2－OD2，同理：＝AO2－OD2＝－7，所以＝OC2－OD2＝OC2－AO2－7＝9. 答案：9 12．已知A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，動點P滿足＝2||2，則|＋|的最大值為________． 解析：設(shè)動點P(x，y)，因為A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，＝2||2， 所以(x，y－1)(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1. 因為|＋|＝2， 所以|＋|表示圓(x－2)2＋y2＝1上的點到原點距離的2倍，所以|＋|的最大值為2(2＋1)＝6. 答案：6 13．已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則(＋)的最小值是________． 解析： 如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以(＋)＝(－x，－y)(－2x，－2y)＝2x2＋22－，當(dāng)x＝0，y＝時，(＋)取得最小值，為－. 答案：－ 14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90，＝9，S△ABC＝6，P為線段AB上的點，且＝x＋y，則xy的最大值為________． 解析：因為∠C＝90，所以＝2＝9，所以||＝3，即AC＝3.因為S△ABC＝ACBC＝6，所以BC＝4.又P為線段AB上的點，且＝＋，故＋＝1≥2，即xy≤3，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝，即x＝，y＝2時取等號． 答案：3 B組——力爭難度小題 1．在△ABC中，若＋2＝，則的值為________． 解析：由＋2＝， 得2bc＋ac＝ab， 化簡可得a＝c. 由正弦定理得，＝＝. 答案： 2．已知向量a＝(1，)，b＝(0，t2＋1)，則當(dāng)t∈[－，2]時，的取值范圍是________． 解析：由題意，＝(0,1)，根據(jù)向量的差的幾何意義，表示同起點的向量t的終點到a的終點的距離，當(dāng)t＝時，該距離取得最小值1，當(dāng)t＝－時，該距離取得最大值，即的取值范圍是[1， ]． 答案：[1， ] 3．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知三點A(a,1)，B(2，b)，C(3,4)，若＝，則a2＋b2的最小值為________． 解析：因為－＝0，所以＝0， 從而有(a－2,1－b)(3,4)＝0，即3a－4b＝2.則(a，b)可視為直線l：3x－4y＝2上的動點，設(shè)其為P，則為坐標(biāo)原點O到P的距離，故|OP|min＝d(O，l)＝＝，故(a2＋b2)min＝2＝. 答案： 4.如圖，已知△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P，交BC于點Q.若＝3，＝5，則(＋)(－)的值為________． 解析：因為＝＋， 所以＋＝2＋， 而－＝，由于⊥，所以＝0， 所以(＋)(－)＝(2＋)＝2，又因為Q是BC的中點，所以2＝＋，故2＝(＋)(－)＝2－2＝9－25＝－16. 答案：－16 5.如圖，已知|AC|＝|BC|＝4，∠ACB＝90，M為BC的中點，D為以AC為直徑的圓上一動點，則的最大值是________． 解析：以AC的中點為坐標(biāo)原點，AC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系(圖略)，則M(－2,2)，A(2,0)，C(－2,0)．設(shè)D點的坐標(biāo)為(2cos θ，2sin θ)，則＝(－4,2)，＝(－2－2cos θ，－2sin θ)，所以＝－4(－2－2cos θ)＋2(－2sin θ)＝8＋8cos θ－4sin θ＝8－sin(θ－φ)≤8＋4. 答案：8＋4 6.如圖，已知AC＝2，B為AC的中點，分別以AB，AC為直徑在AC的同側(cè)作半圓，M，N分別為兩半圓上的動點(不含端點A，B，C)，且BM⊥BN，則的最大值為________． 解析：法一(坐標(biāo)法)：以點B為坐標(biāo)原點，線段AC所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)∠NBC＝∠MAB＝α，α∈，則M(－sin2α，sin αcos α)，N(cos α，sin α)，A(－1,0)，C(1,0)，＝(1－sin2α，sin αcos α)(cos α－1，sin α)＝(1－sin2α)(cos α－1)＋sin2αcos α＝cos α－1＋sin2α＝－cos2α＋cos α＝－2＋，當(dāng)cos α＝，α＝時，的最大值為. 法二(定義法)：設(shè)∠NBC＝∠MAB＝α，α∈， ＝(－)(－)＝－－＋＝＋cos α－1＝||||sin α＋cos α－1＝||2＋|AM|－1＝－||2＋||，令||＝t,0

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江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角 1.2 小題考法平面向量講義含解析 江蘇省 2019 高考 數(shù)學(xué) 二輪 復(fù)習(xí) 專題 小題考法 平面 向量 講義 解析

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