矩陣?yán)碚撗芯可n程大作業(yè).doc
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研究生“矩陣論”課程課外作業(yè) 姓名: 學(xué)號(hào): 學(xué)院: 專(zhuān)業(yè): 類(lèi)別: 組數(shù): 成績(jī): 人口遷移問(wèn)題和航班問(wèn)題 (重慶大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室) 摘要:隨著人類(lèi)文明的進(jìn)程,一些關(guān)于數(shù)學(xué)類(lèi)的問(wèn)題越來(lái)越貼近我們的生活,越發(fā)覺(jué)得數(shù)學(xué)與我們息息相關(guān)。本文將利用矩陣?yán)碚摰闹R(shí)對(duì)人口遷移問(wèn)題和航班問(wèn)題進(jìn)行分析。 人口遷移問(wèn)題 假設(shè)有兩個(gè)地區(qū)——如南方和北方,之間發(fā)生人口遷移。每一年北方50%的人口遷移到南方,同時(shí)有25%的南方人口遷移到北方,直觀上可由下圖表示: N S 0.5 0.25 0.5 0.75 問(wèn)題:如果這個(gè)移民過(guò)程持續(xù)下去,北方的人會(huì)不會(huì)全部都到南方?如果會(huì)請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不會(huì),那么北方的最終人口分布會(huì)怎樣? 解 設(shè)年后北方和南方的人口分別為和, 我們假設(shè)最初北方有人,南方有人。則我們可得,時(shí),一年后北方和南方的人口為 (1-1) 將上述方程組(1-1)寫(xiě)成矩陣的形式 其中 時(shí),兩年后北方和南方的人口為 依次類(lèi)推下去,年后北方和南方的人口為 (1-2) 現(xiàn)在只需求出就可得出若干年后北方和南方的人口數(shù)。 下面將使用待定系數(shù)法[1]求 所以 矩陣的最小多項(xiàng)式為 設(shè) 由此可得方程組 解方程組得 所以 所以由式(1-2),我們得到年后北方和南方的人口 北方: 南方: 當(dāng)時(shí),得 由上面計(jì)算可以得到,如果移民過(guò)程持續(xù)下去,北方的人不會(huì)全部都到南方。最終北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的兩倍。 結(jié)論 本文論述的南北方人口遷移問(wèn)題是一個(gè)比較理想化的問(wèn)題,但還是有一些實(shí)際的參考價(jià)值,通過(guò)本問(wèn)題的演算過(guò)程,我們可以推論,若一個(gè)地區(qū)有人口遷出(遷出率<1),那么只要有人口遷入,則該地區(qū)始終有人口住居。 航班問(wèn)題 一家航空公司經(jīng)營(yíng)A、B、C、D和H五個(gè)城市的航線業(yè)務(wù),其中H為中心城市。各個(gè)城市間的路線見(jiàn)圖1。 圖 1 假設(shè)你想從A城市飛往B城市,因此要完成這次路線,至少需要兩個(gè)相連的航班,即AH和HB。如果沒(méi)有中轉(zhuǎn)站的話,就不得不要至少三個(gè)相連的航班。那么問(wèn)題如下: (1)從A到B,有多少條路線剛好是三個(gè)相連的航班; (2)從A到B,有多少條路線要求不多于四個(gè)相連的航班。 解 為了方便計(jì)算,設(shè)1、2、3、4、5分別代表A、B、C、D、H五個(gè)城市。令,其中表示城市到城市單連航班的路線條數(shù),若表示城市到城市的單連航班有1條,若表示城市到城市的單連航班有0條[2]。則表示城市到城市單連航班的路線條數(shù)用矩陣表示為 令,則表示城市到城市兩個(gè)相連航班的路線條數(shù) 令,則表示城市到城市三個(gè)相連航班的路線條數(shù) 令,則表示城市到城市四個(gè)相連航班的路線條數(shù) (1)由上面的計(jì)算可得,代表從A到B剛好是三個(gè)相連的航班路線條數(shù)。 所以,從A到B,有3條路線剛好是三個(gè)相連的航班。 (2)要求從A到B,不多于四個(gè)相連的航班路線條數(shù),即是要把單個(gè)相連、兩個(gè)相連、三 個(gè)相連和四個(gè)相連的全部航班路線條數(shù)加起來(lái)。 即 所以,從A到B,有11條路線不多于四個(gè)相連的航班。 參考文獻(xiàn) [1]李新,何傳江.矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用[M].重慶:重慶大學(xué)出版社,2005.8:117-120 [2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué).線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.5:30-37- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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