(江蘇專(zhuān)用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 第30練 計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)歸納法試題 理.docx
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第30練 計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)歸納法 [明晰考情] 1.命題角度:計(jì)數(shù)原理與排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用;n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布、離散型隨機(jī)變量的均值與方差;數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用.2.題目難度:中檔難度. 考點(diǎn)一 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理的綜合 方法技巧 (1)區(qū)分某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與這一項(xiàng)的系數(shù)兩個(gè)不同的概念;(2)在二項(xiàng)式展開(kāi)式中,利用通項(xiàng)公式求一些特殊的項(xiàng),如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、整式項(xiàng)等;(3)根據(jù)所給式子的結(jié)構(gòu)特征,對(duì)二項(xiàng)式定理的逆用或變用;(4)關(guān)于x的二項(xiàng)式(a+bx)n(a,b為常數(shù))的展開(kāi)式可以看成是關(guān)于x的函數(shù),當(dāng)展開(kāi)式涉及到與系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),可以利用函數(shù)思想來(lái)解決. 1.設(shè)A,B均為非空集合,且A∩B=?,A∪B={1,2,3,…,n}(n≥3,n∈N*).記A,B中元素的個(gè)數(shù)分別為a,b,所有滿(mǎn)足“a∈B,且b∈A”的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為an. (1)求a3,a4的值; (2)求an. 解 (1)當(dāng)n=3時(shí),A∪B={1,2,3},且A∩B=?. 若a=1,b=2,則1∈B,2∈A,共C種; 若a=2,b=1,則2∈B,1∈A,共C種, 所以a3=C+C=2; 當(dāng)n=4時(shí),A∪B={1,2,3,4},且A∩B=?. 若a=1,b=3,則1∈B,3∈A,共C種; 若a=2,b=2,則2∈B,2∈A,這與A∩B=?矛盾; 若a=3,b=1,則3∈B,1∈A,共C種, 所以a4=C+C=2. (2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),A∪B={1,2,3,…,n},且A∩B=?. 若a=1,b=n-1,則1∈B,n-1∈A,共C(考慮A)種; 若a=2,b=n-2,則2∈B,n-2∈A,共C(考慮A)種; …; 若a=-1,b=+1,則-1∈B,+1∈A,共(考慮A)種; 若a=,b=,則∈B,∈A,這與A∩B=?矛盾; 若a=+1,b=-1,則+1∈B,-1∈A,共(考慮A)種; …; 若a=n-1,b=1,則n-1∈B,1∈A,共C(考慮A)種. 所以an=C+C+…+++…+C=2n-2-; 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),同理,an=C+C+…+C=2n-2. 綜上所述,當(dāng)n≥3,且n∈N*時(shí),an= 2.已知等式(1+x)2n-1=(1+x)n-1(1+x)n. (1)求(1+x)2n-1的展開(kāi)式中含xn的項(xiàng)的系數(shù),并化簡(jiǎn):CC+CC+…+CC; (2)證明:(C)2+2(C)2+…+n(C)2=nC. (1)解 (1+x)2n-1的展開(kāi)式中含xn的項(xiàng)的系數(shù)為C, 由(1+x)n-1(1+x)n=(C+Cx+…+Cxn-1)(C+Cx+…+Cxn)可知,(1+x)n-1(1+x)n的展開(kāi)式中含xn的項(xiàng)的系數(shù)為CC+CC+…+CC. 所以CC+CC+…+CC=C. (2)證明 當(dāng)k∈N*時(shí),kC=k==n=nC, 所以(C)2+2(C)2+…+n(C)2=[k(C)2]= (kCC)=(nCC)=n(CC)=n (CC). 由(1)知,CC+CC+…+CC=C, 即(CC)=C,所以(C)2+2(C)2+…+n(C)2=nC. 3.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),已知n∈N*,且g(x)=Cfx0(1-x)n+Cfx1(1-x)n-1+Cfx2(1-x)n-2+…+Cfxn(1-x)0. (1)若f(x)=1,求g(x); (2)若f(x)=x,求g(x). 解 (1)∵f(x)=1, ∴f=f=…=f=1, ∴g(x)=Cx0(1-x)n+Cx1(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxn(1-x)0=[(1-x)+x]n=1. ∵零的零次冪無(wú)意義, ∴g(x)=1,且x≠0,x≠1,x∈R. (2)∵rC=r==n=nC,其中r=1,2,…,n, ∴rC=nC(r=1,2,…,n).又∵f(x)=x, ∴g(x)=C0x0(1-x)n+Cx1(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxn(1-x)0 =[Cx1(1-x)n-1+2Cx2(1-x)n-2+…+rCxr(1-x)n-r+…+nCxn(1-x)0] =n[Cx1(1-x)n-1+Cx2(1-x)n-2+…+Cxr(1-x)n-r+…+Cxn(1-x)0] =x[Cx0(1-x)n-1+Cx1(1-x)n-2+…+Cxr-1(1-x)(n-1)-(r-1)+…+Cxn-1(1-x)0] =x[(1-x)+x]n-1=x, 即g(x)=x,x≠0,x≠1,x∈R. 4.設(shè)集合S={1,2,3,…,n}(n∈N*,n≥2),A,B是S的兩個(gè)非空子集,且滿(mǎn)足集合A中的最大數(shù)小于集合B中的最小數(shù),記滿(mǎn)足條件的集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù)為Pn. (1)求P2,P3的值; (2)求Pn的表達(dá)式. 解 (1)當(dāng)n=2時(shí),即S={1,2},此時(shí)A={1},B={2},所以P2=1. 當(dāng)n=3時(shí),即S={1,2,3}. 若A={1},則B={2}或B={3}或B={2,3}; 若A={2}或A={1,2},則B={3}. 所以P3=5. (2)當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí),集合A的其余元素可在1,2,…,k-1中任取若干個(gè)(包含不取),所以集合A共有C+C+C+…+C=2k-1(種)情況, 此時(shí)集合B的元素只能在k+1,k+2,…,n中任取若干個(gè)(至少取1個(gè)),所以集合B共有C+C+C+…+C=2n-k-1(種)情況, 所以當(dāng)集合A中的最大元素為“k”時(shí),集合對(duì)(A,B)共有2k-1(2n-k-1)=2n-1-2k-1(對(duì)), 當(dāng)k依次取1,2,3,…,n-1時(shí),可分別得到集合對(duì)(A,B)的個(gè)數(shù),求和可得Pn=(n-1)2n-1-(20+21+22+…+2n-2)=(n-2)2n-1+1. 考點(diǎn)二 隨機(jī)變量及其概率分布 方法技巧 求解離散型隨機(jī)變量的概率分布問(wèn)題,先要明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)事件,然后確定概率分布的類(lèi)型,求出相應(yīng)事件的概率,即可列出概率分布,再求其數(shù)學(xué)期望與方差即可.若所求事件比較復(fù)雜,可以根據(jù)事件的性質(zhì)將其分為互斥事件之和或轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件求解即可. 5.(2018蘇州調(diào)研)某公司年會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng),每位員工均有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).活動(dòng)規(guī)則如下:一個(gè)盒子里裝有大小相同的6個(gè)小球,其中3個(gè)白球,2個(gè)紅球,1個(gè)黑球,抽獎(jiǎng)時(shí)從中一次摸出3個(gè)小球,若所得的小球同色,則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金為300元;若所得的小球顏色互不相同,則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金為200元;若所得的小球恰有2個(gè)同色,則獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金為100元. (1)求小張?jiān)谶@次活動(dòng)中獲得的獎(jiǎng)金數(shù)X的概率分布及數(shù)學(xué)期望; (2)若每個(gè)人獲獎(jiǎng)與否互不影響,求該公司某部門(mén)3個(gè)人中至少有2個(gè)人獲二等獎(jiǎng)的概率. 解 (1)小張?jiān)谶@次活動(dòng)中獲得的獎(jiǎng)金數(shù)X的所有可能取值為100,200,300. P(X=300)==, P(X=200)===, P(X=100)===, 所以獎(jiǎng)金數(shù)X的概率分布為 X 100 200 300 P 獎(jiǎng)金數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=100+200+300=140. (2)設(shè)3個(gè)人中獲二等獎(jiǎng)的人數(shù)為Y,則Y~B, 所以P(Y=k)=Ck3-k (k=0,1,2,3), 設(shè)該公司某部門(mén)3個(gè)人中至少有2個(gè)人獲二等獎(jiǎng)為事件A, 則P(A)=P(Y=2)+P(Y=3) =C2+C3=. 答 該公司某部門(mén)3個(gè)人中至少有2個(gè)人獲二等獎(jiǎng)的概率為. 6.射擊測(cè)試有兩種方案.方案1:先在甲靶射擊一次,以后都在乙靶射擊;方案2:始終在乙靶射擊.某射手命中甲靶的概率為,命中一次得3分;命中乙靶的概率為,命中一次得2分.若沒(méi)有命中則得0分.用隨機(jī)變量ξ表示該射手一次測(cè)試?yán)塾?jì)得分,如果ξ的值不低于3分就認(rèn)為通過(guò)測(cè)試,立即停止射擊;否則繼續(xù)射擊,但一次測(cè)試最多打靶3次,每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立. (1)如果該射手選擇方案1,求其測(cè)試結(jié)束后所得總分ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望E(ξ); (2)該射手選擇哪種方案通過(guò)測(cè)試的可能性大?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 在甲靶射擊命中記作A,不中記作,在乙靶射擊命中記作B,不中記作,其中P(A)=,P()=1-=,P(B)=,P()=1-=. (1)ξ的所有可能取值為0,2,3,4,則 P(ξ=0)=P()=P()P()P()==, P(ξ=2)=P(B)+P(B)=P()P(B)P()+P()P()P(B)=+=, P(ξ=3)=P(A)=, P(ξ=4)=P(BB)=P()P(B)P(B)==. 所以ξ的概率分布為 ξ 0 2 3 4 P 所以E(ξ)=0+2+3+4=3. (2)設(shè)射手選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率為P1,選擇方案2通過(guò)測(cè)試的概率為P2, P1=P(ξ≥3)=+=. P2=P(ξ≥3)=P(BB)+P(BB)+P(BB)=++=. 因?yàn)镻1>P2,所以選擇方案1通過(guò)測(cè)試的概率更大. 7. (2018無(wú)錫調(diào)研)有甲、乙兩個(gè)游戲項(xiàng)目,要參與游戲,均需每次先付費(fèi)10元(不返還),游戲甲有3種結(jié)果:可能獲得15元,可能獲得10元,可能獲得5元,這三種情況的概率分別為,,;游戲乙有2種結(jié)果:可能獲得20元,可能獲得0元,這兩種情況的概率均為. (1)某人花20元參與游戲甲兩次,用X表示該人參加游戲甲的收益(收益=參與游戲獲得的錢(qián)數(shù)-付費(fèi)錢(qián)數(shù)),求X的概率分布及數(shù)學(xué)期望; (2)用ξ表示某人參加n次游戲乙的收益,n為任意正整數(shù),求證:ξ的數(shù)學(xué)期望為0. (1)解 X的所有可能取值為10,5,0,-5,-10, P(X=10)=2=,P(X=5)=C=, P(X=0)=C+2=, P(X=-5)=C=, P(X=-10)=2=, 所以X的概率分布為 X 10 5 0 -5 -10 P E(X)=10+5+0+(-5)+(-10)=-. (2)證明 ξ的所有可能取值為10n,10(n-2),10(n-4),…,10(n-2k),…,-10n(k∈N且0≤k≤n), P(ξ=10(n-2k))=Cn(k∈N且0≤k≤n), E(ξ)=10nCn+10(n-2)Cn+…+10(n-2k)Cn+…+10(n-2n)Cn =[nC+(n-2)C+…+(n-2k) C+…+(-n)C], 又E(ξ)={-nC+[n-(2n-2)]C+…+[n-(2n-2k)]C+…+nC}, ①+②,得 2E(ξ)=[(n-n)C+(n-2+2-n)C+…+(n-2k+2k-n)C+…+(-n+n)C], 所以E(ξ)=0. 8.(2017江蘇)已知一個(gè)口袋有m個(gè)白球,n個(gè)黑球(m,n∈N*,n≥2),這些球除顏色外完全相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出,并放入如圖所示的編號(hào)為1,2,3,…,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n). 1 2 3 … m+n (1)試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P; (2)隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學(xué)期望,證明:E(X)<. (1)解 編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為 P==. (2)證明 隨機(jī)變量X的概率分布為 X … … P … … 隨機(jī)變量X的期望為 E(X)==. 所以E(X)< = =(1+C+C+…+C) =(C+C+C+…+C) =(C+C+…+C) =…=(C+C) ==, 即E(X)<. 考點(diǎn)三 數(shù)學(xué)歸納法 方法技巧 利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題,在第二步證明n=k+1成立時(shí),一定要利用歸納假設(shè),即必須把歸納假設(shè)“n=k時(shí)命題成立”作為條件來(lái)導(dǎo)出“n=k+1時(shí)命題也成立”,在書(shū)寫(xiě)f(k+1)時(shí),一定要把包含f(k)的式子寫(xiě)出來(lái),尤其是f(k)中的最后一項(xiàng),這是數(shù)學(xué)歸納法的核心. 9.在數(shù)列{an}中,an=cos(n∈N*) (1)試將an+1表示為an的函數(shù)關(guān)系式; (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn=1-(n∈N*),猜想an與bn的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解 (1)an=cos=cos =22-1, ∴an=2a-1, ∴an+1=, 又n∈N*,n+1≥2,an+1>0, ∴an+1=. (2)當(dāng)n=1時(shí),a1=-,b1=1-2=-1, ∴a1>b1, 當(dāng)n=2時(shí),a2=,b2=1-=, ∴a2=b2, 當(dāng)n=3時(shí),a3=,b3=1-=,∴a3<b3, 猜想:當(dāng)n≥3時(shí),an<bn,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. ①當(dāng)n=3時(shí),由上知,a3<b3,結(jié)論成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k,k≥3,n∈N*時(shí),ak<bk成立, 即ak<1-, 則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=< =, bk+1=1-, 要證ak+1<bk+1,即證明2<2, 即證明1-<1-+2, 即證明-+2>0, 即證明+2>0,顯然成立. ∴當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 綜合①②可知:當(dāng)n≥3時(shí),an<bn成立. 綜上可得:當(dāng)n=1時(shí),a1>b1;當(dāng)n=2時(shí),a2=b2, 當(dāng)n≥3,n∈N*時(shí),an<bn. 10.(2018江蘇省南京六校聯(lián)考)把圓分成n(n≥3)個(gè)扇形,設(shè)用4種顏色給這些扇形染色,每個(gè)扇形恰染一種顏色,并且要求相鄰扇形的顏色互不相同,設(shè)共有f(n)種方法. (1)寫(xiě)出f(3),f(4)的值; (2)猜想f(n)(n≥3),并用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解 (1)f(3)=24,f(4)=84. (2)當(dāng)n≥4時(shí),首先,對(duì)于第1個(gè)扇形a1,有4種不同的染法,由于第2個(gè)扇形a2的顏色與a1的顏色不同,所以,對(duì)于a2有3種不同的染法,類(lèi)似地,對(duì)扇形a3,…,an-1均有3種染法.對(duì)于扇形an,用與an-1不同的3種顏色染色,但是,這樣也包括了它與扇形a1顏色相同的情況,而扇形a1與扇形an顏色相同的不同染色方法數(shù)就是f(n-1),于是可得, f(n)=43n-1-f(n-1) , 猜想f(n)=3n+(-1)n3(n≥3,n∈N*),證明如下: 當(dāng)n=3時(shí),左邊f(xié)(3)=24,右邊33+(-1)33=24, 所以等式成立. 假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),f(k)=3k+(-1)k3, 則當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=43k-f(k)=43k-3k-(-1)k3 =3k+1+(-1)k+13, 即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立, 綜上,f(n)=3n+(-1)n3(n≥3). 11.設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù),f(4)=5,且滿(mǎn)足: ①對(duì)任意的n∈N*,f(n)∈Z;②對(duì)任意的m,n∈N*,有f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1). (1)求f(1),f(2),f(3)的值; (2)求f(n)的表達(dá)式. 解 因?yàn)閒(1)f(4)=f(4)+f(4), 所以5f(1)=10,所以f(1)=2. 因?yàn)閒(n)是定義在N*上的增函數(shù), 所以2=f(1)- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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