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第07節(jié) 解三角形及其應用舉例 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理及其應用 2014浙江文18；理10，18； 2015浙江文16；理16； 2016浙江文16；理16； 2017浙江14； 2018浙江卷13.. 1.測量距離問題； 2.測量高度問題； 3.測量角度問題. 4.主要是利用定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的問題，關鍵是弄懂有關術語，認真理解題意. 從浙江卷來看，三角形中的應用問題，主要是結合直角三角形，考查邊角的計算，也有與導數結合考查的情況. 5.備考重點： （1）掌握正弦定理、余弦定理； （2）掌握幾種常見題型的解法. （3）理解三角形中的有關術語. 【知識清單】 1. 測量距離問題 實際問題中的有關概念 (1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1)． (2)方位角：從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖2)． (3)方向角：相對于某一正方向的水平角(如圖3) ①北偏東α即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向． ②北偏西α即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向． ③南偏西等其他方向角類似． 　　　 (4)坡度： ①定義：坡面與水平面所成的二面角的度數(如圖4，角θ為坡角)． ②坡比：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖4，i為坡比)． 2. 測量高度問題 余弦定理： ， ， . 變形公式cos A＝，cos B＝，os C＝ 3. 測量角度問題 應熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷就用哪一個定理． 【重點難點突破】 考點1 測量距離問題 【1-1】【2018屆廣東省珠海市珠海二中、斗門一中高三上期中聯(lián)考】如圖，從氣球上測得正前方的河流的兩岸， 的俯角分別為， ，此時氣球的高是，則河流的寬度等于 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因為從氣球上測得正前方的河流的兩岸， 的俯角分別為， ，， ， ，故選C. 【1-2】如圖所示，要測量一水塘兩側A，B兩點間的距離，其方法先選定適當的位置C，用經緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離．即AB＝.若測得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60，試計算AB的長． 【答案】 【1-3】如圖，A，B兩點在河的同側，且A，B兩點均不可到達，測出AB的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D，測得CD＝a，同時在C，D兩點分別測得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分別計算出AC和BC，再在△ABC中，應用余弦定理計算出AB.若測得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30，∠ACD＝60，∠ACB＝45，求A，B兩點間的距離． 【答案】 【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60，∠ACD＝60，∴∠DAC＝60，∴AC＝DC＝. 在△BCD中，∠DBC＝45，由正弦定理，得BC＝sin∠BDC＝sin 30＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 45＝＋－2＝. ∴AB＝(km)．∴A，B兩點間的距離為 km. 【領悟技法】 研究測量距離問題，解決此問題的方法是：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解.歸納起來常見的命題角度有： (1)兩點都不可到達； (2)兩點不相通的距離； (3)兩點間可視但有一點不可到達. 【觸類旁通】 【變式一】【2018屆江西省南昌市第一輪訓練六】一艘海警船從港口出發(fā)，以每小時海里的速度沿南偏東方向直線航行， 分鐘后到達處，這時候接到從處發(fā)出的一求救信號，已知在的北偏東，港口的東偏南處，那么， 兩點的距離是(　　) A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 【答案】A 【解析】如圖 由已知可得，∠BAC=30，∠ABC=105，AB=20，從而∠ACB=45． 在△ABC中，由正弦定理可得BC= sin30=10． 故答案為：A. 【變式二】如圖所示，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算A、B兩點的距離為 (　　) A．50m　　 　B．50m C．25m D.m 【答案】　A 【解析】由題意知∠ABC＝30，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)． 考點2 測量高度問題 【2-1】【2018屆山東、湖北部分重點中學高考沖刺（二）】我國古代著名的數學家劉徽著有《海島算經》.內有一篇：“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直.從前表卻行百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高及去表各幾何?”請你計算出海島高度為__________步. （參考譯文：假設測量海島,立兩根標桿，高均為5步,前后相距1000步,令前后兩根標桿和島在同一直線上,從前標桿退行123 步, 人的視線從地面(人的高度忽略不計)過標桿頂恰好觀測到島峰,從后標桿退行127步, 人的視線從地面過標桿頂恰好觀測到島峰,問島高多少？ 島與前標桿相距多遠?）（丈、步為古時計量單位，當時是“三丈=5步”） 【答案】1255步 【2-2】如圖，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD(CD所在的直線與地平面垂直)對于山坡的斜度為α，從A處向山頂前進l米到達B后，又測得CD對于山坡的斜度為β，山坡對于地平面的坡角為θ. (1)求BC的長； (2)若l＝24，α＝15，β＝45，θ＝30，求建筑物CD的高度． 【答案】（1）；（2）. 【解析】　(1)在中，，根據正弦定理得， 所以. (2)由(1)知米． 在中，，， 根據正弦定理得， 所以米． 【領悟技法】 已知三邊，由余弦定理求，再由求角，在有解時只有一解. 已知兩邊和夾角，余弦定理求出對對邊. 【觸類旁通】 【變式一】如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求出山高CD. 【答案】 【變式二】如圖所示，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個測點與，現測得，并在點測得塔頂的仰角為，求塔高. 【答案】 【解析】在中，，由正弦定理得，所以. 在中，. 考點3 測量角度問題 【3-1】【2017廣東佛山二模】某沿海四個城市、、、的位置如圖所示，其中， ， ， ， ， 位于的北偏東方向.現在有一艘輪船從出發(fā)以的速度向直線航行， 后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市直線航行，收到指令時城市對于輪船的方位角是南偏西度，則__________． 【答案】 【解析】設船行駛至，則，連接，過作于，則， , , ，所以，所以，又， ，可得，所以，故. 【3-2】如圖，扇形AOB是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中圓心角∠AOB為，半徑OA為1 km.為了便于游客觀光休閑，擬在觀光區(qū)內鋪設一條從入口A到出口B的觀光道路，道路由弧AC、線段CD及線段DB組成，其中D在線段OB上，且CD∥AO.設∠AOC＝θ. (1)用θ表示CD的長度，并寫出θ的取值范圍； (2)當θ為何值時，觀光道路最長？ (2)設觀光道路長度為L(θ)， 則L(θ)＝BD＋CD＋弧CA的長 ＝1－sin θ＋cos θ＋sin θ＋θ ＝cos θ－sin θ＋θ＋1，θ∈， L′(θ)＝－sin θ－cos θ＋1， 由L′(θ)＝0，得sin＝， 又θ∈，所以θ＝， 列表： θ L′(θ) ＋ 0 － L(θ) 增函數 極大值 減函數 所以當θ＝時，L(θ)達到最大值，即當θ＝時，觀光道路最長． 【3-3】在海岸A處，發(fā)現北偏東45方向，距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向，距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船．同時，走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少時間？ 【答案】緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時． 【解析】如圖，設緝私船t小時后在D處追上走私船， 則有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120. 利用余弦定理可得BC＝. 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝，得∠ABC＝45，即BC與正北方向垂直． 于是∠CBD＝120. 在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝＝＝， 得∠BCD＝30，∴∠BDC＝30.又＝， ＝，得t＝. 所以緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時． 【領悟技法】 依據已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法： (1)利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀； (2)利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論． [注意]　在上述兩種方法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解． 判斷三角形的形狀的基本思想是：利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一．即將條件化為只含角的三角函數關系式，然后利用三角恒等變換得出內角之間的關系式；或將條件化為只含有邊的關系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關系．結論一般為特殊的三角形．如等邊三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在變形過程中要注意A，B，C的范圍對三角函數值的影響． 提醒：1．在△ABC中有如下結論sin A＞sin B?a＞b. 2．當b2＋c2－a2＞0時，角A為銳角，若可判定其他兩角也為銳角，則三角形為銳角三角形； 當b2＋c2－a2＝0時，角A為直角，三角形為直角三角形； 當b2＋c2－a2＜0時，角A為鈍角，三角形為鈍角三角形． 【觸類旁通】 【變式一】如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東θ角的方向沿直線前往B處救援，則sin θ的值為(　　) A.　　 B．　　C.　　 D． 【答案】D 【變式二】在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，若偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值． 【答案】 【解析】如圖，設紅方偵察艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120. 根據余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120， 解得x＝2. 故AC＝28，BC＝20. 根據正弦定理得＝， 解得sin α＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：如圖，甲船以每小時30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處，此時兩船相距20海里，當甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處，此時兩船相距10海里．問：乙船每小時航行多少海里？ 易錯分析：不能分清已知條件和未知條件，從而不能將問題集中到一個三角形中．再利用正、余弦定理求解．解決此類問題時，要能理解題目給定的含義，轉化到三角形中，利用正、余弦定理進行求解. 正確解析： 如圖，連接A1B2由已知A2B2＝10，A1A2＝30＝10，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180－120＝60，∴△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝10.由已知，A1B1＝20， ∠B1A1B2＝105－60＝45， 在△A1B2B1中，由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1A1B2cos 45＝202＋(10)2－22010＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度為60＝30(海里/時)． 溫馨提醒：利用解三角形知識解決實際問題要注意根據條件畫出示意圖，結合示意圖構造三角形，然后轉化為解三角形的問題進行求解． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數形結合百般好，隔裂分家萬事休——數形結合思想 我國著名數學家華羅庚曾說過:"數形結合百般好，隔裂分家萬事休.""數"與"形"反映了事物兩個方面的屬性.我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系.數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過"以形助數"或"以數解形"即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 【典例】【2018屆河北省衡水中學高三第十六次模擬】如圖，一山頂有一信號塔（所在的直線與地平面垂直），在山腳處測得塔尖的仰角為，沿傾斜角為的山坡向上前進米后到達處，測得的仰角為. （1）求的長； （2）若， ， ， ，求信號塔的高度. 【答案】(1) ；(2) . （2）由（1）及條件知， ， ， ， . 由正弦定理得