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1 離散時間信號2 Z變換和傅立葉變換3 數(shù)字濾波器的Matlab設(shè)計方法 第10章MATLAB Simulink的數(shù)字信號處理應(yīng)用 信號概述 在二十世紀(jì)上半葉的時候提到一個信號 人們還傾向于將它理解為一個連續(xù)的函數(shù) 而到下半葉 信號已經(jīng)越來越多地對應(yīng)于一個離散的數(shù)組 毫無疑問 這是電子計算機革命的后果 例如 一段聲音就是一個定義在一維空間上的函數(shù) 自變量是時間 因變量是聲音的強度 一幅圖像是定義在二維空間上的函數(shù) 自變量是橫軸和縱軸坐標(biāo) 因變量是圖像像素的色彩和明暗 如此等等 3 10 1離散時間信號的表達(dá)及其運算 1 離散時間信號 序列定義 自變量為離散點的信號 函數(shù) 記為連續(xù)時間信號離散化如圖所示 4 2 典型序列 1 單位樣值 沖激 序列Matlab表達(dá)式 n n1 n2 x n n0 0 2 單位階躍序列 Matlab表達(dá)式 n n1 n2 x n n0 0 5 在用MATLAB表示離散序列要注意 由于在MATLAB中 矩陣的元素個數(shù)是有限的 因此 MATLAB無法表示無限序列 在繪制離散信號波形時 要使用專門的繪制離散數(shù)據(jù)的stem命令 而不是plot命令 6 離散信號的時域運算MATLAB離散序列的相加 相乘需表示成兩個向量的相加 相乘 因而參加運算的兩序列向量必須具有相同的維數(shù) 離散信號相加 離散信號相乘s1 5 5 s2 s1 y1 s1 s2y2 s1 s2 7 8 離散時間系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)和階躍響應(yīng) 1 單位沖擊響應(yīng)形式 h impz b a k 其中b a分別為差分方程右端和左端的系數(shù)向量 k是輸出序列的取值范圍 h是系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng) 2 單位階躍響應(yīng)形式 h stepz b a k 9 例 求離散時間系統(tǒng)y k 3y k 1 2y k 2 f k 的單位沖擊響應(yīng)h k 并與理論值h k 1 k 2 2 k k 0進行比較 k 0 10 a 132 b 1 h impz b a k subplot 2 1 1 stem k h title 單位沖擊相應(yīng)的近似值 gridon hk 1 k 2 2 k subplot 2 1 2 stem k hk title 單位沖擊相應(yīng)的理論值 gridon 10 MATLAB提供了專門求沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)并繪制其時域波形的內(nèi)部函數(shù) impulse和stepimpulse b a 以默認(rèn)方式繪出向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的時域波形impulse b a t 繪出0 t時間范圍內(nèi)的沖激響應(yīng)時域波形impulse b a t1 p t2 繪出t1 t2時間范圍內(nèi) 且以p為時間間隔的沖激響應(yīng)時域波形y impulse b a t1 p t2 并不繪出波形 僅求出沖激響應(yīng)的數(shù)值解函數(shù)step 將繪出由向量a和b表示的連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 畫在指定時間范圍內(nèi)的波形圖 并能求出其數(shù)值解 11 例 已知描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程繪出該系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的波形 a 1625 b 25 subplot 121 impulse b a subplot 122 step b a 12 10 2Z變換和傅立葉變換 Z變換物理意義 將離散信號分解為不同頻率復(fù)指數(shù)esTk的線性組合 正變換 F z Z f k 反變換 f k Z 1 F z 或 符號表示 matlab的符號運算工具箱提供了z變換函數(shù)ztrans與反變換函數(shù)iztrans 例 symsn f n 4 ZF ztrans f 得到 ZF z z 3 11 z 2 11 z 1 z 1 5 例 f n n 1 IZ iztrans f 得到 IZ 1 k 教材P137例10 4Matlab函數(shù) residuez計算留數(shù)功能 將函數(shù)部分分式展開 計算留數(shù) 零點和極點 零極點坐標(biāo)可為復(fù)數(shù) 該函數(shù)不僅在高等數(shù)學(xué)中計算留數(shù)可以使用 還可以用于信號處理方面的逆Z變換 語法 r p k residuez b a b長分式的分子按照未知數(shù)降冪排列的系數(shù)a長分式的分母按照未知數(shù)降冪排列的系數(shù)r留數(shù)p極點坐標(biāo)k常數(shù)項若用iztrans函數(shù)求解如下 symsz g 3 z z z z 2 IG iztrans g 同樣得到 IG 2 n 1 n 傅立葉變換物理意義 任何一個信號都可以用兩種方式來表達(dá) 一個定義在時域 或空域 上 一個定義在頻域上 看起來的樣子通常截然不同 但是殊途同歸地描述著同一個信號 在數(shù)學(xué)上 這種翻譯過程被稱為 傅立葉變換 一個在時域或空域上看起來很復(fù)雜的信號通常在頻域上的表達(dá)會很簡單 如圖是一張人臉和它對應(yīng)的傅立葉變換 可以看出 所有的頻域信號差不多都分布在中心周圍 而大部分周邊區(qū)域都是黑色的 即零 這是一個意味深長的事實 它說明一個在空域中看起來占滿全空間的信號 從頻域中看起來很可能只不過占用了極小一塊區(qū)域 而大部分頻率是被浪費了的 這就導(dǎo)出了一個極為有用的結(jié)論 一個看起來信息量很大的信號 其實可以只用很少的數(shù)據(jù)來加以描述 只要對它先做傅里葉變換 然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以了 這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少 基本上 這正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想 Matlab符號運算中的傅立葉變換函數(shù) 1 fourier例 symsx f sin x exp x 2 F1 fourier f F1 i pi 1 2 sinh 1 2 w exp 1 4 w 2 1 4 2 ifourier例 IF ifourier F1 IF sin x exp x 2 用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器時 先根據(jù)wc和N求出相應(yīng)的理想濾波器單位脈沖響應(yīng)hd n 選擇合適的窗函數(shù)w n 來截取hd n 的適當(dāng)長度 即階數(shù) 以保證實現(xiàn)要求的阻帶衰減 最后得到FIR濾波器單位脈沖響應(yīng) h n hd n w n 10 3窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器 FiniteImpulseResponse 窗函數(shù)法設(shè)計濾波器時階數(shù)選擇 例 用窗函數(shù)法設(shè)計一個FIR帶通濾波器 低端阻帶截止頻率 wls 0 2 低端通帶截止頻率 wlp 0 35 高端通帶截止頻率 whp 0 65 高端阻帶截止頻率 whs 0 8 通帶最大衰減 Rp 1dB 阻帶最小衰減 Rs 60dB 步驟 Wc wlp whp 根據(jù)阻帶衰減選blackman窗 最小阻帶衰減為74dB 其窗口長度由過度帶寬B 0 15 決定 blackman窗設(shè)計的濾波器過渡帶寬為12 M 故M取80 因為M N 1 所以N 79 使用工具箱函數(shù)fir1的格式b fir1 N wc window 編程 程序編寫 clearcloseallwls 0 2 pi wlp 0 35 pi whp 0 65 pi 技術(shù)指標(biāo)B wlp wls 計算帶寬N ceil 12 0 15 計算濾波器長度wc wlp pi 6 N whp pi 6 N 截止頻率hn fir1 N 1 wc blackman N 求濾波器系數(shù)n 0 79 窗口長度序列subplot 2 1 1 stem n hn 繪圖 h w freqz hn 1 256 檢驗濾波器的頻率響應(yīng)subplot 2 1 2 plot w pi 20 log10 abs h grid 數(shù)字濾波器的FDATOOL設(shè)計方法 在Simulink下進行設(shè)計 MATLAB命令行鍵入simulink 進入Simulink界面 選擇SignalProcessingBlockset模塊下DSPsources中SineWave來產(chǎn)生信號 選擇Sum來疊加三個正弦信號 選擇DSPsinks下的VectorScope進行示波 選擇Filtering下的DigitalFilterDesign模塊進行濾波器的導(dǎo)入 濾波器的仿真 三個信號疊加 濾波后的結(jié)果 可見FDAtool設(shè)計的濾波器濾波的效果很好 THEEND