(通用版)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 第30練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程精準(zhǔn)提分練習(xí) 文.docx
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第30練 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 [明晰考情]1.命題角度:高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識.2.題目難度:中檔難度. 考點一 曲線的極坐標(biāo)方程 方法技巧 (1)進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0),要注意ρ,θ的取值范圍及其影響,靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧. (2)由極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離等幾何問題時,如果不能直接用極坐標(biāo)解決,可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后求解. 1.已知圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,圓心為C,點P的極坐標(biāo)為,求CP的長. 解 由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ, 即x2+y2=4x, 即(x-2)2+y2=4,∴圓心C(2,0), 又由點P的極坐標(biāo)為, 可得點P的直角坐標(biāo)為(2,2), ∴|CP|==2. 2.在極坐標(biāo)系中,曲線C1:ρ(cosθ+sinθ)=1與曲線C2:ρ=a(a>0)的一個交點在極軸上,求a的值. 解 ρ(cosθ+sinθ)=1, 即ρcosθ+ρsinθ=1對應(yīng)的普通方程為x+y-1=0, ρ=a(a>0)對應(yīng)的普通方程為x2+y2=a2. 在x+y-1=0中,令y=0,得x=. 將代入x2+y2=a2,得a=. 3.在以O(shè)為極點的極坐標(biāo)系中,直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos=3和ρsin2θ=8cosθ,直線l與曲線C交于點A,B,求線段AB的長. 解 ∵ρcos=ρcosθcos-ρsinθsin =ρcosθ-ρsinθ=3, ∴直線l對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x-y=6. 又∵ρsin2θ=8cosθ, ∴ρ2sin2θ=8ρcosθ, ∴曲線C對應(yīng)的直角坐標(biāo)方程是y2=8x. 解方程組 得或 ∴不妨取A(2,-4),B(18,12), ∴|AB|==16. 即線段AB的長為16. 考點二 參數(shù)方程及其應(yīng)用 要點重組 過定點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù)),t的幾何意義是的數(shù)量,即|t|表示P0到P的距離,t有正負(fù)之分.使用該式時直線上任意兩點P1,P2對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則|P1P2|=|t1-t2|,P1P2的中點對應(yīng)的參數(shù)為(t1+t2). 方法技巧 (1)參數(shù)方程化為普通方程:由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù),消參數(shù)時常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法,且消參數(shù)時要注意參數(shù)的取值范圍對x,y的限制. (2)在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 4.已知曲線C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 解 (1)曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cosθ,3sinθ)到l的距離為 d=|4cosθ+3sinθ-6|, 則|PA|==|5sin(θ+α)-6|, 其中α為銳角,且tanα=. 當(dāng)sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為. 當(dāng)sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過點P(1,2),傾斜角α=. (1)寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l與圓C相交于A,B兩點,求|PA||PB|的值. 解 (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=16. 直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 即(t為參數(shù)). (2)把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入x2+y2=16, 得2+2=16, 即t2+(+2)t-11=0. 所以t1t2=-11,即|PA||PB|=|t1t2|=11. 6.已知橢圓C:+=1,直線l:(t為參數(shù)). (1)寫出橢圓C的參數(shù)方程及直線l的普通方程; (2)設(shè)A(1,0),若橢圓C上的點P滿足到點A的距離與其到直線l的距離相等,求點P的坐標(biāo). 解 (1)橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)), 直線l的普通方程為x-y+9=0. (2)設(shè)P(2cosθ,sinθ), 則|AP|==2-cosθ, 點P到直線l的距離 d==. 由|AP|=d,得3sinθ-4cosθ=5, 又sin2θ+cos2θ=1, 得sinθ=,cosθ=-. 故P. 考點三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 方法技巧 (1)解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合問題的關(guān)鍵是掌握極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,參數(shù)方程與普通方程的互化.涉及圓、圓錐曲線上的點的最值問題,往往通過參數(shù)方程引入三角函數(shù),利用三角函數(shù)的最值求解. (2)數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用ρ和θ的幾何意義,直接求解,能達(dá)到化繁為簡的解題目的. 7.(2017全國Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)若a=-1,求C與l的交點坐標(biāo); (2)若C上的點到l的距離的最大值為,求a. 解 (1)曲線C的普通方程為+y2=1. 當(dāng)a=-1時,直線l的普通方程為x+4y-3=0. 由 解得或 從而C與l的交點坐標(biāo)是(3,0),. (2)直線l的普通方程是x+4y-4-a=0,故C上的點(3cosθ,sinθ)到l距離d=. 當(dāng)a≥-4時,d的最大值為. 由題設(shè)得=,所以a=8; 當(dāng)a<-4時,d的最大值為. 由題設(shè)得=, 所以a=-16. 綜上,a=8或a=-16. 8.已知曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=4. (1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程; (2)若射線θ=與曲線C交于O,A兩點,與直線l交于B點,射線θ=與曲線C交于O,P兩點,求△PAB的面積. 解 (1)由(θ為參數(shù)),消去θ, 得普通方程為(x-2)2+y2=4. 從而曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ=0, 即ρ=4cosθ, ∵直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=4, 即ρsinθ+ρcosθ=4, ∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0. (2)依題意知,A,B兩點的極坐標(biāo)分別為,, 聯(lián)立射線θ=與曲線C的極坐標(biāo)方程,得P點極坐標(biāo)為, ∴|AB|=2, ∴S△PAB=22sin=2. 9.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin=2. (1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點P在C1上,點Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo). 解 (1)C1的普通方程為+y2=1. C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0. (2)由題意,可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cosα,sinα). 因為C2是直線,所以|PQ|的最小值即為點P到C2的距離d(α)的最小值, d(α)==. 當(dāng)且僅當(dāng)α=2kπ+(k∈Z)時,d(α)取得最小值,最小值為,此時P的直角坐標(biāo)為. 典例 (10分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l與橢圓C的極坐標(biāo)方程分別為cosθ+2sinθ=0和ρ2=. (1)求直線l與橢圓C的直角坐標(biāo)方程; (2)若Q是橢圓C上的動點,求點Q到直線l距離的最大值. 審題路線圖 ―→ 規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn) 解 (1)由cosθ+2sinθ=0,得ρcosθ+2ρsinθ=0,即x+2y=0, 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+2y=0. 由ρ2=,得ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4,即x2+4y2=4,所以+y2=1. 所以橢圓C的直角坐標(biāo)方程為+y2=1.4分 (2)因為橢圓C:+y2=1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),6分 可設(shè)Q(2cosα,sinα), 因此點Q到直線l:x+2y=0的距離 d==,8分 所以當(dāng)α=kπ+,k∈Z時,d取得最大值. 故點Q到直線l的距離的最大值為.10分 構(gòu)建答題模板 [第一步] 互化:將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化; [第二步] 引參:引進(jìn)參數(shù),建立橢圓的參數(shù)方程; [第三步] 列式:利用距離公式求出距離表達(dá)式; [第四步] 求最值:利用三角函數(shù)求出距離的最值. 1.(2018全國Ⅲ)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點. (1)求α的取值范圍; (2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程. 解 (1)⊙O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1. 當(dāng)α=時,l與⊙O交于兩點. 當(dāng)α≠時,記tanα=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點,即點O到l的距離小于半徑1,當(dāng)且僅當(dāng)<1,解得k<-1或k>1, 即α∈或α∈. 綜上,α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設(shè)A,B,P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA,tB,tP, 則tP=, 且tA,tB滿足t2-2tsinα+1=0. 于是tA+tB=2sinα,tP=sinα. 又點P的坐標(biāo)(x,y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是 . 2.已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程,并說明方程表示什么軌跡; (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sinθ-cosθ=,求直線l被曲線C截得的弦長. 解 (1)因為曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)), 所以曲線C的普通方程為 (x-3)2+(y-1)2=10,① 曲線C表示以C(3,1)為圓心,為半徑的圓. 將代入①并化簡,得 ρ=6cosθ+2sinθ, 即曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cosθ+2sinθ. (2)因為直線l的直角坐標(biāo)方程為y-x=1, 所以圓心C到直線y=x+1的距離d=, 所以直線被曲線C截得的弦長為2=. 3.已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos,以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)求曲線C2上的動點M到曲線C1的距離的最大值. 解 (1)ρ=2cos=2(cosθ+sinθ), 即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ), 可得x2+y2-2x-2y=0, 故C2的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. (2)由C1的參數(shù)方程可得, C1的普通方程為x+y+2=0. 由(1)知曲線C2是以(1,1)為圓心,為半徑的圓, 且圓心到直線C1的距離d==, 所以動點M到曲線C1的距離的最大值為. 4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤θ<π),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosα,圓C的圓心到直線l的距離為. (1)求θ的值; (2)已知P(1,0),若直線l與圓C交于A,B兩點,求+的值. 解 (1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤θ<π),消去參數(shù)t,得xsinθ-ycosθ-sinθ=0. 圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=-4cosα, 即ρ2=-4ρcosα, 可得圓C的普通方程為x2+y2+4x=0,即為(x+2)2+y2=4, 可知圓心為(-2,0),半徑為2,圓C的圓心到直線l的距離為d==3sinθ. 由題意可得d=, 即3sinθ=,則sinθ=, ∵0≤θ<π, ∴θ=或θ=. (2)已知P(1,0),則點P在直線l上,直線l與圓C交于A,B兩點,將 代入圓C的普通方程x2+y2+4x=0, 得(1+tcosθ)2+(tsinθ)2+4(1+tcosθ)=0, ∴t2+6tcosθ+5=0. 設(shè)A,B對應(yīng)的參數(shù)為t1,t2,則t1+t2=-6cosθ,t1t2=5, ∵t1t2>0,∴t1,t2同號, ∴+=+===.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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