(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精準(zhǔn)提分 第二篇 重點(diǎn)專題分層練中高檔題得高分 第18練 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)試題.docx
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第18練 圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì) [明晰考情] 1.命題角度:圓錐曲線是高考的熱點(diǎn),每年必考,小題中考查圓錐曲線的定義、方程、離心率等.2.題目難度:中檔難度或偏難. 考點(diǎn)一 圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 方法技巧 (1)橢圓和雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離可以相互轉(zhuǎn)化,拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離. (2)求圓錐曲線方程的常用方法:定義法、待定系數(shù)法. 1.已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點(diǎn)作過A,B的橢圓,則橢圓的另一個焦點(diǎn)F的軌跡方程是( ) A.y2-=1 B.x2-=1 C.y2-=1(y≤-1) D.x2-=1(x≥1) 答案 C 解析 由兩點(diǎn)間距離公式,可得|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,因?yàn)锳,B都在橢圓上,所以|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2<14,故F的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的下支.由c=7,a=1,得b2=48,所以點(diǎn)F的軌跡方程是y2-=1(y≤-1),故選C. 2.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則該雙曲線的方程為( ) A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1 答案 B 解析 由e=知a=b,且c=a.∴雙曲線漸近線方程為y=x. 又kPF===1,∴c=4,則a2=b2==8. 故雙曲線方程為-=1. 3.已知橢圓+=1的兩個焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在該橢圓上,若|PF1|-|PF2|=2,則△PF1F2的面積是________. 答案 解析 由橢圓的方程可知a=2,c=,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2, 所以|PF1|=3,|PF2|=1. 又|F1F2|=2c=2,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即△PF1F2為直角三角形,且∠PF2F1為直角, 所以=|F1F2||PF2|=21=. 4.已知拋物線y=x2,A,B是該拋物線上兩點(diǎn),且|AB|=24,則線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為________. 答案 8 解析 由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=16y, 焦點(diǎn)F(0,4), 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由|AB|≤|AF|+|BF|=(y1+4)+(y2+4)=y(tǒng)1+y2+8, ∴y1+y2≥16,則線段AB的中點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=≥8, ∴線段AB的中點(diǎn)P離x軸最近時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8. 考點(diǎn)二 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 要點(diǎn)重組 在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e==; 在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e== . 5.(2018全國Ⅱ)雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為( ) A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 答案 A 解析 雙曲線-=1的漸近線方程為bxay=0. 又∵離心率==, ∴a2+b2=3a2,∴b=a(a>0,b>0). ∴漸近線方程為axay=0,即y=x. 故選A. 6.(2018全國Ⅲ)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=|OP|,則C的離心率為( ) A.B.2C.D. 答案 C 解析 如圖,過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線,垂足為P′,連接P′F2,由題意可知,四邊形PF1P′F2為平行四邊形,且△PP′F2是直角三角形. 因?yàn)閨F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF1|=a=|F2P′|,|PP′|=2a, 所以|F2P|=a=b, 所以c==a,所以e==. 7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn),若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為______. 答案 y=x 解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由得a2y2-2pb2y+a2b2=0, ∴y1+y2=.又∵|AF|+|BF|=4|OF|, ∴y1++y2+=4,即y1+y2=p, ∴=p,即=,∴=, ∴雙曲線的漸近線方程為y=x. 8.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn).若∠MAN=60,則C的離心率為________. 答案 解析 如圖,由題意知點(diǎn)A(a,0),雙曲線的一條漸近線l的方程為y=x,即bx-ay=0, ∴點(diǎn)A到l的距離d=. 又∠MAN=60,|MA|=|NA|=b, ∴△MAN為等邊三角形, ∴d=|MA|=b,即=b,∴a2=3b2, ∴e===. 考點(diǎn)三 圓錐曲線的綜合問題 方法技巧 (1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法;目標(biāo)函數(shù)法;條件不等式法. (2)圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問題可以利用特例法尋求突破,然后對一般情況進(jìn)行證明. 9.如圖,點(diǎn)F1,F(xiàn)2是橢圓C1的左、右焦點(diǎn),橢圓C1與雙曲線C2的漸近線交于點(diǎn)P,PF1⊥PF2,橢圓C1與雙曲線C2的離心率分別為e1,e2,則( ) A.e= B.e= C.e= D.e= 答案 D 解析 設(shè)橢圓C1的方程為+=1, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),由圖知x0>0,y0>0, 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C1上,所以|PF1|+|PF2|=2a.① 又因?yàn)镻F1⊥PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,② 在Rt△PF1F2中,易得|PF1||PF2|=2cy0,③ 聯(lián)立①②③,得y0=, 代入橢圓方程,得x0=. 因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線的漸近線上, 所以雙曲線的漸近線的斜率k====, 又在雙曲線中易得其漸近線的斜率k=, 所以=, 化簡得e=,故選D. 10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y2=2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|=2|MF|,則直線OM的斜率的最大值為( ) A. B. C. D.1 答案 C 解析 如圖, 由題意可知F,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,顯然, 當(dāng)y0<0時,kOM<0; 當(dāng)y0>0時,kOM>0. 要求kOM的最大值,不妨設(shè)y0>0, 則=+ =+=+(-) =+ =, kOM==≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)y=2p2時等號成立.故選C. 11.過拋物線y=ax2 (a>0)的焦點(diǎn)F作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AF,BF的長分別為m,n,則=________. 答案 解析 顯然直線AB的斜率存在,故設(shè)直線方程為y=kx+,與y=ax2聯(lián)立,消去y得ax2-kx-=0, 設(shè)A(x1,ax),B(x2,ax),則x1+x2=,x1x2=-, x+x=+,m=ax+,n=ax+,∴mn=,m+n=,∴=. 12.已知橢圓+=1(a>b>0)的短軸長為2,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且△F1AB的面積為,點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則+的取值范圍為________. 答案 [1,4] 解析 由已知得2b=2,故b=1, ∵△F1AB的面積為, ∴(a-c)b=, ∴a-c=2-, 又a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=1, ∴a=2,c=, ∴+= ==, 又2-≤|PF1|≤2+, ∴1≤-|PF1|2+4|PF1|≤4, ∴1≤+≤4, 即+的取值范圍為[1,4]. 1.若點(diǎn)O和點(diǎn)F(-2,0)分別為雙曲線-y2=1(a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為( ) A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞) C. D. 答案 B 解析 由題意,得22=a2+1,即a=, 設(shè)P(x,y),x≥,=(x+2,y), 則=(x+2)x+y2 =x2+2x+-1=2-, 因?yàn)閤≥,所以的取值范圍為[3+2,+∞). 2.若橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸,且短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)組成一個正三角形,焦點(diǎn)到同側(cè)頂點(diǎn)的距離為,則橢圓的方程為________________. 答案?。?或+=1 解析 由題意,得所以 所以b2=a2-c2=9. 所以當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時,橢圓的方程為+=1; 當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時,橢圓的方程為+=1. 故橢圓的方程為+=1或+=1. 3.已知A(1,2),B(-1,2),動點(diǎn)P滿足⊥.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線與動點(diǎn)P的軌跡沒有公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案 (1,2) 解析 設(shè)P(x,y),由題設(shè)條件, 得動點(diǎn)P的軌跡為(x-1)(x+1)+(y-2)(y-2)=0, 即x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)為圓心,1為半徑的圓. 又雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x,即bxay=0, 由題意,可得>1,即>1, 所以e=<2, 又e>1,故1- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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