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課時(shí)作業(yè)54　曲線與方程 [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析：由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 答案：D 2．方程|x|－1＝所表示的曲線是(　　) A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)圓 C．半個(gè)圓 D．兩個(gè)半圓 解析：由題意得 即 或 故原方程表示兩個(gè)半圓． 答案：D 3．設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1. 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝， 即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 4．[2019珠海模擬]已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y＝2x－4，點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)，若＝，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．y＝－2x B．y＝2x C．y＝2x－8 D．y＝2x＋4 解析：設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由＝知，點(diǎn)A是線段RP的中點(diǎn)，∴即 ∵點(diǎn)R(x1，y1)在直線y＝2x－4上， ∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x. 答案：B 5．[2019福建八校聯(lián)考]已知圓M：(x＋)2＋y2＝36，定點(diǎn)N(，0)，點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在線段MP上，且滿足＝2，＝0，則點(diǎn)G的軌跡方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由＝2，＝0知GQ所在直線是線段NP的垂直平分線，連接GN， ∴|GN|＝|GP|，∴|GM|＋|GN|＝|MP|＝6>2，∴點(diǎn)G的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝6,2c＝2，∴b2＝4，∴點(diǎn)G的軌跡方程為＋＝1，故選A. 答案：A 二、填空題 6．在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B，C為定點(diǎn)，B，C(a＞0)，且滿足條件sinC－sinB＝sinA，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是________． 解析：由正弦定理得－＝， 即|AB|－|AC|＝|BC|， 故動(dòng)點(diǎn)A是以B，C為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線右支． 即動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為－＝1(x＞0且y≠0)． 答案：－＝1(x＞0且y≠0) 7．[2019河南開封模擬]如圖，已知圓E：(x＋)2＋y2＝16，點(diǎn)F(，0)，P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為________________． 解析：連接QF，因?yàn)镼在線段PF的垂直平分線上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4. 又|EF|＝2＜4，得Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓為＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 8．[2019江西九江聯(lián)考]設(shè)F(1,0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸，且＝2，⊥，當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)N的軌跡方程為________． 解析：設(shè)M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由＝2，得即因?yàn)椤停?x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0，即－x＋y2＝0，所以點(diǎn)N的軌跡方程為y2＝4x. 答案：y2＝4x 三、解答題 9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(－1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱． 所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，－1)． 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由題設(shè)知直線AP與BP的斜率存在且均不為零，則＝－， 化簡(jiǎn)得x2＋3y2＝4(x≠1)． 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為＋＝1(x≠1)． 10．如圖所示，已知圓A：(x＋2)2＋y2＝1與點(diǎn)B(2,0)，分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． (1)△PAB的周長為10； (2)圓P與圓A外切，且過B點(diǎn)(P為動(dòng)圓圓心)； (3)圓P與圓A外切，且與直線x＝1相切(P為動(dòng)圓圓心)． 解析：(1)根據(jù)題意，知|PA|＋|PB|＋|AB|＝10，即|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故P點(diǎn)軌跡是橢圓，且2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝2，b＝. 因此其軌跡方程為＋＝1(y≠0)． (2)設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|＝r＋1，|PB|＝r， 因此|PA|－|PB|＝1. 由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支，且2a＝ 1,2c＝4，即a＝，c＝2，b＝，因此其軌跡方程為4x2－y2＝1. (3)依題意，知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線x＝2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p＝4. 因此其軌跡方程為y2＝－8x. [能力挑戰(zhàn)] 11．已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l1：x－y－2＝0相切． (1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)Q滿足＝m＋(1－m)(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程． 解析：(1)設(shè)圓的半徑為r, 圓心到直線l1的距離為d，則d＝＝2. 因?yàn)閞＝d＝2，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以圓C1的方程為x2＋y2＝4. (2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)， ∵AN⊥x軸于點(diǎn)N，∴N(x0,0)， 由題意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)(x0,0)， 解得即 將點(diǎn)A代入圓C1的方程x2＋y2＝4，得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為＋＝1.