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目錄 1. 題目.......................................................................................... .2 2. 要求............................................................................................2 3. 設(shè)計(jì)原理....................................................................................2 3.1 數(shù)字濾波器基本概念............................................................2 3.2 數(shù)字濾波器工作原理............................................................2 3.3 巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)原理....................................................2 3.4脈沖響應(yīng)不法..........................................................................4 3.5實(shí)驗(yàn)所用MATLAB函數(shù)說明...............................................5 4.設(shè)計(jì)思路.....................................................................................6 5、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容.................................................................................6 5.1實(shí)驗(yàn)程序..................................................................................6 5.2實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析.........................................................................10 6.心得體會(huì)....................................................................................10 7.參考文獻(xiàn)....................................................................................10 一、題目：巴特沃斯數(shù)字低通濾波器 二、要求：利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，通帶截止頻率100HZ,采樣頻率1000HZ，通帶最大衰減為0.5HZ，阻帶最小衰減為10HZ，畫出幅頻、相頻相應(yīng)相應(yīng)曲線。并假設(shè)一個(gè)信號(hào)x(t)=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t),其中f1=50HZ,f2=200HZ。用此信號(hào)驗(yàn)證濾波器設(shè)計(jì)的正確性。 三、設(shè)計(jì)原理 1、 數(shù)字濾波器的基本概念 所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾波器除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序，因此，數(shù)字濾波的概念和模擬濾波相同，只是的形式和實(shí)現(xiàn)濾波方法不同。正因?yàn)閿?shù)字濾波通過數(shù)值運(yùn)算實(shí)現(xiàn)濾波，所以數(shù)字濾波處理精度高、穩(wěn)定、體積小、質(zhì)量輕、靈活、不存在阻抗匹配問題，可以實(shí)驗(yàn)?zāi)M濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。如果要處理的是模擬信號(hào)，可通過A\DC和D\AC,在信號(hào)形式上進(jìn)行匹配轉(zhuǎn)換，同樣可以使用數(shù)字濾波器對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行濾波。 2、 數(shù)字濾波器的工作原理 數(shù)字濾波器是一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)，輸入x(n)是一個(gè)時(shí)間序列，輸出y(n)也是一個(gè)時(shí)間序列。如數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(Z),其脈沖響應(yīng)為h(n),則在時(shí)間域內(nèi)存在下列關(guān)系 y(n)=x(n) h(n) 在Z域內(nèi)，輸入輸出存在下列關(guān)系 Y(Z)=H(Z)X(Z) 式中，X(Z),Y(Z)分別為輸入x(n)和輸出y(n)的Z變換。 同樣在頻率域內(nèi)，輸入和輸出存在下列關(guān)系 Y(jw)=X(jw)H(jw) 式中，H(jw)為數(shù)字濾波器的頻率特性，X(jw)和Y(jw)分別為x(n)和y(n)的頻譜。w為數(shù)字角頻率，單位rad。通常設(shè)計(jì)H(jw)在某些頻段的響應(yīng)值為1，在某些頻段的響應(yīng)為0.X(jw)和H(jw)的乘積在頻率響應(yīng)為1的那些頻段的值仍為X(jw)，即在這些頻段的振幅可以無阻礙地通過濾波器，這些頻帶為通帶。X(jw)和H(jw)的乘積在頻段響應(yīng)為0的那些頻段的值不管X(jw)大小如何均為零，即在這些頻段里的振幅不能通過濾波器，這些頻帶稱為阻帶。 一個(gè)合適的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可以根據(jù)需要輸入x(n)的頻率特性，經(jīng)數(shù)字濾波器處理后的信號(hào)y(n)保留信號(hào)x(n)中的有用頻率成分，去除無用頻率成分。 3、巴特沃斯濾波器設(shè)計(jì)原理 （1）基本性質(zhì) 巴特沃斯濾波器以巴特沃斯函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。巴特沃斯濾波器是根據(jù)幅頻特性在通頻帶內(nèi)具有最平坦特性定義的濾波器。 巴特沃思濾波器的低通模平方函數(shù)表示1 N=1,2，…… （2-6） 下面歸納了巴特沃斯濾波器的主要特征 a對(duì)所有的N，。 b對(duì)所有的N，即 c是Ω的單調(diào)下降函數(shù)。 d隨著階次N的增大而更接近于理想低通濾波器。 如下圖2所示，可以看出濾波器的幅頻特性隨著濾波器階次N的增加而變得越來越好，在截止頻率Ωc處的函數(shù)值始終為1/2的情況下，通帶內(nèi)有更多的頻帶區(qū)的值接近于1；在阻帶內(nèi)更迅速的趨近于零。 圖2 巴特沃思低通濾波平方幅頻特性函數(shù) （2）系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)巴特沃斯的系統(tǒng)函數(shù)為Ha（s），則： （3）設(shè)計(jì)過程 巴特沃思低通濾波技術(shù)指標(biāo)關(guān)系式為 ap>-20log|Ha(jΩ)|，Ω<ΩP as<-20log|Ha(jΩ)|，Ω>Ωs 其中：Ωp為通帶邊界頻率，Ωs為阻帶邊界頻率。代入式1.4.1可得: 經(jīng)過化簡(jiǎn)整理可得： 取滿足上式的最小整數(shù)N作為濾波器的階數(shù)。再將N代入可得： 或 查表求得歸一化傳輸函數(shù)H(s),令s/Ωc代替歸一化原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)中的s,即得到實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。 4、脈沖響應(yīng)不變法 所謂脈沖響應(yīng)不變法就是數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)序列h(n)等于模擬濾波器的響應(yīng)ha(t)的采樣值，即 h(n)=ha(t)|t=nT=ha(nT) 式中，T為采樣周期。 因此數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(Z)可由下式求得 H(z)=Z[h(n)]=Z[ha(nT)] Z[-]表示[-]的內(nèi)容進(jìn)行變換，變換的內(nèi)容請(qǐng)參考相應(yīng)的數(shù)字信號(hào)處理材料。 如果已經(jīng)獲得了滿足性能指標(biāo)的模擬濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s) ,求與之對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(z)的方法是： （1） 、求模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)ha(t)。 式中，L[Ha(s)]表示對(duì)Ha(s)的Laplace.逆變換。Laplace變換內(nèi)容請(qǐng)參考高等數(shù)學(xué)的積分變換或信號(hào)處理教材。 （2）、求模擬濾波器單位沖激響應(yīng)ha(t)的采樣值，即數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)序列h(n)。 （3）、對(duì)數(shù)字濾波器的沖激h(n)響應(yīng)進(jìn)行z變換，得到傳遞函數(shù)H(z)。 由上述方法推論出更直接地由模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)求出數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的步驟是： （1） 利用部分分式展開將模擬濾波器的傳遞函數(shù)H(z)展開成 Ha(s)= Rk\(S-Pk) 在MATLAB中這步可通過residue函數(shù)實(shí)現(xiàn) 若調(diào)用residue函數(shù)的形式為[b,a]=residue(R,P,K)形式。 若為[R,P,K]=residue(a,b)則為上面調(diào)用形式的反過程。 (2)將模擬極點(diǎn)Pk變換為數(shù)字極點(diǎn)e^pkT即得到數(shù)字系統(tǒng)的傳遞函數(shù) H(z)= Rk\(1-e^pkT*z*(-1)) 式中T為采樣間隔。 （3）將上式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，可采用[R,P,K]=residue(b,a)。 對(duì)于上面的步驟，中已經(jīng)提供了沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的函數(shù)，調(diào)用格式為 [bz,az]=impinvar(b,a[ ,Fs],Fp) 式中，b,a為模擬濾波器分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量；Fs為采樣頻率（所濾波數(shù)據(jù)），單位Hz，缺省時(shí)為1Hz，為預(yù)畸變頻率（prewarped frequency），是一個(gè)“匹配”頻率，在該頻率上，頻率響應(yīng)在變換前后和模擬頻率可精確匹配。一般設(shè)計(jì)中不考慮。bz,az分別為數(shù)字濾波器分子和分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。 5、 實(shí)驗(yàn)所用MATLAB函數(shù)說數(shù)。 （1） [N,wc]=buttord(wp,ws,RP,As,’s’) 該格式用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3db截止頻率wc。Wp、ws和wc是實(shí)際模擬角頻率(rad\s)。Rp和As為通帶最大衰減和最小衰減。 （2） [Z,P,k]=buttap(N) 該格式用于計(jì)算N階巴特沃斯歸一化模擬低通原型濾波器系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)和增益因子，返回長(zhǎng)度為N的列向量Z和P，分別給出N個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，K表示濾波器增益。 （3） Y=filter(b,a,x) 式中b表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣；a表示系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣；x表示輸入序列；filter表示輸出序列。IIR函數(shù)實(shí)現(xiàn)的直接形式。 (4) [b，a]=butter（N，wc，‘ftype’） 計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量b、a。 說明： 調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值，一般是調(diào)用buttord格式（1）計(jì)算N和wc。系數(shù)b、a是按照z-1的升冪排列。 (5) [B，A]=butter（N，Ωc，‘ftype’，‘s’） 計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量。 說明：調(diào)用參數(shù)N和Ωc分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率(實(shí)際角頻率)，可調(diào)用buttord（2）格式計(jì)算N和Ωc。系數(shù)B、A按s的正降冪排列。 tfype為濾波器的類型： ◇ftype=high時(shí)，高通；Ωc只有1個(gè)值。 ◇ftype=stop時(shí)，帶阻；Ωc=[Ωcl,Ωcu]，分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。 ◇ ftype缺省時(shí)：若Ωc只有1個(gè)值，則默認(rèn)為低通；若Ωc有2個(gè)值，則默認(rèn)為帶通；其通帶頻率區(qū)間Ωcl<Ω <Ωcu。 (6)[H,w]=freqz(b,a,N) b和a分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量，返回量H則包含了離散系統(tǒng)頻響在 0～pi范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)的值（其中N為正整數(shù)），w則包含了范圍內(nèi)N個(gè)頻率等分點(diǎn)。調(diào)用默認(rèn)的N時(shí)，其值是512?？梢韵日{(diào)用freqz()函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，然后利用abs()和angle()函數(shù)及plot()函數(shù)，繪制出系統(tǒng)的頻響曲線。 (7)lp2lp函數(shù) [bt,at]=lp2lp(b,a,w0) 該函數(shù)用于實(shí)現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，可以用傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間 進(jìn)行轉(zhuǎn)換，但無論哪種形式，其輸入必須是模擬濾波器原型。 （8） [bz,az]=impinvar（b,a,fs) 把具有[b,a]模擬濾波器傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為采樣頻率為fs的數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)模型[bz,az]，如果在函數(shù)中沒有確定頻率fs時(shí)，函數(shù)默認(rèn)為1Hz. 4、 設(shè)計(jì)思路 設(shè)定信號(hào) ↓ 模擬低通濾波器原型→頻率變換→模擬離散化→IIR數(shù)字濾波器→輸出信號(hào) 五、設(shè)計(jì)內(nèi)容 1.MATLAB程序設(shè)計(jì) Wp=2*pi*100; Ws=2*pi*150; %濾波器截止頻率 Rp=0.5; Rs=10; %通帶最大衰減和阻帶最小衰減 Fs=1000; %采樣頻率 Nn=128; %調(diào)用freqz所用的頻率點(diǎn)數(shù) [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); %模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=buttap(N); %設(shè)計(jì)模擬低通原型Butterworth濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k); %將零點(diǎn)極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wc) %進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換 [bz,az]=impinvar(b,a,Fs); %運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) figure(1) [H,W]=freqz(bz,az,Nn,Fs); %繪制數(shù)字濾波器的幅值特性和相頻特性 subplot(2,1,1) plot(W,20*log10(abs(H))); xlabel(頻率); ylabel(幅度); grid on; subplot(2,1,2); plot(W,180\pi*unwrap(angle(H))); xlabel(頻率); ylabel(幅度); grid on; figure(2) f1=50; f2=200; %輸入信號(hào)的頻率 N=100; %數(shù)據(jù)長(zhǎng)度 dt=1\Fs; n=0:N-1; t=n*dt; %采樣間隔和時(shí)間序列 x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %濾波器輸入信號(hào) subplot(2,1,1); %繪制輸入信號(hào) plot(t,x); title(輸入信號(hào)); %用filter函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)濾波y1=filter(bz,az,x); subplot(2,1,2); %繪出輸出波形 xlabel(時(shí)間) title(輸出信號(hào)); 2. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 實(shí)驗(yàn)得到的兩幅圖如上所示，在第一幅圖中，小于100處衰減小于3Hz，而在大于120Hz處衰減大于15dB，滿足濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)。由第二幅圖中看出對(duì)50Hz和200Hz頻率成分的信號(hào)進(jìn)行了濾波，濾除了200dB的信號(hào)，達(dá)到濾波的效果。 六.心得體會(huì) 程序仿真過程中，我找到了我要設(shè)計(jì)的低通濾波器的函數(shù)及依據(jù)。依據(jù)設(shè)計(jì)的濾波器的wp,ws,Rp,Rs四個(gè)參數(shù)來確定輸入信號(hào)的頻率以實(shí)現(xiàn)過濾的目的。實(shí)驗(yàn)過程中我也遇到很多問題，但是通過查找資料都得到了解決。通過這次課程設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)，我們掌握了matlab的仿真和設(shè)計(jì)，對(duì)低通濾波器設(shè)計(jì)原理的加深了解及技術(shù)指標(biāo)的設(shè)置。這次課程設(shè)計(jì)不僅讓我對(duì)數(shù)字信號(hào)處理這門學(xué)科的理論知識(shí)加深理解，而且還讓我對(duì)MATLAB中的許多函數(shù)的運(yùn)用更加靈活，而且還增強(qiáng)了我的解決問題的能力。 七、參考文獻(xiàn) [1]《數(shù)字信號(hào)處理》（第三版）高西全 丁美玉 編著 西安電子科技大學(xué)出版社 [2]《MATLAB工具箱應(yīng)用》 蘇金明 張蓮花 劉波 編著 電子工業(yè)出版社 [3]《數(shù)字信號(hào)處理的MATLAB實(shí)現(xiàn)》 萬永革 編著 科學(xué)出版社