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數(shù)學(xué)教學(xué)中的歸納與類比 摘要：數(shù)學(xué)教師要想有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造并培養(yǎng)出有創(chuàng)新能力的學(xué)生, 就要認(rèn)真研究數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的規(guī)律, 研究數(shù)學(xué)的思想方法，只有掌握了正確的數(shù)學(xué)思想方法, 才能學(xué)得深刻, 理解得透徹, 才能用學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問題。 關(guān)鍵詞 教學(xué) 歸納 類比 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史, 看看數(shù)學(xué)家們實(shí)際的工作, 我們會(huì)發(fā)現(xiàn), 和其他自然科學(xué)一樣, 數(shù)學(xué)家們的科學(xué)研究工作也是從觀察和實(shí)驗(yàn)開始, 通過歸納和類比, 經(jīng)歷失敗和挫折, 終于領(lǐng)悟而發(fā)現(xiàn)一條規(guī)律, 做出一個(gè)證明的。偉大的數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過, “ 甚至在數(shù)學(xué)里, 發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！?而開普列是說到“ 我珍惜類比勝于任何別的東西, 它是我最可信賴的老師, 它能揭示自然界的秘密, 在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的?！?歐拉, 這位十八世紀(jì)里領(lǐng)袖的數(shù)學(xué)家和帶頭的物理學(xué)家, 也正是一位用歸納和類比方法的大師,他曾經(jīng)用正確的歸納和大膽的類比做出了很多驚人的著名的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。 本文通過一些教學(xué)中的例子，來說明歸納與類比的重要性。 1、歸納 所謂歸納, 作為數(shù)學(xué)思想方法, 是指通過對(duì)特例的分析去引出普遍的結(jié)論，主要是通過實(shí)驗(yàn)、觀察、分析從而歸納出結(jié)論, 有時(shí)得到的結(jié)論不一定是正確的, 要求對(duì)歸納出的結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明。具體過程是:歸納(不完全) —— 猜想—— 完全歸納(數(shù)學(xué)歸納法證明) 。數(shù)學(xué)歸納法是應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛的論證方法, 其基本形式是: 為了證明與參數(shù)n 有關(guān)的命題對(duì)一切自然數(shù)成立, 首先驗(yàn)證歸納基礎(chǔ), 其次提出歸納假設(shè), 最后完成歸納過渡, 從而得到結(jié)論對(duì)一切自然數(shù)成立。歸納包括：枚舉歸納、、類比歸納、實(shí)驗(yàn)歸納、統(tǒng)計(jì)與模式歸納。 1.1 枚舉歸納 枚舉歸納法是從枚舉一類事物中的若干分子具有某種性質(zhì)得出這類事物的所有分子都具有該性質(zhì)的邏輯方法. 枚舉歸納法只依靠所枚舉的事例的數(shù)量, 因此它所得到的結(jié)論可靠性較低, 一旦遇到一個(gè)反例, 結(jié)論就會(huì)被推翻. 但是枚舉歸納法仍有一定的作用, 通過枚舉歸納法得到的結(jié)論可作為進(jìn)一步研究的假說. 例1 觀察圖1中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律, 則第5個(gè)大三角形中白色三角形有121個(gè). 圖1 分析 設(shè)第n個(gè)大三角形中白色三角形有an 個(gè). 第1個(gè)里面蘊(yùn)含1個(gè)白色三角形(即a1 = 1); 第2個(gè)里面蘊(yùn)含4個(gè)白色三角形(即a2 = 1+ 3a1 ); 第3個(gè)里面蘊(yùn)含13 個(gè)白色三角形(即a3 = 1 +3a2 ); … 通過前三個(gè)里面蘊(yùn)含的規(guī)律, 可以發(fā)現(xiàn)第n 個(gè)大三角形中白色三角形有an = 1+ 3an- 1個(gè). 因此, 可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。 例2 如圖2所示, 已知點(diǎn)A ( 0, 0), B ( 3, 0), C ( 0, 1), 在△ABC 內(nèi)依次作等邊三角形, 使一邊在BC 邊上, 作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA 1B1, 第2個(gè)△B1A2B2, 第3個(gè)△B2A3B3,…則第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)等于32n 圖2 分析 顯然要求第n 個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng), 需要求出第1個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)、第2個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng),…, 從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律△ABC在平面直角坐標(biāo)系下,顯然OB = 3, 通過計(jì)算可得出OB1 =32, B1B2 =322,…,Bn-1Bn =32n 1.2 類比歸納 類比歸納法是兩種或兩種以上在某些關(guān)系上表現(xiàn)相似的對(duì)象進(jìn)行對(duì)比, 做出歸納判斷的一種科學(xué)研究方法. 在中考數(shù)學(xué)中考查類比歸納法, 引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)知識(shí)的類比和歸納, 把知識(shí)由點(diǎn)連成線, 由線織成網(wǎng), 使知識(shí)有序化、系統(tǒng)化, 從而使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在的規(guī)律. 例3 如圖3是與楊輝三角形有類似性質(zhì)的三角形數(shù)壘, a, b是某行的前兩個(gè)數(shù),當(dāng)a= 7時(shí), b= 22. 圖3 分析 一看到此題, 學(xué)生應(yīng)該頭腦中馬上映現(xiàn)出楊輝三角的基本數(shù)表結(jié)構(gòu)對(duì)比楊輝三角形的性質(zhì)通過觀察、類比、歸納三角形數(shù)壘的特征, 當(dāng)a= 6, 鄰近的數(shù)字是16, 那么當(dāng)a =7, 鄰近的數(shù)字是22. 1.3 實(shí)驗(yàn)歸納 實(shí)驗(yàn)歸納是直接從觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果中分析、歸納、概括而總結(jié)出規(guī)律的方法. 在中考試題中, 需要學(xué)生動(dòng)手操作, 通過實(shí)驗(yàn), 依托直覺, 對(duì)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行大膽猜想, 形成解決問題的初步方案; 然后根據(jù)猜想, 繼續(xù)實(shí)驗(yàn), 通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證方案, 從而解決問題. 例4 已知等邊三角形紙片ABC 的邊長(zhǎng)為8, D為AB 邊上的點(diǎn), 過點(diǎn)D作DG∥BC 交AC于點(diǎn)G. DE⊥BC于點(diǎn)E, 過點(diǎn)G 作GF⊥BC于點(diǎn)F, 把三角形紙片ABC分別沿DG, DE, GF 按圖4所示方式折疊,點(diǎn)A,B,C分別落在點(diǎn)A’,B’,C’處. 若A’,B’,C’在矩形DEFG內(nèi)或其邊上, 且互不重合, 此時(shí)我們稱△A’B’C’(即圖中陰影部分)為“重疊三角形”. ( 1) 若把三角形紙片ABC 放在等邊三角形網(wǎng)格中(圖中每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形), 點(diǎn)A,B,C,D 恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上. 如圖4所示, 請(qǐng)直接寫出此時(shí)重疊三角形A’B’C’的面積. 圖4 圖5 ( 2)實(shí)驗(yàn)探究: 設(shè)AD 的長(zhǎng)為m, 若重疊三角形A’B’C’存在. 試用含m 的代數(shù)式表示重疊三角形A’B’C’的面積, 并寫出m 的取值范圍. 分析 通過一個(gè)等邊三角形進(jìn)行折疊實(shí)驗(yàn).根據(jù)折疊, 發(fā)現(xiàn)結(jié)果是等邊三角形, 那么可以猜測(cè)如果出現(xiàn)重疊的話, 那么可能是等邊三角形. 此時(shí)的歸納結(jié)論還屬于猜測(cè), 通過第二次或第三次的折疊來驗(yàn)證結(jié)論, 在驗(yàn)證的過程中, 可能會(huì)出現(xiàn)沒有重疊的可能性, 那么根據(jù)直覺經(jīng)驗(yàn), 能否獲得重疊三角形可能與點(diǎn)D 有密切聯(lián)系, 從而順利過渡到m 取值范圍上來 解 根據(jù)折疊, 設(shè)A’ D 的長(zhǎng)為m, 那么A’B’的長(zhǎng)為8- 2m, 從而s?A’B’C’=3(4-m)2 此時(shí)8- m > m, 即得m< 4. 那么m到底應(yīng)該至少多長(zhǎng)才會(huì)出現(xiàn)重疊呢? 觀察實(shí)驗(yàn)可以得出8- 2m ≥m, 解m≥83.故83≤m<4. 1.4 統(tǒng)計(jì)歸納 統(tǒng)計(jì)歸納推理是歸納推理的主要形式, 作為歸納推理, 它是以一些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)或資料為前提, 以概率演算為基礎(chǔ), 由樣本所含單位具有某屬性的相對(duì)頻率推出總體所含單位具有該屬性的概率. 例5 初中生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度一直是教育工作者關(guān)注的問題之一. 為此某市教育局對(duì)該市部分學(xué)校的八年級(jí)學(xué)生對(duì)待學(xué)習(xí)的態(tài)度進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查(把學(xué)習(xí)態(tài)度分為三個(gè)層級(jí), A 級(jí): 對(duì)學(xué)習(xí)很感興趣; B 級(jí): 對(duì)學(xué)習(xí)較感興趣; C 級(jí): 對(duì)學(xué)習(xí)不感興趣), 并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖6 和圖7 的統(tǒng)計(jì)圖(不完整). 請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息, 解答下列問題: ( 1)此次抽樣調(diào)查中, 共調(diào)查了多少名學(xué)生; ( 2)將圖6補(bǔ)充完整; ( 3)求出圖7中C 級(jí)所占的圓心角的度數(shù); ( 4)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果, 請(qǐng)你估計(jì)該市近20000名 初中生中大約有多少名學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度達(dá)標(biāo)(達(dá)標(biāo)包括A 級(jí)和B 級(jí))? 圖6 圖7 分析 以柱狀圖、扇形圖等來呈現(xiàn)資料, 要讀懂里面蘊(yùn)含的信息, 從而迅速求解. 解 ( 1) 200; ( 2) 圖8 ( 3) C 所占圓心角度數(shù)360 ( 1- 25% - 60% ) =54 ( 4) 20000 ( 25% + 60% ) = 17000 1.5模式歸納 模式歸納是借助于已有的提供數(shù)、圖表信息, 以此為依據(jù), 構(gòu)造數(shù)學(xué)模型, 進(jìn)行歸納得出結(jié)論的過程. 模式可以包括數(shù)的模式、形的模式、運(yùn)動(dòng)變化的模式、推理通信的模式、算法模式等等. 例6將4個(gè)數(shù)a, b, c, d 排成2行2列, 兩邊各加一條豎線記作abcc, 定義abcc= ad –bc.上述記號(hào)就叫做二階行列式. 若x+1x-11-x1+x=6,則x=2. 分析 此題給出了一個(gè)新的運(yùn)算規(guī)則, 學(xué)生需讀懂這個(gè)運(yùn)算規(guī)則, 然后根據(jù)運(yùn)算規(guī)則, 將二階行列式轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程, 從而獲得解決. 解 計(jì)算(x +1)(x+1)-(1-x)(x-1)=6, 解得x=2. 例7 如圖9, 根據(jù)下面的運(yùn)算程序, 若輸入x = 1-3時(shí), 輸出的結(jié)果y 是多少? 圖9 分析 此題結(jié)合程序設(shè)計(jì)框圖, 設(shè)計(jì)出一個(gè)選擇結(jié)構(gòu), 構(gòu)造出一個(gè)算法模式. 使輸入值與輸出值之間產(chǎn)生新的函數(shù)關(guān)系. 解 根據(jù)輸入的數(shù)值, 選擇合理的算式, 顯然得出結(jié)果- 1-3. 2 類比 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中新增加“推理與證明”包含演繹推理與合情推理, 新一輪基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程改革中, 給了合情推理應(yīng)有的關(guān)注. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在選修1- 2 與選修2- 2 中設(shè)計(jì)了推理與證明內(nèi)容, 要求學(xué)生結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活的實(shí)例, 對(duì)合情推理與演繹推理的方法進(jìn)行概括總結(jié), 體會(huì)合情推理與演繹推理在數(shù)學(xué)結(jié)論發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)體系建構(gòu)中的作用.而類比作為一種常用的合情推理方法, 具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用, 有利于創(chuàng)新能力的 培養(yǎng). 本文結(jié)合試題實(shí)例, 從概念類比、方法類比、升維類比、結(jié)構(gòu)類比四個(gè)角度, 對(duì)近幾年試卷中出現(xiàn)的“類比”型試題進(jìn)行分類解析, 探討教學(xué)實(shí)踐中對(duì)學(xué)生類比推理能力的培養(yǎng). 2.1 類比推理及其特征 所謂類比推理是根據(jù)兩個(gè)( 或兩類) 不同的對(duì)象在某些方面( 屬性、關(guān)系、特征、形式等) 有相同或相似性, 猜測(cè)它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗤蛳嗨? 即把信息從一個(gè)對(duì)象轉(zhuǎn)移到另一個(gè)對(duì)象, 并作出某種判斷的推理方法. 類比的實(shí)質(zhì)就是信息從模型向原型的轉(zhuǎn)移, 恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比可以有效地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力. 2.2 常見類比類型 2.2. 1 概念類比 用類比法引入新概念, 可使學(xué)生更好地理解新概念的內(nèi)涵與外延. 數(shù)學(xué)中的許多概念, 知識(shí)點(diǎn)之間有類似的地方, 在新概念的提出, 新知識(shí)的講授過程中,運(yùn)用類比的方法, 能使學(xué)生易于理解和掌握, 有效培養(yǎng)學(xué)生的探究能力. 如：三角形的外接圓和三角形的內(nèi)切圓類比，大多數(shù)學(xué)生會(huì)把外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)混淆。針對(duì)這一問題，采用類比思想，把三角形的外心和內(nèi)心的概念及性質(zhì)歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它隨三角形的形狀不同，位置也不同，它在銳角三角形的內(nèi)部，在直角三角形斜邊的中點(diǎn)處，在鈍角三角形的外部，它是三角形外接圓的圓心，具有到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)。內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心，它是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它一定在三角形的內(nèi)部，不隨三角形形狀的改變而變化位置，它到三角形三邊的距離相等。 2.2.2 方法類比 例如：解一元一次不等式與解一元一次方程類比 解一元一次方程：2x+9=6-x 解：移項(xiàng)，得：2x+x=6-9 合并同類項(xiàng)，得：3x=-3 系數(shù)化為1，得：x=-1 解一元一次不等式：2x+9＜6-x 解：移項(xiàng)，得：2x+x＜6-9 合并同類項(xiàng)，得：3x＜-3 兩邊都除以3，得：x＜-1 學(xué)生只要注意最后一步：系數(shù)化為1時(shí)，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變即可。從而類比一元一次方程的解法歸納出一元一次不等式的解法步驟。 2.2.3 升維類比 將平面( 二維) 中問題升級(jí)到空間( 三維) 問題, 此種方法即為升維類比. 例 在平面幾何里, 有勾股定理:設(shè)三角形ABC的兩邊AB、AC 互相垂直, 則AB2+AC2=BC2, 拓展到空間, 類比平面幾何的勾股定理, 研究三棱錐的側(cè)面積與底面面積間的關(guān)系, 可以得出的正確結(jié)論是: 設(shè)三棱錐A-BCD 的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直, 則 S?ABC2+S?ACD2+S?ADB2=S?BCD2. 分析 關(guān)于平面問題與空間問題的類比, 通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比:多邊形?多面體; 邊?面; 面積?體積; 平面角?二面角; 線段長(zhǎng)?面積; …由此, 根據(jù)線段長(zhǎng)?面積, 可類比猜測(cè)本題的答案: S?ABC2+S?ACD2+S?ADB2=S?BCD2 ( 證明略) 2.2.4 結(jié)構(gòu)類比 某些待解決的問題沒有現(xiàn)成的類比物, 但可通過觀察, 特征命題的條件或結(jié)論與已知的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)上的相似性, 尋找類比問題, 然后可通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q,將原問題轉(zhuǎn)化為類比問題來解決. 最常見的同構(gòu)類比就是數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與圖像, 代數(shù)與解析幾何等, 如: 例 已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數(shù), 且對(duì)于任意的a,b∈R 都滿足: f(ab) = af(b)+bf(a),若f(2)=2,un=f(2-n)n(n∈N),求數(shù)列{un}的前n項(xiàng)和Sn . 解 當(dāng)ab≠0時(shí),f(ab)ab=f(b)b+f(a)a,令gx=f(x)x,則g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x). 類比具體函數(shù): 對(duì)數(shù)函數(shù), 由上可得gan=ng(a).所以fan=ang(an)= nang(a)= nan-1f(a), un=f(2-n)n=12n-1f(12). 因?yàn)閒(2)=2,所以0 = f1=f212=2f12+12f2=2f12+1 所以 f12=-12，un=-12（12）n-1,所以Sn=(12)n-1(證明略)。 2.2.5 類比是歸納的基礎(chǔ) 首先, 通過對(duì)特例的觀察, 我們注意到了某些相似性, 然后, 把所說的相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題. 這就是歸納. 例5 已知數(shù)列{an}(n為正整數(shù))是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列. (1)求和: a1C20-a2C21+a3C22,a1C30- a2C31+a3C32- a4C33. ( 2)由(1)的結(jié)果,歸納概括出關(guān)于正整數(shù)n 的一個(gè)結(jié)論,并加以證明. 分析 本題由(1)的結(jié)論 通過大膽猜測(cè),歸納猜想出一般性的結(jié)論: ( 1) a1C20-a2C21+a3C22= a1-2a1q+a1q2 = a1(1-q)2,a1C31-a2C31+ a3C32- a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3 (2)歸納概括的結(jié)論為:若數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1, 公比為q 的等比數(shù)列,則a1Cn0- a2Cn1+ a3Cn2- a4Cn3+… + +(-1)nan+1Cnn =a1(1-q)n.(證明略) 從以上幾點(diǎn)可以看出，類比在獲取解題思路，新概念的導(dǎo)入，公式、定理和記憶及證明，新知識(shí)的探索研究等方面都有著重要作用。 從實(shí)踐中也證明，這種類比的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生掌握的知識(shí)扎實(shí)，理解也較好。因此，類比思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的一種教學(xué)方法，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中充分運(yùn)用類比法培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有不可估量的作用。 歸納法和類比法是數(shù)學(xué)方法論中最基本的方法之一, 用好了能獲得新的成果, 乃至完成重要發(fā)現(xiàn)。但要真正用好是很不容易的。首先, 要有敏銳的觀察力, 才能從眾多的特例中歸納總結(jié)出一般性命題來。特例有時(shí)是現(xiàn)成的, 有時(shí)卻需要故意構(gòu)造出來。要用好類比需要較豐富的數(shù)學(xué)知識(shí), 知識(shí)面越廣, 在數(shù)學(xué)思維中可作類比推理的題材就越多, 因而能形成普遍命題的機(jī)會(huì)也越多,重視培養(yǎng)學(xué)生的類比推理和歸納推理的能力. 不僅能幫助他們理解和掌握新知識(shí), 而且還能提高他們的解題能力, 促進(jìn)創(chuàng)造性思維的培養(yǎng). 參考文獻(xiàn) 1 史寧中. 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的若干思考[ J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2007,46, 5 2 單肖天.中考數(shù)學(xué)探究試題的考察特征[ J].數(shù)學(xué)通報(bào),2008, 47, 7 3 徐章韜、楊小梅. 類比及其思維基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)教學(xué), 2008 ,8 4 何振華. 例說類比方法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊( 教師版) , 2009, 8