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專題2.7 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
一、填空題
1.函數(shù)f(x)=的定義域為________.
【答案】∪(2,+∞)
【解析】由題意知解得x>2或0
0,且a≠1)的反函數(shù),且f(2)=1,則f(x)=________.
【答案】log2x
3. lg+2lg 2--1=________.
【答案】-1
【解析】lg+2lg 2--1=lg 5-lg 2+2lg 2-2
=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.
4.已知函數(shù)f(x)=則f(f(-4))+f=________.
【答案】8
【解析】f(f(-4))=f (24)=log416=2,
因為log2<0,
所以f=2-log2=2log26=6,
即f(f(-4))+f=2+6=8.
5.若函數(shù)f(x)=(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】(1,2]
【解析】當(dāng)x≤2時,y=-x+6≥4.
因為f(x)的值域為[4,+∞),
所以當(dāng)a>1時,3+logax>3+loga2≥4,所以loga2≥1,
所以1<a≤2;當(dāng)0<a<1時,3+logax<3+loga2,不合題意.故a∈(1,2].
6.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=1-log2x,則不等式f(x)<0的解集是________.
【答案】(-2,0)∪(2,+∞)
7.設(shè)f(x)=log是奇函數(shù),則使f(x)<0的x的取值范圍是________.
【答案】(-1,0)
【解析】由f(x)是奇函數(shù)可得a=-1,
∴f(x)=lg,定義域為(-1,1).
由f(x)<0,可得0<<1,∴-10,且a≠1)的值域是 [4,+∞),則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】 (1,2]
【解析】當(dāng)x≤2時,f(x)≥4;又函數(shù)f(x)的值域為[4,+∞),所以解1<a≤2,所以實數(shù)a的取值范圍為(1,2].
二、解答題
9.設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定義域;
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值.
解 (1)∵f(1)=2,
∴l(xiāng)oga4=2(a>0,a≠1),
∴a=2.∴f(x)=log2(1+x)+log2(3-x).
10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(0)=0,當(dāng)x>0時,f(x)=logx.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x2-1)>-2.
解 (1)當(dāng)x<0時,-x>0,則f(-x)=(-x).
因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=f(x)=(-x),
所以函數(shù)f(x)的解析式為
(2)因為f(4)=4=-2,f(x)是偶函數(shù),
所以不等式f(x2-1)>-2轉(zhuǎn)化為f(|x2-1|)>f(4).
又因為函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
所以|x2-1|<4,解得-,
又∵f(x)=ln x在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴f>f(),即q>p.
又r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln=p,
故p=rb>1,若logab+logba=,ab=ba,則a=________,b=________.
【答案】4 2
14.設(shè)x∈[2,8]時,函數(shù)f(x)=loga(ax)loga(a2x)(a>0,且a≠1)的最大值是1,最小值是-,求a的值.
解 由題意知f(x)=(logax+1)(logax+2)
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