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第21練　圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì) [明晰考情]　1.命題角度：圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是高考考查的熱點.2.題目難度：中等偏難. 考點一　圓錐曲線的定義及標準方程 方法技巧　(1)應(yīng)用圓錐曲線的定義解題時，一定不要忽視定義中的隱含條件. (2)凡涉及橢圓或雙曲線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到焦點距離，一般可以利用定義進行轉(zhuǎn)化. (3)求解圓錐曲線的標準方程的方法是“先定型，后計算”. 1.已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點作過A，B的橢圓，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是________. 答案　y2－＝1(y≤－1) 解析　由兩點間距離公式，可得AC＝13，BC＝15，AB＝14，因為A，B都在橢圓上，所以AF＋AC＝BF＋BC，AF－BF＝BC－AC＝2<14，故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支.由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以F的軌跡方程是y2－＝1(y≤－1). 2.已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的方程為________. 答案?。? 解析　由e＝知a＝b，且c＝a. ∴雙曲線漸近線方程為y＝x. 又kPF＝＝＝1，∴c＝4，則a2＝b2＝＝8. 故雙曲線方程為－＝1. 3.已知拋物線y＝x2，A，B是該拋物線上兩點，且AB＝24，則線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為________. 答案　8 解析　由題意得拋物線的標準方程為x2＝16y， 焦點F(0,4)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由AB≤AF＋BF＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y(tǒng)1＋y2＋8， ∴y1＋y2≥16，則線段AB的中點P的縱坐標y＝≥8， ∴線段AB的中點P離x軸最近時點P的縱坐標為8. 4.(2018如皋調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1的右頂點為A，點M(2,4)，過橢圓C上任意一點P作直線MA的垂線，垂足為H，則2PM＋PH的最小值為________. 答案　2－2 解析　在橢圓中，a＝2，c＝1，所以橢圓的右焦點為F(1，0)，右準線方程為x＝4. 過點P作右準線的垂線，設(shè)垂足為G，則PH＝PG－2， 由橢圓的第二定義得e＝＝，所以PG＝2PF. 因此2PM＋PH＝2PM＋2PF－2＝2(PM＋PF)－2≥2MF－2＝2－2， 當且僅當M，P，F(xiàn)三點共線時等號成立， 所以2PM＋PH的最小值為2－2. 考點二　圓錐曲線的幾何性質(zhì) 方法技巧　(1)確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍，就是確立一個關(guān)于a，b，c的方程(組)或不等式(組)，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式.(2)要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等. 5.(2018全國Ⅱ改編)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則其漸近線方程為________. 答案　y＝x 解析　雙曲線－＝1的漸近線方程為bxay＝0. 又∵離心率＝＝， ∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0). ∴漸近線方程為axay＝0，即y＝x. 6.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)上存在點M，使得右焦點F關(guān)于直線OM(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則該雙曲線的離心率的取值范圍是______. 答案　(，＋∞) 解析　若存在點M，使得右焦點F關(guān)于直線OM(O為雙曲線的中心)的對稱點在y軸上，則只要這個雙曲線上存在點M，使得OM的斜率的絕對值為1即可，所以只要漸近線的斜率的絕對值大于1，也就是離心率大于. 7.(2018全國Ⅲ改編)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，O是坐標原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若PF1＝OP，則C的離心率為________. 答案　 解析　如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連結(jié)P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形. 因為F2P＝b，F(xiàn)2O＝c，所以O(shè)P＝a. 又PF1＝a＝F2P′，PP′＝2a， 所以F2P＝a＝b， 所以c＝＝a，所以e＝＝. 8.在平面直角坐標系xOy中，雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右支與焦點為F的拋物線x2＝2py(p＞0)交于A，B兩點，若AF＋BF＝4OF，則該雙曲線的漸近線方程為________. 答案　y＝x 解析　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， ∵y1,2＝，∴y1＋y2＝. 又∵AF＋BF＝4OF， ∴y1＋＋y2＋＝4，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴雙曲線的漸近線方程為y＝x. 考點三　圓錐曲線的綜合問題 方法技巧　(1)圓錐曲線范圍、最值問題的常用方法 定義性質(zhì)轉(zhuǎn)化法；目標函數(shù)法；條件不等式法. (2)圓錐曲線中的定值、定點問題可以利用特例法尋求突破，然后對一般情況進行證明. 9.已知方程－＝1表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是________. 答案　∪ 解析　由－＝1轉(zhuǎn)化成標準方程為＋＝1， 假設(shè)焦點在x軸上，則2＋m＞－(m＋1)＞0， 解得－＜m＜－1； 假設(shè)焦點在y軸上，則－(m＋1)＞2＋m＞0， 解得－2＜m＜－. 綜上可知，m的取值范圍為∪. 10.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為________. 答案　 解析　如圖，因為MF1與x軸垂直，所以MF1＝. 又sin∠MF2F1＝， 所以＝， 即MF2＝3MF1.由雙曲線的定義得2a＝MF2－MF1＝2MF1＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以離心率e＝＝. 11.過拋物線y＝ax2 (a>0)的焦點F作一條直線交拋物線于A，B兩點，若線段AF，BF的長分別為m，n，則＝________. 答案　 解析　顯然直線AB的斜率存在，故設(shè)直線方程為y＝kx＋，與y＝ax2聯(lián)立，消去y得ax2－kx－＝0， 設(shè)A(x1，ax)，B(x2，ax)，因為x1,2＝， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－， x＋x＝＋，m＝ax＋，n＝ax＋，∴mn＝，m＋n＝，∴＝. 12.已知橢圓＋＝1(a>b>0)的短軸長為2，上頂點為A，左頂點為B，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，且△F1AB的面積為，點P為橢圓上的任意一點，則＋的取值范圍為________. 答案　[1，4] 解析　由已知得2b＝2，故b＝1， ∵△F1AB的面積為， ∴(a－c)b＝， ∴a－c＝2－， 又a2－c2＝(a－c)(a＋c)＝b2＝1， ∴a＝2，c＝， ∴＋＝ ＝＝， 又2－≤PF1≤2＋， ∴1≤－PF＋4PF1≤4， ∴1≤＋≤4， 即＋的取值范圍為. 1.若點O和點F(－2,0)分別為雙曲線－y2＝1(a＞0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為________. 答案　[3＋2，＋∞) 解析　由題意，得22＝a2＋1，即a＝，設(shè)P(x，y)，x≥，＝(x＋2，y)，則＝(x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋－1＝2－，因為x≥，所以的取值范圍為[3＋2，＋∞). 2.若橢圓的對稱軸是坐標軸，且短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到同側(cè)頂點的距離為，則橢圓的方程為________________. 答案?。?或＋＝1 解析　由題意，得所以 所以b2＝a2－c2＝9. 所以當橢圓焦點在x軸上時，橢圓的方程為＋＝1；當橢圓焦點在y軸上時，橢圓的方程為＋＝1. 故橢圓的方程為＋＝1或＋＝1. 3.已知A(1,2)，B(－1,2)，動點P滿足⊥.若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與動點P的軌跡沒有公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是________. 答案　(1,2) 解析　設(shè)P(x，y)，由題設(shè)條件， 得動點P的軌跡方程為(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0， 即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓. 又雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝x，即bxay＝0， 由題意，可得>1，即>1， 所以e＝<2， 又e>1，故10)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝________. 答案　2 解析　因為拋物線方程是y2＝4x，所以F(1,0). 又因為PF⊥x軸，所以P(1,2)，把P點坐標代入曲線方程y＝(k>0)，即＝2，所以k＝2. 4.過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點作直線交拋物線于P，Q兩點，若線段PQ中點的橫坐標為3，PQ＝10，則拋物線的方程是________. 答案　y2＝8x 解析　設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由拋物線的定義可知， PQ＝PF＋QF＝x1＋＋x2＋ ＝(x1＋x2)＋p， ∵線段PQ中點的橫坐標為3，又PQ＝10， ∴10＝6＋p，可得p＝4， ∴拋物線的方程為y2＝8x. 5.已知直線l過點A(－1,0)且與⊙B：x2＋y2－2x＝0相切于點D，以坐標軸為對稱軸的雙曲線E過點D，一條漸近線平行于l，則E的方程為________. 答案?。? 解析　直線l的斜率存在，可設(shè)直線方程為y＝k(x＋1)， ⊙B：x2＋y2－2x＝0的圓心為(1,0)，半徑為1，由相切可得圓心到直線的距離d＝＝1，即k＝， 所以直線l的方程為y＝(x＋1)，故漸近線方程為y＝x，聯(lián)立直線l和圓的方程，解得x＝，y＝，即D，設(shè)雙曲線方程為y2－x2＝m(m≠0)，代入點D，解得m＝， 所以雙曲線方程為－＝1. 6.已知雙曲線Γ：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為l，圓C：(x－a)2＋y2＝8與l交于A，B兩點，若△ABC是等腰直角三角形，且＝5(其中O為坐標原點)，則雙曲線Γ的離心率為________. 答案　 解析　雙曲線的漸近線方程為y＝x，圓(x－a)2＋y2＝8的圓心為(a,0)，半徑r＝2，由于∠ACB＝，由勾股定理得AB＝＝4，故OA＝AB＝1.在△OAC，△OBC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得a2＝13.由圓心到直線y＝x的距離為2，得＝2，結(jié)合c2＝a2＋b2，解得c＝，故離心率為＝＝. 7.(2018天津改編)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點.設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為________. 答案?。? 解析　如圖，不妨設(shè)A在B的上方， 則A，B.其中的一條漸近線為bx－ay＝0， 則d1＋d2＝＝＝2b＝6，∴b＝3. 又由e＝＝2，知a2＋b2＝4a2，∴a＝. ∴雙曲線的方程為－＝1. 8.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得PF1＋PF2＝3b，PF1PF2＝ab，則該雙曲線的離心率為________. 答案　 解析　不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點， PF1＝r1，PF2＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a， 又r1＋r2＝3b，故r1＝，r2＝. 又r1r2＝ab， 所以＝ab， 解得＝(負值舍去)， 故e＝＝＝＝. 9.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為(6,4)，則PM＋PF1的最大值為________. 答案　15 解析　因為橢圓＋＝1中，a＝5，b＝4，所以c＝3，得焦點為F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0).根據(jù)橢圓的定義，得 PM＋PF1＝PM＋(2a－PF2)＝10＋(PM－PF2).因為PM－PF2≤MF2，當且僅當P在MF2的延長線上時等號成立，此時PM＋PF1的最大值為10＋5＝15. 10.已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則FN＝________. 答案　6 解析　如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P， ∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)， FO＝AO＝2. ∵點M為FN的中點，PM∥OF， ∴MP＝FO＝1. 又BP＝AO＝2， ∴MB＝MP＋BP＝3. 由拋物線的定義知MF＝MB＝3， 故FN＝2MF＝6. 11.已知拋物線y2＝2px(p>0)上的一點M(1，t)(t>0)到焦點的距離為5，雙曲線－＝1(a>0)的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a的值為________. 答案　3 解析　由題意知1＋＝5，∴p＝8. ∴M(1,4)， 由于雙曲線的左頂點A(－a,0)， 且直線AM平行于一條雙曲線的漸近線， ∴＝，則a＝3. 12.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，若M是線段PF1上一點，且滿足MF1＝2，MF2＝0，則橢圓C的離心率的取值范圍為________. 答案　 解析　設(shè)P(x，y)(y≠0)，取MF1的中點N， 由MF1＝2知，NF1＝， 解得點N， 又MF2＝0， 所以MF2⊥， 連結(jié)ON，由三角形的中位線可知⊥， 即(x，y)＝0， 整理得(x－c)2＋y2＝c2(y≠0)， 所以點P的軌跡為以(c,0)為圓心，c為半徑的圓(去除兩點(0,0)，(2c,0))，要使得圓與橢圓有公共點，則 a－c＜c，所以e＝＞，又0

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