(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第14練 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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第14練 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 [明晰考情] 1.命題角度:空間線面關(guān)系的判斷;空間中的平行、垂直關(guān)系.2.題目難度:中檔難度. 考點(diǎn)一 空間線面位置關(guān)系的判斷 方法技巧 (1)判定兩直線異面的方法 ①反證法; ②利用結(jié)論:過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線. (2)模型法判斷線面關(guān)系:借助空間幾何模型,如長方體、四面體等觀察線面關(guān)系,再結(jié)合定理進(jìn)行判斷. (3)空間圖形中平行與垂直的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn),要掌握以下的常用結(jié)論 ①平面圖形的平行關(guān)系:平行線分線段成比例、平行四邊形的對(duì)邊互相平行;②平面圖形中的垂直關(guān)系:等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對(duì)角線互相垂直、圓的直徑所對(duì)圓周角為直角、勾股定理. 1.已知直線a與平面α,β,α∥β,a?α,點(diǎn)B∈β,則在β內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中( ) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一一條與a平行的直線 答案 D 解析 在平面內(nèi)過一點(diǎn),只能作一條直線與已知直線平行. 2.下列說法正確的是( ) A.若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α B.若直線a在平面α外,則a∥α C.若直線a∩b=?,直線b?α,則a∥α D.若直線a∥b,b?α,那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線 答案 D 解析 A錯(cuò)誤,直線l還可以在平面α內(nèi);B錯(cuò)誤,直線a在平面α外,包括平行和相交;C錯(cuò)誤,a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi).故選D. 3.(2017全國Ⅰ)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是( ) 答案 A 解析 A項(xiàng),作如圖①所示的輔助線,其中D為BC的中點(diǎn),則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ=Q,∴QD與平面MNQ相交, ∴直線AB與平面MNQ相交; B項(xiàng),作如圖②所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥MQ, ∴AB∥MQ, 又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,∴AB∥平面MNQ; C項(xiàng),作如圖③所示的輔助線,則AB∥CD,CD∥MQ, ∴AB∥MQ, 又AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ, ∴AB∥平面MNQ; D項(xiàng),作如圖④所示的輔助線, 則AB∥CD,CD∥NQ, ∴AB∥NQ, 又AB?平面MNQ,NQ?平面MNQ, ∴AB∥平面MNQ. 故選A. 4.如圖,在三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,B1C的中點(diǎn)為O,且AO⊥平面BB1C1C,則B1C與AB的位置關(guān)系為________. 答案 垂直 解析 連接BO,∵AO⊥平面BB1C1C,B1C?平面BB1C1C,∴AO⊥B1C. 又側(cè)面BB1C1C為菱形,∴B1C⊥BO, 又AO∩BO=O,AO,BO?平面ABO, ∴B1C⊥平面ABO. ∵AB?平面ABO,∴B1C⊥AB. 考點(diǎn)二 空間角的求解 方法技巧 (1)對(duì)于兩條異面直線所成的角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置. (2)直線和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過斜線上一點(diǎn)的平面的垂線,得到斜線在平面內(nèi)的射影. 5.(2018全國Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為( ) A.B.C.D. 答案 C 解析 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個(gè)相同的長方體A′B′BA-A1′B1′B1A1.連接B1B′,由長方體性質(zhì)可知,B1B′∥AD1,所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角.連接DB′,由題意,得DB′==,B′B1==2,DB1==. 在△DB′B1中,由余弦定理,得 DB′2=B′B+DB-2B′B1DB1cos∠DB1B′, 即5=4+5-22cos∠DB1B′,∴cos∠DB1B′=. 故選C. 6.已知在四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AC,BD的中點(diǎn),若AB=2,CD=4,EF⊥AB,則EF與CD所成的角的大小為( ) A.90 B.45 C.60 D.30 答案 D 解析 設(shè)G為AD的中點(diǎn),連接GF,GE, 則GF,GE分別為△ABD,△ACD的中位線. 由此可得GF∥AB,且GF=AB=1,GE∥CD,且GE=CD=2, ∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成的角. 又EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF. 因此,在Rt△EFG中,GF=1,GE=2, ∴sin∠GEF==, 又∠GEF為銳角, ∴∠GEF=30. ∴EF與CD所成的角的大小為30. 7.已知E,F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,AD的中點(diǎn),則直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 連接AE,BD,過點(diǎn)F作FH⊥BD交BD于H,連接EH,則FH⊥平面BDD1B1, ∴∠FEH是直線EF和平面BDD1B1所成的角. 設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2, ∵E,F(xiàn)分別是棱BB1,AD的中點(diǎn), ∴在Rt△DFH中,DF=1,∠FDH=45, 可得FH=DF=. 在Rt△AEF中,AF=1,AE==, 可得EF==. 在Rt△EFH中,sin∠FEH==, ∴直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是. 8.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,點(diǎn)D在棱BB1上,若BD=3,則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如圖,取AC的中點(diǎn)E,連接BE,可得=(+)==42=12=52cosθ(θ為與的夾角), 所以cosθ=,sinθ=, 又因?yàn)锽E⊥平面AA1C1C, 所以所求角即為-θ, 所以tan= ==. 考點(diǎn)三 空間線、面關(guān)系的綜合問題 方法技巧 解決與翻折有關(guān)的問題的兩個(gè)關(guān)鍵 (1)要明確翻折前后的變化量和不變量.一般情況下,線段的長度是不變量,而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化. (2)在解決問題時(shí),要比較翻折前后的圖形,既要分析翻折后的圖形,也要分析翻折前的圖形. 9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AD,DD1的中點(diǎn),AB=4,則過B,E,F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為( ) A.6+4 B.6+2 C.3+4 D.3+2 答案 A 解析 ∵正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱AD,DD1的中點(diǎn), ∴EF∥AD1∥BC1. ∵EF?平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1, ∴EF∥平面BCC1B1. 由正方體的棱長為4,可得截面是以BE=C1F=2為腰,EF=2為上底,BC1=2EF=4為下底的等腰梯形,故周長為6+4. 10.如圖,邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G,已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形(點(diǎn)A′不與點(diǎn)F重合),則下列命題中正確的是( ) ①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上; ②BC∥平面A′DE; ③三棱錐A′-FED的體積有最大值. A.①B.①②C.①②③D.②③ 答案 C 解析?、僦杏梢阎傻闷矫鍭′FG⊥平面ABC, 所以點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上. ②BC∥DE,根據(jù)線面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE. ③當(dāng)平面A′DE⊥平面ABC時(shí),三棱錐A′-FED的體積達(dá)到最大,故選C. 11.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB, 則下列結(jié)論中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC; ③直線BC∥平面PAE; ④∠PDA=45. 正確的為________(把所有正確的序號(hào)都填上). 答案?、佗? 解析 由PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,得PA⊥AE,又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB,PA∩AB=A, 得AE⊥平面PAB,∵PB?平面PAB, ∴PB⊥AE,∴①正確; 由正六邊形的性質(zhì)計(jì)算可得PA=AD, 故△PAD是等腰直角三角形, ∴∠PDA=45,∴④正確. 12.等腰直角三角形BCD的腰長為2,將平面BCD沿斜邊BD翻折到平面BAD的位置,翻折后如圖所示,O為BD的中點(diǎn),若AC=2,則三棱錐A-BCD的體積為________. 答案 解析 由題意知,AB=AD=CB=CD=2,從而根據(jù)等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO=CO=,又AC=2,所以在△AOC中,AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.因?yàn)锳O是等腰直角三角形ABD斜邊上的中線,所以AO⊥BD.因?yàn)镃O∩BD=O,CO,BD?平面BCD,所以AO⊥平面BCD,則其體積為22=. 1.α,β是兩個(gè)不重合的平面,在下列條件下,可判定α∥β的是( ) A.α,β都平行于直線l,m B.α內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到β的距離相等 C.l,m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β,m∥β D.l,m是兩條異面直線且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β 答案 D 解析 對(duì)于A,l,m應(yīng)相交;對(duì)于B,應(yīng)考慮三個(gè)點(diǎn)在β的同側(cè)或異側(cè)兩種情況;對(duì)于C,l,m應(yīng)相交,故選D. 2.已知m,n表示兩條不同的直線,α表示平面,下列說法正確的是( ) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m⊥α,n?α,則m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,則n∥α D.若m∥α,m⊥n,則n⊥α 答案 B 解析 對(duì)于A,m,n還可能異面、相交,故A不正確; 對(duì)于C,n還可能在平面α內(nèi),故C不正確; 對(duì)于D,n可能平行于平面α,還可能在平面α內(nèi),故D不正確; 對(duì)于B,由線面垂直的定義可知正確. 3.(2018長沙模擬)如圖所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90,A,D分別是BF,CE上的點(diǎn),AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起,連接AC,CF,BE,BF,CE(如圖2),在折起的過程中,下列說法錯(cuò)誤的是( ) A.AC∥平面BEF B.B,C,E,F(xiàn)四點(diǎn)不可能共面 C.若EF⊥CF,則平面ADEF⊥平面ABCD D.平面BCE與平面BEF可能垂直 答案 D 解析 A選項(xiàng),連接BD,交AC于點(diǎn)O,取BE的中點(diǎn)M,連接OM,F(xiàn)M,則四邊形AOMF是平行四邊形,所以AO∥FM,因?yàn)镕M?平面BEF,AC?平面BEF,所以AC∥平面BEF;B選項(xiàng),若B,C,E,F(xiàn)四點(diǎn)共面,因?yàn)锽C∥AD,所以BC∥平面ADEF,又BC?平面BCEF,平面BCEF∩平面ADEF=EF,所以可推出BC∥EF,又BC∥AD,所以AD∥EF,矛盾;C選項(xiàng),連接FD,在平面ADEF內(nèi),由勾股定理可得EF⊥FD,又EF⊥CF,F(xiàn)D∩CF=F,所以EF⊥平面CDF,所以EF⊥CD,又CD⊥AD,EF與AD相交,所以CD⊥平面ADEF,所以平面ADEF⊥平面ABCD;D選項(xiàng),延長AF至G,使AF=FG,連接BG,EG,可得平面BCE⊥平面ABF,且平面BCE∩平面ABF=BG,過F作FN⊥BG于N,則FN⊥平面BCE,若平面BCE⊥平面BEF,則過F作直線與平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾. 解題秘籍 線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型(如長方體、正四面體等)或?qū)嵗?,以定理的結(jié)論為依據(jù)進(jìn)行推理,而不能主觀猜想. 1.已知直線a∥平面α,則“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案 A 解析 若直線a⊥平面β,直線a∥平面α,可得平面α⊥平面β;若平面α⊥平面β,又直線a∥平面α,那么直線a⊥平面β不一定成立.如正方體ABCD—A1B1C1D1中,平面ABCD⊥平面BCC1B1,直線AD∥平面BCC1B1,但直線AD?平面ABCD;直線AD1∥平面BCC1B1,但直線AD1與平面ABCD不垂直.綜上,“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件. 2.如圖,在三棱錐P-ABC中,不能得出AP⊥BC的條件是( ) A.AP⊥PB,AP⊥PC B.AP⊥PB,BC⊥PB C.平面PBC⊥平面APC,BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 答案 B 解析 A中,因?yàn)锳P⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC,所以AP⊥BC,故A可以得出AP⊥BC; C中,因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC,且平面BPC∩平面APC=PC,BC⊥PC,BC?平面PBC,所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC, 所以PA⊥BC, 故C可以得出AP⊥BC; D中,由A知D可以得出AP⊥BC; B中條件不能得出AP⊥BC,故選B. 3.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,給出四個(gè)命題: ①若α∩β=m,n?α,n⊥m,則α⊥β; ②若m⊥α,m⊥β,則α∥β; ③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β; ④若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β. 其中正確的命題是( ) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案 B 解析 兩個(gè)平面斜交時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)的直線垂直于兩個(gè)平面的交線的情況,①不正確;垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,②正確;當(dāng)兩個(gè)平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時(shí),它們所成的二面角為直二面角,故③正確;當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),分別與兩個(gè)平面平行的直線也平行,故④不正確. 4.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在( ) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 答案 A 解析 由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B, 得AC⊥平面ABC1. 因?yàn)锳C?平面ABC, 所以平面ABC1⊥平面ABC. 所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上. 5.在如圖所示的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱B1B,AD的中點(diǎn),直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.在平面內(nèi) 答案 A 解析 取AD1的中點(diǎn)O,連接OE,OF,則OF平行且等于BE, ∴四邊形BFOE是平行四邊形, ∴BF∥EO. ∵BF?平面AD1E, OE?平面AD1E, ∴BF∥平面AD1E. 6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P,Q分別是AA1,A1D1,CC1,BC的中點(diǎn),給出以下四個(gè)結(jié)論:①A1C⊥MN;②A1C∥平面MNPQ;③A1C與PM相交;④NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是( ) A.①B.②C.③D.④ 答案 B 解析 作出過M,N,P,Q四點(diǎn)的截面交C1D1于點(diǎn)S,交AB于點(diǎn)R,如圖中的六邊形MNSPQR,顯然點(diǎn)A1,C分別位于這個(gè)平面的兩側(cè),故A1C與平面MNPQ一定相交,不可能平行,故結(jié)論②不正確. 7.空間四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N分別是對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn),則MN與( ) A.AC,BD之一垂直 B.AC,BD都垂直 C.AC,BD都不垂直 D.AC,BD不一定垂直 答案 B 解析 連接AN,CN, ∵AD=BC,AB=CD,BD=BD, ∴△ABD≌△CDB,則AN=CN. 在等腰△ANC中,由M為AC的中點(diǎn)知MN⊥AC. 同理可證MN⊥BD.故選B. 8.如圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為PA,PD的中點(diǎn),在此幾何體中,給出下面4個(gè)結(jié)論: ①直線BE與直線CF異面;?、谥本€BE與直線AF異面; ③直線EF∥平面PBC;?、芷矫鍮CE⊥平面PAD. 其中正確的有( ) A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè) 答案 B 解析 將展開圖還原為幾何體(如圖),因?yàn)镋,F(xiàn)分別為PA,PD的中點(diǎn),所以EF∥AD∥BC,即直線BE與CF共面,①錯(cuò);因?yàn)锽?平面PAD,E∈平面PAD,E?AF,所以BE與AF是異面直線,②正確;因?yàn)镋F∥AD∥BC,EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正確;平面PAD與平面BCE不一定垂直,④錯(cuò).故選B. 9.如圖,已知在三棱錐P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別是棱PA,PB,PC的中點(diǎn),則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________. 答案 平行 解析 在△PAB中,因?yàn)镈,E分別是PA,PB的中點(diǎn), 所以DE∥AB. 又DE?平面ABC,AB?平面ABC, 所以DE∥平面ABC. 同理可證EF∥平面ABC. 又DE∩EF=E,DE,EF?平面DEF, 所以平面DEF∥平面ABC. 10.(2018全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB互相垂直,SA與圓錐底面所成角為30.若△SAB的面積為8,則該圓錐的體積為________. 答案 8π 解析 在Rt△SAB中,SA=SB,S△SAB=SA2=8, 解得SA=4. 設(shè)圓錐的底面圓心為O,底面半徑為r,高為h, 在Rt△SAO中,∠SAO=30, 所以r=2,h=2, 所以圓錐的體積V=πr2h=π(2)22=8π. 11.(2016全國Ⅱ)α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題: ①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β; ②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n; ③如果α∥β,m?α,那么m∥β; ④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫所有正確命題的序號(hào)) 答案?、冖邰? 解析 ①當(dāng)m⊥n,m⊥α,n∥β時(shí),兩個(gè)平面的位置關(guān)系不確定,故錯(cuò)誤, ②∵n∥α,∴過直線n作平面γ與平面α交于直線c, 則n∥c.∵m⊥α, ∴m⊥c,∴m⊥n,故正確. ③∵α∥β,m?α,由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可得m∥β,故正確. ④∵m∥n,α∥β,∴由線面角的定義和等角定理可得m與α所成的角和n與β所成的角相等,故正確. 經(jīng)判斷知②③④均正確. 12.空間四邊形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90,∠BCD=90,且AB=AD,則AC與平面BCD所成的角是________. 答案 45 解析 如圖所示,取BD的中點(diǎn)O,連接AO,CO. 因?yàn)锳B=AD,所以AO⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,所以AO⊥平面BCD. 因此,∠ACO即為AC與平面BCD所成的角. 由于∠BAD=90=∠BCD, 所以AO=OC=BD, 又AO⊥OC, 所以∠ACO=45.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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