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課時跟蹤檢測（三）小題考法——三角恒等變換與解三角形 A組——10＋7提速練 一、選擇題 1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，則b＝(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C． D． 解析：選D　由正弦定理＝，得＝，即＝，所以b＝，故選D. 2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝ asin C，則sin B＝(　　) A. B． C. D． 解析：選A　由bsin B－asin A＝asin C，得b2－a2＝ac，∵c＝2a，∴b＝a， ∴cos B＝＝＝，則sin B＝ ＝. 3．(2019屆高三溫州十校聯(lián)考)在△ABC中，若tan Atan B>1，則△ABC是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定 解析：選A　因為A和B都為三角形中的內(nèi)角， 由tan Atan B>1，得1－tan Atan B<0， 且tan A>0，tan B>0，即A，B為銳角， 所以tan(A＋B)＝<0， 則A＋B∈，即C為銳角， 所以△ABC是銳角三角形． 4．已知sin β＝，且sin(α＋β)＝cos α，則tan(α＋β)＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 解析：選A　∵sin β＝，且<β<π， ∴cos β＝－，tan β＝－. ∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α， ∴tan α＝－， ∴tan(α＋β)＝＝－2. 5．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asin A＝(2sin B＋sin C)b＋(2c＋b)sin C，則A＝(　　) A．60 B．120 C．30 D．150 解析：選B　由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝－，又A為三角形的內(nèi)角，故A＝120. 6．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，則△ABC的面積為(　　) A．＋1 B．＋1 C．2 D． 解析：選B　由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c>b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面積S＝bcsin A＝22sin＝22＝＋1. 7．(2018衢州期中)在△ABC中，若B＝2A，a＝1，b＝，則c＝(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：選B　在△ABC中，∵B＝2A，a＝1，b＝， ∴由正弦定理＝， 可得＝＝， ∴cos A＝，∴A＝，B＝，C＝π－A－B＝， ∴c＝＝2. 8．在△ABC中，A＝60，BC＝，D是AB邊上不同于A，B的任意一點，CD＝，△BCD的面積為1，則AC的長為(　　) A．2 B． C． D． 解析：選D　由S△BCD＝1，可得CDBCsin∠DCB＝1，即sin∠DCB＝，所以cos∠DCB＝或cos∠DCB＝－，又∠DCB<∠ACB＝180－A－B＝120－B<120，所以cos∠DCB>－，所以cos∠DCB＝.在△BCD中，cos∠DCB＝＝，解得BD＝2，所以cos∠DBC＝＝，所以sin∠DBC＝. 在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝，故選D. 9．(2019屆高三臺州中學檢測)在△ABC中，若AB＝1，BC＝2，則角C的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因為c＝AB＝1，a＝BC＝2，b＝AC.根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知1∠BDC＝，所以∠DAC<，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<，則∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠BCA＝2＋6－2＝2，所以AB＝＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝. 答案： 6．(2018嘉興測試)設△ABC的三邊a，b，c所對的角分別為A，B，C，已知a2＋2b2＝c2，則＝________；tan B的最大值為________． 解析：由正弦定理可得＝＝，再結(jié)合余弦定理可得＝＝＝.由a2＋2b2＝c2，得＝＝－3.由已知條件及大邊對大角可知0＜A＜＜C＜π，從而由A＋B＋C＝π可知tan B＝－tan(A＋C)＝－＝－＝，因為＜C＜π，所以＋ (－tan C)≥2＝2(當且僅當tan C＝－時取等號)，從而tan B≤＝，即tan B的最大值為. 答案：－3