《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第2課時 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 第2課時 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第2課時　橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進(jìn)一步鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓的位置關(guān)系等知識.3.會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系． 知識點(diǎn)一　點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 思考　類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，你能給出點(diǎn)P(x0，y0)與橢圓＋＝1(a>b>0)的位置關(guān)系的判定嗎？ 答案　當(dāng)P在橢圓外時，＋>1； 當(dāng)P在橢圓上時，＋＝1； 當(dāng)P在橢圓內(nèi)時，＋<1. 梳理　設(shè)P(x0，y0)，橢圓＋＝1(a>b>0)，則點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系如下表所示： 位置關(guān)系 滿足條件 P在橢圓外 ＋>1 P在橢圓上 ＋＝1 P在橢圓內(nèi) ＋<1 知識點(diǎn)二　直線與橢圓的位置關(guān)系 思考　類比直線與圓的位置關(guān)系，給出直線與橢圓的位置關(guān)系． 答案　有三種位置關(guān)系：相離、相切和相交． 梳理　判斷直線和橢圓位置關(guān)系的方法 直線y＝kx＋m與橢圓＋＝1(a＞b＞0)的位置關(guān)系的判斷方法： 聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程． 當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不同解，直線與橢圓相交； 當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相同解，直線與橢圓相切； 當(dāng)Δ＜0時，方程無解，直線與橢圓相離． 知識點(diǎn)三　弦長公式 設(shè)直線l：y＝kx＋m(k≠0，m為常數(shù))與橢圓＋＝1(a>b>0)相交，兩個交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB叫做直線l截橢圓所得的弦，線段AB的長度叫做弦長．弦長公式：|AB|＝，其中x1＋x2與x1x2均可由根與系數(shù)的關(guān)系得到． (1)若直線的斜率一定，則當(dāng)直線過橢圓的中心時，弦長最大．(√) (2)直線－y＝1被橢圓＋y2＝1截得的弦長為.(√) (3)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)與點(diǎn)P(b,0)，過點(diǎn)P可作出該橢圓的一條切線．() (4)直線y＝k(x－a)與橢圓＋＝1的位置關(guān)系是相交．(√) 類型一　點(diǎn)、直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 命題角度1　點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系的判斷 例1　已知點(diǎn)P(k,1)，橢圓＋＝1，點(diǎn)在橢圓外，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為____________． 考點(diǎn)　橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 答案　∪ 解析　由題可知＋>1， 解得k<－或k>. 引申探究 若將本例中P點(diǎn)坐標(biāo)改為“P(1，k)”呢？ 答案　∪ 解析　由＋>1，解得k2>， 即k<－或k>. 反思與感悟　處理點(diǎn)與橢圓位置關(guān)系問題時，緊扣判定條件，然后轉(zhuǎn)化為解不等式等問題，注意求解過程與結(jié)果的準(zhǔn)確性． 跟蹤訓(xùn)練1　已知點(diǎn)(3,2)在橢圓＋＝1(a>b>0)上，則(　　) A．點(diǎn)(－3，－2)不在橢圓上 B．點(diǎn)(3，－2)不在橢圓上 C．點(diǎn)(－3,2)在橢圓上 D．以上都不正確 考點(diǎn)　橢圓的簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系 答案　C 解析　由已知，得＋＝1，只有選項C正確． 命題角度2　直線與橢圓位置關(guān)系的判斷 例2　對不同的實(shí)數(shù)m，討論直線y＝x＋m與橢圓＋y2＝1的位置關(guān)系． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題 解　由消去y， 得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， Δ＝(8m)2－45(4m2－4)＝16(5－m2)． 當(dāng)－＜m＜時，Δ＞0，直線與橢圓相交； 當(dāng)m＝－或m＝時，Δ＝0，直線與橢圓相切； 當(dāng)m＜－或m＞時，Δ＜0，直線與橢圓相離． 反思與感悟　判斷直線與橢圓位置關(guān)系時，準(zhǔn)確計算出判別式Δ是解題關(guān)鍵． 跟蹤訓(xùn)練2　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點(diǎn)P和Q，求k的取值范圍． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題 解　由已知條件知直線l的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0， 直線l與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)P和Q等價于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞， 所以k的取值范圍為∪. 類型二　弦長問題 例3　已知橢圓4x2＋5y2＝20的一個焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為45的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|. 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓相交求弦長與三角形面積 解　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1， a＝，b＝2，c＝1， ∴直線l的方程為y＝x＋1(不失一般性，設(shè)l過左焦點(diǎn))． 由消去y，得9x2＋10x－15＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝－， |AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝＝. 反思與感悟　求解弦長時，需正確記憶公式內(nèi)容，其次，準(zhǔn)確得到x1＋x2和x1x2的值． 跟蹤訓(xùn)練3　橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且橢圓與直線x＋2y＋8＝0相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝，求橢圓方程． 考點(diǎn)　由橢圓的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點(diǎn)　由橢圓的幾何特征求方程 解　∵e＝，∴b2＝a2， ∴橢圓方程為x2＋4y2＝a2， 與x＋2y＋8＝0聯(lián)立消去y， 得2x2＋16x＋64－a2＝0， 由Δ＞0，得a2＞32， 由弦長公式，得10＝[64－2(64－a2)]， ∴a2＝36，b2＝9， ∴橢圓方程為＋＝1. 類型三　橢圓中的最值(或范圍)問題 例4　已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m. (1)當(dāng)直線和橢圓有公共點(diǎn)時，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解　(1)由 消去y，得5x2＋2mx＋m2－1＝0， 因為直線與橢圓有公共點(diǎn)， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤. (2)設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)， 所以|AB|＝ ＝＝ ＝＝. 所以當(dāng)m＝0時，|AB|最大，此時直線方程為y＝x. 反思與感悟　求最值問題的基本策略 (1)求解形如|PA|＋|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉(zhuǎn)化為直線，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時|PA|＋|PB|取得最值． (2)求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時一定要注意自變量的取值范圍． (3)求解形如ax＋by的最值問題，一般通過數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為直線問題解決． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍． 跟蹤訓(xùn)練4　已知動點(diǎn)P(x，y)在橢圓＋＝1上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，||＝1，且＝0，求||的最小值． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解　由||＝1，A(3,0)， 知點(diǎn)M在以A(3,0)為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動， ∵＝0且P在橢圓上運(yùn)動， ∴PM⊥AM，即PM為⊙A的切線，連接PA(如圖)，則||＝ ＝， ∴當(dāng)||min＝a－c＝5－3＝2時，||min＝. 1．若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點(diǎn)，則b的值是(　　) A．－1 B． C．－1或1 D．－或 考點(diǎn)　由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由橢圓幾何特征求參數(shù) 答案　C 解析　易知橢圓x2＋＝1的焦點(diǎn)為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)，所以b＝1或－1. 2．已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是(　　) A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　求橢圓中的直線方程 答案　A 解析　由題意易知所求直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)M(1,1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k. 由消去y， 得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0， 所以＝＝1， 解得k＝－， 所以所求直線方程為y＝－x＋， 即x＋2y－3＝0. 3．(2017牌頭中學(xué)期中)設(shè)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若在直線x＝上存在點(diǎn)P，使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2，則橢圓離心率的取值范圍是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　方法一　由題意知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P， ∵PF1的中垂線過點(diǎn)F2，∴|F1F2|＝|F2P|， 即2c＝，整理得y2＝3c2＋2a2－. ∵y2≥0， ∴3c2＋2a2－≥0， 即3e2－＋2≥0，解得e≥. 又∵00，解得m>1或m<0. 又∵m>0且m≠3，∴m>1且m≠3. 6．已知A，B是橢圓＋＝1(a＞b＞0)長軸的兩個端點(diǎn)，M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線AM，BN的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)，若橢圓的離心率為，則|k1|＋|k2|的最小值為(　　) A．1B.C.D. 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 答案　A 解析　設(shè)M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)， 則k1＝，k2＝， 又因為橢圓的離心率為， 所以＝＝， |k1|＋|k2|＝＋≥2＝＝1，故選A. 7．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(－2,1)，則直線l的斜率為(　　) A. B. C. D.1 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　求橢圓中的直線方程 答案　C 解析　因為橢圓＋＝1的離心率為， 四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為12， 所以解得a＝2，b＝， 所以橢圓的方程為＋＝1， 因為直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)， 且線段AB的中點(diǎn)為M(－2,1)， 所以設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 又因為兩式相減， 得(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 所以－(x1－x2)＋(y1－y2)＝0， 所以直線l的斜率為k＝＝，故選C. 二、填空題 8．(2017牌頭中學(xué)期中)過橢圓＋＝1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是__________． 答案　3x＋4y－13＝0 解析　設(shè)直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 由于A，B兩點(diǎn)均在橢圓上， 故＋＝1，＋＝1， 兩式相減得 ＋＝0. 又∵P是A，B的中點(diǎn)，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2， ∴kAB＝＝－. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3)． 即3x＋4y－13＝0. 9．若直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點(diǎn)個數(shù)為________． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題 答案　2 解析　因為直線mx＋ny＝4與圓x2＋y2＝4沒有交點(diǎn)， 所以>2，所以m2＋n2<4， 即點(diǎn)P(m，n)在以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)(不包含邊界)，故過點(diǎn)P(m，n)的直線與橢圓＋＝1有兩個交點(diǎn)． 10．設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點(diǎn)，直線y＝kx(k>0)與線段AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若＝6，則k的值為________． 考點(diǎn)　由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由橢圓幾何特征求參數(shù) 答案　或 解析　依題意得橢圓的方程為＋y2＝1， 直線AB，EF的方程分別為x＋2y＝2，y＝kx(k>0)． 如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)， 其中x12)， 其離心率為，故＝，解得a＝4， 故橢圓C2的方程為＋＝1. (2)若將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)， 由＝2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y＝kx. 將y＝kx代入到＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x＝. 將y＝kx代入到＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16， 所以x＝. 又由＝2，得x＝4x，即＝， 解得k＝1.故直線AB的方程為x－y＝0或x＋y＝0. 13．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離的最大值為＋1. (1)求橢圓的方程； (2)已知點(diǎn)C(m,0)是線段OF上異于O，F(xiàn)的一個定點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，使得|AC|＝|BC|，并說明理由． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　橢圓中的定點(diǎn)、定值、取值范圍問題 解　(1)由已知可得 解得∴b＝1， ∴橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由(1)得F(1,0)，∴0＜m＜1. 假設(shè)存在滿足題意的直線l，設(shè)l為y＝k(x－1)， 代入到＋y2＝1中，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝，① ∴y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－. 設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則M. ∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCMkAB＝－1， ∴－2m＋k＝0等價于(1－2m)k2＝m， ∴當(dāng)0＜m＜時，k＝ ， 即存在滿足條件的直線l； 當(dāng)≤m＜1時，k不存在，即不存在滿足條件的直線l. 四、探究與拓展 14．已知橢圓C：＋y2＝1的右焦點(diǎn)為F，直線l：x＝2，點(diǎn)A∈l，線段AF交C于點(diǎn)B，若＝3，則||＝________. 考點(diǎn)　由橢圓方程研究簡單幾何性質(zhì) 題點(diǎn)　由橢圓方程研究其他幾何性質(zhì) 答案　 解析　設(shè)點(diǎn)A(2，n)，B(x0，y0)． 由橢圓C：＋y2＝1，知a2＝2，b2＝1， 所以c2＝1，即c＝1，所以右焦點(diǎn)F(1,0)， 所以由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)， 所以1＝3(x0－1)且n＝3y0， 所以x0＝，y0＝n. 將x0，y0代入到＋y2＝1中， 得2＋2＝1， 解得n2＝1， 所以||＝＝＝. 15．已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)P(2，)，且它的離心率為. (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)與圓(x－1)2＋y2＝1相切的直線l：y＝kx＋t(k∈R，t∈R)交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，若橢圓E上一點(diǎn)C滿足＋＝λ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 考點(diǎn)　直線與橢圓的位置關(guān)系 題點(diǎn)　直線與橢圓的公共點(diǎn)個數(shù)問題 解　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由已知，得解得 所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)因為直線l：y＝kx＋t與圓(x－1)2＋y2＝1相切， 所以＝1，所以2k＝(t≠0)． 把y＝kx＋t代入＋＝1，并整理得(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 則有x1＋x2＝－， y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝. 因為λ＝(x1＋x2，y1＋y2)， 所以C， 又因為點(diǎn)C在橢圓E上， 所以＋＝1， 可得λ2＝＝， 因為t2＞0，所以2＋＋1＞1， 所以0＜λ2＜2， 所以λ的取值范圍為(－，0)∪(0，)．