《(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《(浙江專(zhuān)版)2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 疑難規(guī)律方法學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc(24頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程
1 利用橢圓的定義解題
橢圓定義反映了橢圓的本質(zhì)特征,揭示了曲線(xiàn)存在的幾何性質(zhì).有些問(wèn)題,如果恰當(dāng)運(yùn)用定義來(lái)解決,可以起到事半功倍的效果,下面通過(guò)幾個(gè)例子進(jìn)行說(shuō)明.
1.求最值
例1 線(xiàn)段|AB|=4,|PA|+|PB|=6,M是AB的中點(diǎn),當(dāng)P點(diǎn)在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),PM的長(zhǎng)度的最小值是( )
A.2B.C.D.5
解析 由于|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故由橢圓定義知P點(diǎn)的軌跡是以M為原點(diǎn),A,B為焦點(diǎn)的橢圓,且a=3,c=2,∴b==.于是PM的長(zhǎng)度的最小值是b=.
答案 C
2.求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)
例2 橢圓+=1上到兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之積最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是________.
解析 設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)為P,由橢圓的定義可知
|PF1|+|PF2|=2a=10,
所以|PF1||PF2|≤2=2=25,
當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|=|PF2|時(shí)取等號(hào).
由解得|PF1|=|PF2|=5=a,
此時(shí)點(diǎn)P恰好是橢圓短軸的兩端點(diǎn),
即所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).
答案 (3,0)
點(diǎn)評(píng) 由橢圓的定義可得“|PF1|+|PF2|=10”,即兩個(gè)正數(shù)|PF1|,|PF2|的和為定值,結(jié)合基本不等式可求|PF1|,|PF2|積的最大值,結(jié)合圖形可得所求點(diǎn)P的坐標(biāo).
3.求焦點(diǎn)三角形面積
例3 如圖所示,已知橢圓的方程為+=1,若點(diǎn)P在第二象限,且∠PF1F2=120,求△PF1F2的面積.
解 由已知,得a=2,b=,
所以c==1,|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos120,
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|,①
由橢圓定義,得|PF1|+|PF2|=4,
即|PF2|=4-|PF1|.②
將②代入①,得|PF1|=.
所以=|PF1||F1F2|sin120
=2=,
即△PF1F2的面積是.
點(diǎn)評(píng) 在△PF1F2中,由橢圓的定義及余弦定理可得關(guān)于|PF1|,|PF2|的方程組,消去|PF2|可求|PF1|.
從以上問(wèn)題,我們不難發(fā)現(xiàn),凡涉及橢圓上的點(diǎn)及橢圓焦點(diǎn)的問(wèn)題,我們應(yīng)首先考慮利用橢圓的定義求解.
2 如何求橢圓的離心率
1.由橢圓的定義求離心率
例1 以橢圓的焦距為直徑并過(guò)兩焦點(diǎn)的圓,交橢圓于4個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為_(kāi)_______.
解析 如圖所示,設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),半焦距為c,
由題意知∠F1AF2=90,∠AF2F1=60.∴|AF2|=c,
|AF1|=2csin60=c.
∴|AF1|+|AF2|=2a=(+1)c.
∴e===-1.
答案?。?
點(diǎn)評(píng) 本題利用了圓及正六邊形的幾何性質(zhì),并結(jié)合橢圓的定義,化難為易,使問(wèn)題簡(jiǎn)單解決.
2.解方程(組)求離心率
例2 橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是兩個(gè)頂點(diǎn),如果F1到直線(xiàn)AB的距離為,則橢圓的離心率e=________.
解析 如圖所示,
直線(xiàn)AB的方程為+=1,
即bx-ay+ab=0.
∵點(diǎn)F1(-c,0)到直線(xiàn)AB的距離為,∴=,
∴|a-c|=,即7a2-14ac+7c2=a2+b2.
又∵b2=a2-c2,整理得5a2-14ac+8c2=0.
兩邊同除以a2并由e=知,8e2-14e+5=0,
解得e=或e=(舍去).
答案
3.利用數(shù)形結(jié)合求離心率
例3 在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓+=1(a>b>0),圓O的半徑為a,過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線(xiàn),且這兩條切線(xiàn)互相垂直,則離心率e=________.
解析 如圖所示,切線(xiàn)PA,PB互相垂直,|PA|=|PB|.
又OA⊥PA,OB⊥PB,|OA|=|OB|,
則四邊形OAPB是正方形,
故|OP|=|OA|,
即=a,∴e==.
答案
4.綜合類(lèi)
例4 設(shè)M為橢圓+=1上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓的左、右焦點(diǎn),如果∠MF1F2=75,∠MF2F1=15,求橢圓的離心率.
解 由正弦定理得==
==,
∴e====.
點(diǎn)評(píng) 此題可推廣為若∠MF1F2=α,∠MF2F1=β,則橢圓的離心率e=.
3 活用雙曲線(xiàn)定義妙解題
在解雙曲線(xiàn)中的有關(guān)求動(dòng)點(diǎn)軌跡、離心率、最值等問(wèn)題時(shí),若能靈活應(yīng)用雙曲線(xiàn)的定義,能把大題化為小題,起到事半功倍的作用.下面舉例說(shuō)明.
1.求動(dòng)點(diǎn)軌跡
例1 一動(dòng)圓C與兩定圓C1:x2+(y-5)2=1和圓C2:x2+(y+5)2=16都外切,求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程.
解 設(shè)動(dòng)圓圓心為C(x,y),半徑為r,
因?yàn)閯?dòng)圓C與兩定圓相外切,
所以
即|CC2|-|CC1|=3<|C1C2|=10,
所以點(diǎn)C的軌跡是以C1(0,5),C2(0,-5)為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的上支,且a=,c=5,
所以b2=.
故動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為-=1(y≥).
點(diǎn)評(píng) 依據(jù)動(dòng)圓與兩定圓外切建立關(guān)系式,易得到|CC2|-|CC1|=3<|C1C2|,從而判斷出C的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支,最后求出a,b即可寫(xiě)出軌跡方程,這里一定要注意所求的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支還是兩支.
2.求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)
例2 過(guò)雙曲線(xiàn)-=1左焦點(diǎn)F1的直線(xiàn)與左支交于A,B兩點(diǎn),且弦AB長(zhǎng)為6,則△ABF2(F2為右焦點(diǎn))的周長(zhǎng)是________.
解析 由雙曲線(xiàn)的定義知|AF2|-|AF1|=8,|BF2|-|BF1|=8,
兩式相加得|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=|AF2|+|BF2|-|AB|=16,
從而有|AF2|+|BF2|=16+6=22,
所以△ABF2的周長(zhǎng)為|AF2|+|BF2|+|AB|=22+6=28.
答案 28
點(diǎn)評(píng) 與焦點(diǎn)有關(guān)的三角形周長(zhǎng)問(wèn)題,常借助雙曲線(xiàn)的定義解決,注意解決問(wèn)題時(shí)的拼湊技巧.
3.最值問(wèn)題
例3 已知F是雙曲線(xiàn)-y2=1的右焦點(diǎn),P是雙曲線(xiàn)右支上一動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)M(4,2),求|PM|+|PF|的最小值.
解 設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F′,
則F′(-2,0),
由雙曲線(xiàn)的定義知:|PF′|-|PF|=2a=2,
所以|PF|=|PF′|-2,
所以|PM|+|PF|=|PM|+|PF′|-2,
要使|PM|+|PF|取得最小值,只需|PM|+|PF′|取得最小值,由圖可知,當(dāng)P,F(xiàn)′,M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),|PM|+|PF′|最小,此時(shí)|MF′|=2,
故|PM|+|PF|的最小值為2-2.
點(diǎn)評(píng) 本題利用雙曲線(xiàn)的定義對(duì)F的位置進(jìn)行轉(zhuǎn)換,然后再根據(jù)共線(xiàn)易求得最小值.另外同學(xué)們不妨思考一下:(1)若將M坐標(biāo)改為M(1,1),其他條件不變,如何求解呢?(2)若P是雙曲線(xiàn)左支上一動(dòng)點(diǎn),如何求解呢?
4.求離心率范圍
例4 已知雙曲線(xiàn)-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,且|PF1|=4|PF2|,試求該雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍.
解 因?yàn)閨PF1|=4|PF2|,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,
所以設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=4m,
由雙曲線(xiàn)的定義,則|PF1|-|PF2|=4m-m=2a,
所以m=a.
又|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,
即4m+m≥2c,
所以m≥c,即a≥c,
所以e=≤.
又e>1,所以雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為1
0)過(guò)焦點(diǎn)F的一條弦.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),AB的中點(diǎn)M(x0,y0),過(guò)A,M,B分別向拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l作垂線(xiàn),垂足分別為A1,M1,B1,則有以下重要結(jié)論:
(1)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線(xiàn)相切;
(2)|AB|=2(焦點(diǎn)弦長(zhǎng)與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系);
(3)|AB|=x1+x2+p;
(4)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積為定值,即x1x2=,y1y2=-p2;
(5)A1F⊥B1F;
(6)A,O,B1三點(diǎn)共線(xiàn);
(7)+=.
以下以第(7)條結(jié)論為例證明:
證明 當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在,
即與x軸垂直時(shí),|FA|=|FB|=p,
∴+=+=.
當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為
y=k,并代入y2=2px,
∴2=2px,
即k2x2-p(2+k2)x+=0.
由A(xA,yA),B(xB,yB),
則xA+xB=,xAxB=.
∵|FA|=xA+,|FB|=xB+,
∴|FA|+|FB|=xA+xB+p,
|FA||FB|=
=xAxB+(xA+xB)+=(xA+xB+p).
∴|FA|+|FB|=|FA||FB|,
即+=.
點(diǎn)評(píng) 該結(jié)論是拋物線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)的弦所具有的一個(gè)重要性質(zhì),解題時(shí),不可忽視AB⊥x軸的情況.
例2 設(shè)F為拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線(xiàn)上三點(diǎn),若++=0,則
||+||+||=________.
解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又F(1,0).
由++=0知(x1-1)+(x2-1)+(x3-1)=0,
即x1+x2+x3=3,
||+||+||=x1+x2+x3+p=6.
答案 6
5 求曲線(xiàn)方程的常用方法
曲線(xiàn)方程的求法是解析幾何的重要內(nèi)容和高考的??键c(diǎn).求曲線(xiàn)方程時(shí),應(yīng)根據(jù)曲線(xiàn)的不同背景,不同的結(jié)構(gòu)特征,選用不同的思路和方法,才能簡(jiǎn)捷明快地解決問(wèn)題.下面對(duì)其求法進(jìn)行探究.
1.定義法
求曲線(xiàn)方程時(shí),如果動(dòng)點(diǎn)軌跡滿(mǎn)足已知曲線(xiàn)的定義,則可根據(jù)題設(shè)條件和圖形的特點(diǎn),恰當(dāng)運(yùn)用平面幾何的知識(shí)去尋求其數(shù)量關(guān)系,再由曲線(xiàn)定義直接寫(xiě)出方程,這種方法叫做定義法.
例1 如圖,點(diǎn)A為圓形紙片內(nèi)不同于圓心C的定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在圓周上,將紙片折起,使點(diǎn)M與點(diǎn)A重合,設(shè)折痕m交線(xiàn)段CM于點(diǎn)N.現(xiàn)將圓形紙片放在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓C:(x+1)2+y2=4a2 (a>1),A(1,0),記點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)E.
(1)證明曲線(xiàn)E是橢圓,并寫(xiě)出當(dāng)a=2時(shí)該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)C和橢圓E的上頂點(diǎn)B,點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)Q,若橢圓E的離心率e∈,求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍.
解 (1)依題意,直線(xiàn)m為線(xiàn)段AM的垂直平分線(xiàn),
∴|NA|=|NM|.
∴|NC|+|NA|=|NC|+|NM|=|CM|=2a>2,
∴N的軌跡是以C,A為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2的橢圓.
當(dāng)a=2時(shí),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=4,焦距為2c=2,
∴b2=a2-c2=3.
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0).
由(1)知:a2-b2=1.又C(-1,0),B(0,b),
∴直線(xiàn)l的方程為+=1,即bx-y+b=0.
設(shè)Q(x,y),∵點(diǎn)Q與點(diǎn)A(1,0)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),
∴ 消去x得y=.
∵離心率e∈,∴≤e2≤,
即≤≤,∴≤a2≤4.
∴≤b2+1≤4,即≤b≤,
∵y==≤2,當(dāng)且僅當(dāng)b=1時(shí)取等號(hào).
又當(dāng)b=時(shí),y=;當(dāng)b=時(shí),y=.∴≤y≤2.
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的取值范圍是[,2].
2.直接法
若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系,或者可運(yùn)用平面幾何的知識(shí)推導(dǎo)出等量關(guān)系,則可通過(guò)“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,這種“五步法”可稱(chēng)為直接法.
例2 已知直線(xiàn)l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0.有一動(dòng)圓M(圓心和半徑都在變動(dòng))與l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圓內(nèi)的兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度分別是定值26,24.求圓心M的軌跡方程.
解 如圖,設(shè)M(x,y),圓半徑為r,M到l1,l2的距離分別是d1,d2,
則d+132=r2,d+122=r2,
∴d-d=25,
即2-2=25,化簡(jiǎn)得圓心M的軌跡方程是(x+1)2-y2=65.
點(diǎn)評(píng) 若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是一些幾何量的等量關(guān)系,則常用直接法求解,即將這些關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y的方程即可.
3.待定系數(shù)法
若已知曲線(xiàn)(軌跡)的形狀,求曲線(xiàn)(軌跡)的方程時(shí),可由待定系數(shù)法求解.
例3 已知橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn),A是一個(gè)頂點(diǎn),若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6,且cos∠OFA=,求橢圓的方程.
解 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,cos∠OFA=,
所以點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn),是短軸的頂點(diǎn),
所以|OF|=c,|AF|==
=a=3,=,所以c=2,b2=32-22=5,
故橢圓的方程為+=1或+=1.
4.相關(guān)點(diǎn)法(或代入法)
如果點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡或所在的曲線(xiàn)已知,又點(diǎn)P與點(diǎn)Q的坐標(biāo)之間可以建立某種關(guān)系,借助于點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡便可得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡.
例4 如圖所示,從雙曲線(xiàn)x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線(xiàn)l:x+y=2的垂線(xiàn),垂足為N,求線(xiàn)段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.
分析 設(shè)P(x,y),因?yàn)镻是QN的中點(diǎn),為此需用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示Q點(diǎn)的坐標(biāo),然后代入雙曲線(xiàn)方程即可.
解 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),雙曲線(xiàn)上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0),
∵點(diǎn)P是線(xiàn)段QN的中點(diǎn),
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x-x0,2y-y0).
又點(diǎn)N在直線(xiàn)x+y=2上,∴2x-x0+2y-y0=2,
即x0+y0=2x+2y-2.①
又QN⊥l,∴kQN==1,
即x0-y0=x-y.②
由①②,得x0=(3x+y-2),y0=(x+3y-2).
又∵點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)上,
∴(3x+y-2)2-(x+3y-2)2=1.
化簡(jiǎn),得2-2=.
∴線(xiàn)段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為
2-2=.
點(diǎn)評(píng) 本題中動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān),而Q點(diǎn)的軌跡確定,所以解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找出P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,用相關(guān)點(diǎn)法求解.
5.參數(shù)法
有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件不易得出,也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn),但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約,即動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一個(gè)變量的變化而變化,我們可以設(shè)這個(gè)變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,這種方法叫做參數(shù)法.
例5 已知點(diǎn)P在直線(xiàn)x=2上移動(dòng),直線(xiàn)l通過(guò)原點(diǎn)且與OP垂直,通過(guò)點(diǎn)A(1,0)及點(diǎn)P的直線(xiàn)m和直線(xiàn)l交于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
解 如圖,設(shè)OP的斜率為k,
則P(2,2k).當(dāng)k≠0時(shí),
直線(xiàn)l的方程:y=-x;①
直線(xiàn)m的方程:y=2k(x-1).②
聯(lián)立①②消去k得2x2+y2-2x=0 (x≠1).
當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)Q的坐標(biāo)(0,0)也滿(mǎn)足上式,故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2-2x=0(x≠1).
6 解析幾何中的定值與最值問(wèn)題
1.定點(diǎn)、定值問(wèn)題
對(duì)于解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題,要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析,在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊圖形等)先確定出定值,揭開(kāi)神秘的面紗,這樣可將盲目的探索問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有方向有目標(biāo)的一般性證明題,從而找到解決問(wèn)題的突破口.
例1 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于A,B兩點(diǎn),+與a=(3,-1)共線(xiàn).設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且=λ+μ (λ,μ∈R),求證:λ2+μ2為定值.
證明 ∵M(jìn)是橢圓上任意一點(diǎn),若M與A重合,
則=,此時(shí)λ=1,μ=0,
∴λ2+μ2=1,現(xiàn)在需要證明λ2+μ2為定值1.
設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),
∴
①-②得+=0,
即=-=-,
又∵kAB==1,∴y0=-x0.
∴直線(xiàn)ON的方向向量為=,
∵∥a,∴=.
∵a2=3b2,∴橢圓方程為x2+3y2=3b2,
又直線(xiàn)方程為y=x-c.
聯(lián)立得4x2-6cx+3c2-3b2=0.
∵x1+x2=c,x1x2==c2.
又設(shè)M(x,y),則由=λ+μ,
得代入橢圓方程整理得
λ2(x+3y)+μ2(x+3y)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2.
又∵x+3y=3b2,x+3y=3b2,
x1x2+3y1y2=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2
=c2-c2+3c2=0,
∴λ2+μ2=1,故λ2+μ2為定值.
例2 已知橢圓+=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,1),其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線(xiàn)l與x軸正半軸和y軸分別交于Q,P,與橢圓分別交于點(diǎn)M,N,各點(diǎn)均不重合且滿(mǎn)足=λ1,=λ2.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若λ1+λ2=-3,試證明:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)并求此定點(diǎn).
解 (1)設(shè)橢圓的焦距為2c,
由題意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,
又a2=b2+c2,∴a2=3.∴橢圓的方程為+y2=1.
(2)由題意設(shè)P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),
設(shè)l方程為x=t(y-m),
由=λ1知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),
∴y1-m=-y1λ1,由題意y1≠0,∴λ1=-1.
同理由=λ2知λ2=-1.
∵λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0,①
聯(lián)立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,
∴由題意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②
且有y1+y2=,y1y2=,③
③代入①得t2m2-3+2m2t2=0,∴(mt)2=1,
由題意mt<0,∴mt=-1,滿(mǎn)足②,
得l方程為x=ty+1,過(guò)定點(diǎn)(1,0),即Q為定點(diǎn).
2.最值問(wèn)題
解決圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題,一般有兩種方法:一是幾何法,特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解非常巧妙;二是代數(shù)法,將圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題(即根據(jù)條件列出所求的目標(biāo)函數(shù)),然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角有界法、函數(shù)單調(diào)法及基本不等式法等,求解最大或最小值.
例3 已知F是雙曲線(xiàn)-=1的左焦點(diǎn),A(1,4),P是雙曲線(xiàn)右支上的動(dòng)點(diǎn),則|PF|+|PA|的最小值為_(kāi)_______.
解析 設(shè)右焦點(diǎn)為F′,由題意可知F′坐標(biāo)為(4,0),根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義,|PF|-|PF′|=4,∴|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|,∴要使|PF|+|PA|最小,只需|PF′|+|PA|最小即可,|PF′|+|PA|最小需P,F(xiàn)′,A三點(diǎn)共線(xiàn),最小值即4+|F′A|=4+=4+5=9.
答案 9
點(diǎn)評(píng) “化曲為直”求與距離有關(guān)的最值是平面幾何中一種巧妙的方法,特別是涉及圓錐曲線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)和焦點(diǎn)距離之和的最值問(wèn)題常用此法.
例4 已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.過(guò)點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)l1,l2,設(shè)l1與軌跡C相交于點(diǎn)A,B,l2與軌跡C相交于點(diǎn)D,E,求的最小值.
解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
由題意有-|x|=1.
化簡(jiǎn)得y2=2x+2|x|.
當(dāng)x≥0時(shí),y2=4x;當(dāng)x<0時(shí),y=0.
所以,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x(x≥0)和y=0 (x<0).
如圖,由題意知,直線(xiàn)l1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,則l1的方程為y=k(x-1).
由
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,
于是x1+x2=2+,x1x2=1,Δ=(2k2+4)2-4k4>0.
因?yàn)閘1⊥l2,所以l2的斜率為-.
設(shè)D(x3,y3),E(x4,y4),
則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.
故=(+)(+)
=+++
=||||+||||
=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)
=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
=1++1+1+(2+4k2)+1
=8+4≥8+42=16.
當(dāng)且僅當(dāng)k2=,
即k=1時(shí),取得最小值16.
7 圓錐曲線(xiàn)中存在探索型問(wèn)題
存在探索型問(wèn)題作為探索性問(wèn)題之一,具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富等命題要求,方便考查分析、比較、猜測(cè)、歸納等綜合能力,因而受到命題人的喜愛(ài).圓錐曲線(xiàn)存在探索型問(wèn)題是指在給定題設(shè)條件下是否存在某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(數(shù)值、性質(zhì)、圖形)使某個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的數(shù)學(xué)問(wèn)題.本節(jié)僅就圓錐曲線(xiàn)中的存在探索型問(wèn)題展開(kāi),幫助復(fù)習(xí).
1.常數(shù)存在型問(wèn)題
例1 直線(xiàn)y=ax+1與雙曲線(xiàn)3x2-y2=1相交于A,B兩點(diǎn),是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使A,B關(guān)于直線(xiàn)y=2x對(duì)稱(chēng)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析 先假設(shè)實(shí)數(shù)a存在,然后根據(jù)推理或計(jì)算求出滿(mǎn)足題意的結(jié)果,或得到與假設(shè)相矛盾的結(jié)果,從而否定假設(shè),得出某數(shù)學(xué)對(duì)象不存在的結(jié)論.
解 設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使A,B關(guān)于直線(xiàn)l:y=2x對(duì)稱(chēng),并設(shè)
A(x1,y1),B(x2,y2),則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為.
依題設(shè)有=2,即y1+y2=2(x1+x2),①
又A,B在直線(xiàn)y=ax+1上,∴y1=ax1+1,y2=ax2+1,
∴y1+y2=a(x1+x2)+2,②
由①②,得2(x1+x2)=a(x1+x2)+2,
即(2-a)(x1+x2)=2,③
聯(lián)立得(3-a2)x2-2ax-2=0,
∴x1+x2=,④
把④代入③,得(2-a)=2,
解得a=,經(jīng)檢驗(yàn)知滿(mǎn)足Δ=4a2+8(3-a2)>0,
∴kAB=,而kl=2,
∴kABkl=2=3≠-1.
故不存在滿(mǎn)足題意的實(shí)數(shù)a.
2.點(diǎn)存在型問(wèn)題
例2 在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓心在第二象限,半徑為2的圓與直線(xiàn)y=x相切于原點(diǎn)O,橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線(xiàn)段OF的長(zhǎng).若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析 假設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q存在,根據(jù)其滿(mǎn)足的幾何性質(zhì),求出Q的坐標(biāo),則點(diǎn)Q存在,若求不出Q的坐標(biāo),則點(diǎn)Q就不存在.
解 (1)由題意知圓心在y=-x上,
設(shè)圓心的坐標(biāo)是(-p,p)(p>0),
則圓的方程可設(shè)為(x+p)2+(y-p)2=8,
由于O(0,0)在圓上,∴p2+p2=8,解得p=2,
∴圓C的方程為(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)橢圓+=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10,由橢圓的定義知2a=10,a=5,
∴橢圓右焦點(diǎn)為F(4,0).
假設(shè)存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(m,n)使|QF|=|OF|,
則有且m2+n2≠0,
解得故圓C上存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q.
3.直線(xiàn)存在型問(wèn)題
例3 試問(wèn)是否能找到一條斜率為k(k≠0)的直線(xiàn)l與橢圓+y2=1交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,且使M,N到點(diǎn)A(0,1)的距離相等,若存在,試求出k的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析 假設(shè)滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l存在,由平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)求解.
解 設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+m為滿(mǎn)足條件的直線(xiàn),再設(shè)P為MN的中點(diǎn),欲滿(mǎn)足條件,只需AP⊥MN即可.
由得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則xP==-,
yP=kxP+m=,
∴kAP=.
∵AP⊥MN,
∴=-(k≠0),故m=-.
由Δ=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3)
=9(1+3k2)(1-k2)>0,得-1|F1F2|,亦即2a>2c.而本題中|MF1|+|MF2|=|F1F2|,所以點(diǎn)M的軌跡不是橢圓,而是線(xiàn)段F1F2.
正解 因?yàn)辄c(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之和為|F1F2|,所以點(diǎn)M的軌跡是線(xiàn)段F1F2.
答案 D
3.忽視標(biāo)準(zhǔn)方程的特征而致誤
例3 設(shè)拋物線(xiàn)y=mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線(xiàn)與直線(xiàn)y=1的距離為3,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.
錯(cuò)解 拋物線(xiàn)y=mx2 (m≠0)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-.
又與直線(xiàn)y=1的距離為3的直線(xiàn)為y=-2或y=4.
故-=-2或-=4.∴m=8或m=-16.
所以?huà)佄锞€(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=8x2或y=-16x2.
錯(cuò)因分析 錯(cuò)解忽視了拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程中的系數(shù),應(yīng)位于一次項(xiàng)前這個(gè)特征,故本題應(yīng)先化為x2=y(tǒng)的形式,再求解.
正解 由于y=mx2 (m≠0)可化為x2=y(tǒng),
其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-.由題意知-=-2或-=4,解得m=或m=-.
則所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y或x2=-16y.
4.涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí),忽視判別式Δ>0這一隱含條件而致誤
例4 正方形ABCD的A,B兩點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=x2上,另兩點(diǎn)C,D在直線(xiàn)y=x-4上,求正方形的邊長(zhǎng).
錯(cuò)解 ∵AB與直線(xiàn)y=x-4平行,∴設(shè)AB的直線(xiàn)方程為y=x+b,A(x1,x),B(x2,x),
則由消去y,得x2-x-b=0,
|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(1+4b).
∵AB與直線(xiàn)y=x-4間的距離為d=,
∴2(1+4b)=,即b2-8b+12=0,
解得b=2或b=6,∴|AB|=3或|AB|=5.
錯(cuò)因分析 在考慮直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)相交時(shí),必須有方程x2-x-b=0的判別式Δ>0,以此來(lái)限制b的取舍.
正解 ∵AB與直線(xiàn)y=x-4平行,∴設(shè)AB的直線(xiàn)方程為y=x+b,A(x1,x),B(x2,x),
則由消去y,得x2-x-b=0,
|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=2(1+4b).
∵AB與直線(xiàn)y=x-4間的距離為d=,
∴2(1+4b)=,即b2-8b+12=0,
解得b=2或b=6,∵Δ=1+4b>0,∴b>-.
∴b=2或b=6都滿(mǎn)足Δ>0,∴b=2或b=6.
∴|AB|=3或|AB|=5.
5.求解拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),忽略對(duì)焦點(diǎn)位置討論致誤
例5 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上,點(diǎn)A(m,-3)在拋物線(xiàn)上,且|AF|=5,求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.
錯(cuò)解一 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上,且點(diǎn)A(m,-3)在拋物線(xiàn)上,
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程可設(shè)為y2=2px(p>0).
設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,則d=|AF|=+m,
所以
解得或
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=2x或y2=18x.
錯(cuò)解二 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上,且點(diǎn)A(m,-3)在拋物線(xiàn)上,
所以當(dāng)m>0時(shí),點(diǎn)A在第四象限,拋物線(xiàn)方程可設(shè)為
y2=2px(p>0).
設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,則d=|AF|=+m,
所以解得或
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=2x或y2=18x.
當(dāng)m<0時(shí),點(diǎn)A在第三象限,
拋物線(xiàn)方程可設(shè)為y2=-2px(p>0),
設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,則d=|AF|=+m,
所以
解得或(舍去).
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=-2(5+)x.
綜上所述,拋物線(xiàn)方程為y2=-2(5+)x或y2=2x或y2=18x.
正解 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)F在x軸上,且點(diǎn)A(m,-3)在拋物線(xiàn)上,
所以當(dāng)m>0時(shí),點(diǎn)A在第四象限,拋物線(xiàn)方程可設(shè)為y2=2px(p>0),設(shè)點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,
則d=|AF|=+m,所以
解得或
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=2x或y2=18x.
當(dāng)m<0時(shí),點(diǎn)A在第三象限,拋物線(xiàn)的方程可設(shè)為y2=-2px(p>0),
設(shè)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d,則d=|AF|=-m,
所以解得或
所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為y2=-2x或y2=-18x.
綜上所述,拋物線(xiàn)方程為y2=-2x或y2=-18x或y2=2x或y2=18x.
9 圓錐曲線(xiàn)中的數(shù)學(xué)思想方法
1.方程思想
方程思想就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系,建立方程或方程組,或者構(gòu)造方程,通過(guò)解方程或解方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得解決.本章中,方程思想的應(yīng)用最為廣泛.
例1 已知直線(xiàn)y=-x+2和橢圓+=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),且a=2b,若|AB|=2,求橢圓的方程.
解 由消去y并整理得x2-4x+8-2b2=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=4,x1x2=8-2b2,Δ=16-4(8-2b2)>0.
∵|AB|=2,∴=2,
即=2,
解得b2=4,故a2=4b2=16.∴所求橢圓的方程為+=1.
2.函數(shù)思想
很多與圓錐曲線(xiàn)有關(guān)的問(wèn)題中的各個(gè)數(shù)量在運(yùn)動(dòng)變化時(shí),都是相互聯(lián)系、相互制約的,它們之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.這類(lèi)問(wèn)題若用函數(shù)思想來(lái)分析、尋找解題思路,會(huì)有很好的效果.一些最值問(wèn)題常用函數(shù)思想,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦的中點(diǎn)和弦長(zhǎng)問(wèn)題,是經(jīng)常使用的方法.
例2 若點(diǎn)(x,y)在+=1(b>0)上運(yùn)動(dòng),求x2+2y的最大值.
解 ∵+=1(b>0),∴x2=4≥0,
即-b≤y≤b,∴x2+2y=4+2y
=-+2y+4=-2+4+.
當(dāng)≤b,即0b,即b>4時(shí),若y=b,則x2+2y取得最大值,其最大值為2b.
綜上所述,x2+2y的最大值為
3.轉(zhuǎn)化和化歸思想
在解決圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題時(shí),經(jīng)常利用轉(zhuǎn)化和化歸思想.轉(zhuǎn)化題中的已知條件和所求,真正化歸為直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的基本問(wèn)題.這里的轉(zhuǎn)化和化歸非常關(guān)鍵,沒(méi)有轉(zhuǎn)化和化歸,就很難找到解決問(wèn)題的途徑和方法.
例3 如圖所示,已知橢圓+=1,直線(xiàn)l:x=12,P是l上任意一點(diǎn),射線(xiàn)OP交橢圓于點(diǎn)R,又點(diǎn)Q在線(xiàn)段OP上,且滿(mǎn)足|OQ||OP|=|OR|2,當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)Q的軌跡方程.
解 設(shè)P(12,yP),R(xR,yR),Q(x,y),∠POx=α.
∵|OR|2=|OQ||OP|,∴2=.
由題意知xR>0,x>0,∴x=x12.①
又∵O,Q,R三點(diǎn)共線(xiàn),∴kOQ=kOR,即=.②
由①②得y=.③
∵點(diǎn)R(xR,yR)在橢圓+=1上,∴+=1.④
由①③④得2(x-1)2+3y2=2(x>0),
∴點(diǎn)Q的軌跡方程是2(x-1)2+3y2=2(x>0).
4.分類(lèi)討論思想
本章中,涉及的字母參數(shù)較多,同時(shí)圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,所以必須要注意分類(lèi)討論.
例4 求與雙曲線(xiàn)-y2=1有共同的漸近線(xiàn)且焦距為10的雙曲線(xiàn)的方程.
分析 由題意可設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為-y2=λ(λ≠0),將λ分為λ>0,λ<0兩種情況進(jìn)行討論.
解 由題意可設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為-y2=λ(λ≠0),
即-=1(λ≠0).
當(dāng)λ>0時(shí),c2=4λ+λ=5λ=25,即λ=5,
∴所求雙曲線(xiàn)的方程為-=1.
當(dāng)λ<0時(shí),c2=(-4λ)+(-λ)=-5λ=25,即λ=-5,
∴所求雙曲線(xiàn)的方程為-=1.
綜上所述,所求雙曲線(xiàn)的方程為-=1或-=1.
5.?dāng)?shù)形結(jié)合思想
利用數(shù)形結(jié)合思想,可以解決某些最值、軌跡、參數(shù)范圍等問(wèn)題.
例5 在△ABC中,BC邊固定,頂點(diǎn)A在移動(dòng),設(shè)|BC|=m,當(dāng)三個(gè)角滿(mǎn)足條件|sinC-sinB|=|sinA|時(shí),求頂點(diǎn)A的軌跡方程.
解 以BC所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)為y軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.
則B,C.
設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x,y),由題設(shè),
得|sinC-sinB|=|sinA|.
根據(jù)正弦定理,得||AB|-|AC||=<m.
可知點(diǎn)A在以B,C為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)上.
2a=,∴a=.
又c=,∴b2=c2-a2=-=m2.
故所求點(diǎn)A的軌跡方程為-=1(y≠0).
鏈接地址:http://www.hcyjhs8.com/p-6420750.html