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課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十） 小題考法——不等式 A組——10＋7提速練 一、選擇題 1．在R上定義運(yùn)算：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x－b)＞0的解集是(2,3)，則a＋b＝(　　) A．1　　　　　　　　　 　B．2 C．4 D．8 解析：選C　由題知(x－a)?(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]＞0，即(x－a)[x－(b＋1)]＜0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4. 2．已知正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是2，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C　由正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是2，可得ab＝4，又m＝b＋，n＝a＋，所以m＋n＝a＋b＋＋＝a＋b＋＝(a＋b)≥2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)等號(hào)成立，故m＋n的最小值為5. 3．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y的最大值為(　　) A．5 B．6 C. D．7 解析：選C　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖易知，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過直線x－y＝－1與x＋y＝4的交點(diǎn)，即時(shí)，z取得最大值，zmax＝＋2＝，故選C. 4．(2017全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝x－y的取值范圍是(　　) A．[－3,0] B．[－3,2] C．[0,2] D．[0,3] 解析：選B　作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值2，當(dāng)直線z＝x－y過點(diǎn)B(0,3)時(shí)，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]． 5．(2017全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　) A．－15 B．－9 C．1 D．9 解析：選A　作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示． 易求得可行域的頂點(diǎn)A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當(dāng)直線z＝2x＋y過點(diǎn)B(－6，－3)時(shí)，z取得最小值，zmin＝2(－6)－3＝－15. 6．設(shè)不等式組所表示的區(qū)域面積為S.若S≤1，則m的取值范圍為(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0] C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：選A　如圖，當(dāng)x＋y＝1與y＝mx交點(diǎn)為(－1,2)時(shí)，不等式組所表示的區(qū)域面積為1，此時(shí)m＝－2，若S≤1，則m≤－2，故選A. 7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足若z＝x＋2y的最小值為－4，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選B　作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示， 當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取得最小值－4，所以－a＋2＝－4，解得a＝2，故選B. 8．(2019屆高三浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)在x＝1處取得極小值，則＋的最小值為(　　) A．4 B．5 C．9 D．10 解析：選C　由f(x)＝ax3＋bx2－x(a>0，b>0)，得f′(x)＝ax2＋bx－1，則f′(1)＝a＋b－1＝0，∴a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立，故選C. 9．(2017衢州二中交流卷)若實(shí)數(shù)x，y滿足|[x]|＋|y|≤1([x]表示不超過x的最大整數(shù))，則的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因?yàn)閨[x]|≤1－|y|≤1，所以－1≤[x]≤1，再根據(jù)[x]的具體值進(jìn)行分類： ①當(dāng)[x]＝－1，即－1≤x<0時(shí)，y＝0； ②當(dāng)[x]＝0，即0≤x<1時(shí)，|y|≤1，即－1≤y≤1； ③當(dāng)[x]＝1，即1≤x<2時(shí)，y＝0. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域，如圖所示． ＝1＋，其幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(－2，－2)所確定的直線的斜率加1.而由圖可知，點(diǎn)(－1，0)與點(diǎn)(－2，－2)所確定的直線的斜率最大，最大值為＝2；點(diǎn)(1，－1)與點(diǎn)(－2，－2)所確定的直線的斜率最小，最小值為＝，又由圖知取不到最小值，所以∈，故選A. 10．(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)＝設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，則a的取值范圍是(　　) A. B. C．[－2，2] D. 解析：選A　法一：根據(jù)題意，作出f(x)的大致圖象，如圖所示． 當(dāng)x≤1時(shí)，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故對(duì)于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4(3＋a)≤0，解得a≥－；當(dāng)x>1時(shí)，若要f(x)≥恒成立，結(jié)合圖象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2時(shí)等號(hào)成立，所以a≤2.綜上，a的取值范圍是. 法二：關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等價(jià)于－f(x)≤a＋≤f(x)， 即－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立， 令g(x)＝－f(x)－. 當(dāng)x≤1時(shí)，g(x)＝－(x2－x＋3)－＝－x2＋－3 ＝－2－， 當(dāng)x＝時(shí)，g(x)max＝－； 當(dāng)x>1時(shí)，g(x)＝－－＝－≤－2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，且x>1，即x＝時(shí)，“＝”成立， 故g(x)max＝－2. 綜上，g(x)max＝－. 令h(x)＝f(x)－， 當(dāng)x≤1時(shí)，h(x)＝x2－x＋3－＝x2－＋3 ＝2＋， 當(dāng)x＝時(shí)，h(x)min＝； 當(dāng)x>1時(shí)，h(x)＝x＋－＝＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，且x>1，即x＝2時(shí)，“＝”成立， 故h(x)min＝2.綜上，h(x)min＝2. 故a的取值范圍為. 二、填空題 11．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足＋＝1，且不等式x＋x＋≥≥4，故m2－3m>4，化簡(jiǎn)得(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞) 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是________________． 解析：由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當(dāng)x<0時(shí)，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)． 答案：(－3,1)∪(3，＋∞) 13．(2018紹興一中調(diào)研)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則由不等式組確定的可行域的面積為________，z＝2x－y的最大值為________． 解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，所以可行域的面積為1，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z＝2x－y的斜率為2，所以過點(diǎn)A(3,0)時(shí)取到最大值6. 答案：1　6 14．(2018杭州二中調(diào)研)已知x>3y>0或x<3y<0，則(x－2y)2＋的最小值是________． 解析：(x－2y)2＋≥(x－2y)2＋＝(x－2y)2＋≥8，當(dāng)4y＝x，x－2y＝2時(shí)取等號(hào)． 答案：8 15．如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件且z＝的最小值為，則正數(shù)a的值為________． 解析：根據(jù)約束條件畫出可行域如圖中陰影部分所示，經(jīng)分析可知當(dāng)x＝1，y＝1時(shí)，z取最小值，即＝，所以a＝1. 答案：1 16．(2018紹興質(zhì)量調(diào)測(cè))已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy＋2x＋3y＝42，則xy＋5x＋4y的最小值為________． 解析：由題知，xy＋5x＋4y＝(xy＋2x＋3y)＋3x＋y＝42＋3x＋y， 而(x＋3)(y＋2)＝48，因此144＝(3x＋9)(y＋2)≤2，因此3x＋y≥13，當(dāng)且僅當(dāng)3x＋9＝y(tǒng)＋2，即時(shí)取等號(hào)．故xy＋5x＋4y＝42＋3x＋y≥55，則xy＋5x＋4y的最小值為55. 答案：55 17．若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________． 解析：不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)(a≠0)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤min.因?yàn)椤荩剑?，當(dāng)且僅當(dāng)(2a＋b)(2a－b)≥0，即2|a|≥|b|時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4，所以|2＋x|＋|2－x|≤4，解得－2≤x≤2.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為[－2，2]． 答案：[－2,2] B組——能力小題保分練 1．已知x，y滿足則z＝8－xy的最小值為(　　) A．1 B. C. D. 解析：選D　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z＝8－xy＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，－3x－y的值最小，且－31－2＝－5，此時(shí)2－3x－y最小，最小值為.故選D. 2．設(shè)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為6，則＋的最小值為(　　) A．1 B．3 C．2 D．4 解析：選B　依題意畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示． ∵a>0，b>0， ∴當(dāng)直線z＝ax＋by經(jīng)過點(diǎn)(2,4)時(shí)，z取得最大值6， ∴2a＋4b＝6，即a＋2b＝3. ∴＋＝(a＋2b)＝＋＋≥3，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立，∴＋的最小值為3.故選B. 3．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*)，若m>＋＋…＋對(duì)于任意的正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€x＝0，y＝0，y＝－nx＋3n圍成的直角三角形(不含直角邊)，區(qū)域內(nèi)橫坐標(biāo)為1的整點(diǎn)有2n個(gè)，橫坐標(biāo)為2的整點(diǎn)有n個(gè)，所以an＝3n，所以＝＝，所以＋＋…＋＝＝，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，趨近于，所以m≥.故選A. 4．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．若?x∈R，不等式f(x)≥f′(x)恒成立，則的最大值為(　　) A.＋2 B.－2 C．2＋2 D．2－2 解析：選B　由題意得f′(x)＝2ax＋b，由f(x)≥f′(x)在R上恒成立，得ax2＋(b－2a)x＋c－b≥0在R上恒成立，則a>0且Δ≤0，可得b2≤4ac－4a2，則≤＝，又4ac－4a2≥0，∴4－4≥0，∴－1≥0，令t＝－1，則t≥0.當(dāng)t>0時(shí)，≤＝≤＝－2，當(dāng)t＝0時(shí)，＝0<－2，故的最大值為－2，故選B. 5．(2019屆高三浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)過P(－1,1)的光線經(jīng)x軸上點(diǎn)A反射后，經(jīng)過不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)(記為B)，則|PA|＋|AB|的取值范圍是________． 解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1(－1，－1)，|PA|＋|AB|＝|P1B|，過點(diǎn)P1作直線x＋y－2＝0的垂線，則|PA|＋|AB|＝|P1B|的最小值為＝2.由得B0(2,3)，則|PA|＋|AB|＝|P1B|的最大值為|P1B0|＝＝5. 故2≤|PA|＋|AB|≤5. 答案：[2，5] 6．(2018浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期中)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組且目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋y的最大值為15，則實(shí)數(shù)m＝________；設(shè)min{a，b}＝則z＝min{x＋y＋2,2x＋y}的取值范圍是________． 解析：因?yàn)橹本€x＋y－3＝0與x－3y＋5＝0交于點(diǎn)A(1，2)，而直線x＋my－1＝0過點(diǎn)(1,0)，則當(dāng)m>0時(shí)，不等式組不能構(gòu)成可行域．當(dāng)m＝0時(shí)，可行域?yàn)辄c(diǎn)A(1,2)，不符合題意．當(dāng)－>，即－3

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