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第七章有限長(zhǎng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 7 1引言一 IIRDF的特點(diǎn)1 DF的設(shè)計(jì)依托AF的設(shè)計(jì) 有圖表可查 方便簡(jiǎn)單 2 相位的非線性H z 的頻響 其中 是幅度函數(shù) 是相位函數(shù) 通常 與不是呈線性的 這是IIRDF 無(wú)限長(zhǎng)響應(yīng)濾波器 的一大缺點(diǎn) 因此限制了它的應(yīng)用 如圖象處理 數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性 3 用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正 可以得線性特性 1 單位抽樣響應(yīng)h n 是有限長(zhǎng)的 因此FIRDF一定是穩(wěn)定的 2 經(jīng)延時(shí) h n 總可變成因果序列 所以FIRDF總可以由因果系統(tǒng)實(shí)現(xiàn) 3 h n 為有限長(zhǎng) 可以用FFT實(shí)現(xiàn)FIRDF 4 FIR的系統(tǒng)函數(shù)是Z 1的多項(xiàng)式 故IIR的方法不適用 5 FIR的相位特性可以是線性的 因此 它有更廣泛的應(yīng)用 非線性的FIR一般不作研究 6 H z 為全零點(diǎn)結(jié)構(gòu) 有N 1個(gè)零點(diǎn) N 1個(gè)極點(diǎn)在z 0處 二 FIRDF的特點(diǎn) 7 2線性相位FIRDF的特點(diǎn)一 線性相位的條件如果FIRDF的單位抽樣響應(yīng)h n 為實(shí)數(shù) 而且滿足偶對(duì)稱h n h N 1 n 或滿足奇對(duì)稱H n h N 1 n 其對(duì)稱中心在處 則濾波器就具有準(zhǔn)確的線性相位 N又分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況 所以有4種線性相位FIRDF 如下所述 1 N為奇數(shù)的偶對(duì)稱例如N 11 對(duì)稱中心為 2 N為偶數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱例如N 10 對(duì)稱中心為 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 N為奇數(shù)時(shí)的奇對(duì)稱例如 N 11 對(duì)稱中心為 n 5 6 7 8 9 10 4 N為偶數(shù)時(shí)的奇對(duì)稱例如 N 10 對(duì)稱中心為4 5 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二 線性相位的特點(diǎn) 為幅度函數(shù) 是一個(gè)純實(shí)數(shù) 是相位函數(shù) 線性相位是指是的函數(shù) 即如果 1 h n 為偶對(duì)稱情況 也就是 下面分為奇 偶對(duì)稱兩種情況討論 上式兩邊同時(shí)加H z 再用2去除得 所以 這時(shí)的幅度函數(shù)和相位函數(shù)如下所示 幅度函數(shù)為相位函數(shù)為 顯然與呈正比 是嚴(yán)格的線性相位 0 2 h n 為奇對(duì)稱的情況 上式兩邊同時(shí)加H z 再用2去除得 所以 其幅度函數(shù)和相位函數(shù)分別為 可見 其相位特性是線性相位 而且還產(chǎn)生一個(gè)900相移 這樣就使得通過(guò)filter的所有頻率都相移900 因此稱它為正交變換網(wǎng)絡(luò) 相移900的信號(hào)與原信號(hào)為正交的 0 對(duì)于以上兩類線性相位濾波器 又分為N取偶數(shù)和奇數(shù)的情況 下面分別討論四種不同情況下的幅度特性 1 N為奇數(shù) h n 為偶對(duì)稱的情況 三 幅度函數(shù)的特點(diǎn) 可見 對(duì)呈現(xiàn)偶對(duì)稱 2 N為偶數(shù) h n 為偶對(duì)稱的情況 1 b 0 0 2 3 4 3 N為奇數(shù) h n 為奇對(duì)稱的情況 討論 1 可見 時(shí) 對(duì)呈奇對(duì)稱 2 c 0 0 3 4 只能作帶通濾波器 4 N為偶數(shù) h n 為奇對(duì)稱的情況 可見 時(shí) 對(duì)呈奇對(duì)稱 而對(duì)呈偶對(duì)稱 在 0處有一個(gè)特征零點(diǎn) 可作高通濾波器和帶通濾波器 四種線性相位FIRDF的特性 四 系統(tǒng)函數(shù)H Z 的零點(diǎn)分布情況1 零點(diǎn)的分布原則 所以 如果是零點(diǎn) 則也一定是H Z 的零點(diǎn) h n 為實(shí)數(shù)時(shí) H Z 的零點(diǎn)必成共軛對(duì)出現(xiàn) 即也一定是H Z 的零點(diǎn) 也一定是H Z 的零點(diǎn) 2 零點(diǎn)的位置 1 既不在實(shí)軸上 也不在單位圓上 則零點(diǎn)是互為倒數(shù)的兩組共軛對(duì) 可知h n 長(zhǎng)度為5 滿足偶對(duì)稱關(guān)系 2 不在實(shí)軸上 但在單位圓上 共軛對(duì)的倒數(shù)就是它們本身 如 3 在實(shí)軸上 不在單位圓上 實(shí)數(shù)零點(diǎn) 沒(méi)復(fù)共軛 只有倒數(shù) 例如 0 1 號(hào)相當(dāng)于 i 零點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上 號(hào)相當(dāng)于 i 0零點(diǎn)在正實(shí)軸上 4 既在實(shí)軸上也在單位圓上 此時(shí) 只有一個(gè)零點(diǎn) 且有兩種可能 或位于Z 1 或位于Z 1 N為偶數(shù)時(shí)的偶對(duì)稱為其零點(diǎn) N為偶數(shù)奇對(duì)稱H 0 0 有Z 1零點(diǎn) N為奇數(shù)奇對(duì)稱有零點(diǎn)Z 1 和Z 1 了解了線性相位FIR濾波器的各種特性 便可根據(jù)實(shí)際需要選擇合適類型的FIR濾波器 同時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)要遵循有關(guān)的約束條件 任何長(zhǎng)度為N的線性相位FIRDF H z 都可分解為以上四種形式的級(jí)聯(lián)組合 一 設(shè)計(jì)方法1 設(shè)計(jì)思想先給定理想濾波器的頻響Hd ej 所要求設(shè)計(jì)一個(gè)FIR的濾波器的頻響為H ej 使H ej 在一定精度內(nèi)逼近Hd ej 7 3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法 2 設(shè)計(jì)過(guò)程設(shè)計(jì)是在時(shí)域進(jìn)行的 先用傅氏反變換求出理想濾波器的單位抽樣響應(yīng)hd n 然后加時(shí)間窗w n 對(duì)hd n 截?cái)?以求得FIRDF的單位取樣響應(yīng)h n 例如 低通濾波器 Hd ej 是矩形的 則h n 一定是無(wú)限長(zhǎng)的且是非因果的 1 理想LF的單位抽樣響應(yīng)hd n 理想低通濾波器的頻響Hd ej 為 二 窗函數(shù)對(duì)頻響的影響 因?yàn)轭l響的相位 所以hd n 是偶對(duì)稱 其對(duì)稱中心為 這是因?yàn)閚 時(shí) 即為其最大 故 為其對(duì)稱中心 hd n 又是無(wú)限長(zhǎng)的非因果序列 加窗就是實(shí)行乘操作 而矩形窗就是截?cái)鄶?shù)據(jù) 這相當(dāng)于通過(guò)窗口RN n 看hd n 稱RN n 為窗口函數(shù) 其他n值 2 加矩形窗WR n RN n 因h n 是偶對(duì)稱的 長(zhǎng)度為N 所以其對(duì)稱中心應(yīng)為 所以h n 可寫作 3 h n 的頻率響應(yīng)h n 的頻響H ej 可通過(guò)離散傅式變換H ej F h n 求得 為了便于與hd n 的頻率響應(yīng)Hd ej 相比較 利用卷積定理 1 對(duì)于矩形窗的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 2 對(duì)于理想LF的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 3 h n 的頻響 其中 為幅度函數(shù) 為相位函數(shù) 可見窗函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)對(duì)實(shí)際濾波器的幅度函數(shù)起關(guān)鍵影響 4 窗函數(shù)頻響產(chǎn)生的影響從幾個(gè)特殊頻率點(diǎn)的卷積過(guò)程就可看出其影響 0 2 時(shí) 正好與的一半相重疊 這時(shí)有 3 時(shí) 的主瓣全部在的通帶內(nèi) 這時(shí)應(yīng)出現(xiàn)正的肩峰 4 時(shí) 主瓣全部在通帶外 出現(xiàn)負(fù)的肩峰 5 當(dāng)時(shí) 隨增加 左邊旁瓣的起伏部分掃過(guò)通帶 卷積也隨著的旁瓣在通帶內(nèi)的面積變化而變化 故將圍繞著零值而波動(dòng) 6 當(dāng)時(shí) 的右邊旁瓣將進(jìn)入的通帶 右邊旁瓣的起伏造成值圍繞值而波動(dòng) 5 加窗后對(duì)理想矩形頻率幾點(diǎn)結(jié)論 1 加窗后 使頻響產(chǎn)生一過(guò)渡帶 其寬度正好等于窗的頻響的主瓣寬度 2 在處出現(xiàn)肩峰 肩峰兩側(cè)形成起伏振蕩 其振蕩幅度取決于旁瓣的相對(duì)幅度 而振蕩的多少則取決于旁瓣的多少 3 吉布斯 Gibbs 效應(yīng)因?yàn)榇昂瘮?shù)的頻響的幅度函數(shù)為這是一個(gè)很特殊的函數(shù) 分析表明 當(dāng)改變N時(shí)僅能改變的絕對(duì)值的大小和主瓣的寬度 旁瓣的寬度 但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例 也就是說(shuō) 不會(huì)改變歸一化頻響的肩峰的相對(duì)值 對(duì)于矩形窗最大相對(duì)肩峰為8 95 不管N怎樣改變 最大肩峰總是8 95 這種現(xiàn)象稱作吉布斯效應(yīng) 這種效應(yīng)直接影響濾波器的性能 即 通帶中的波動(dòng)影響濾波器通帶的平穩(wěn)性 阻帶中的波動(dòng)影響阻帶最小衰減不滿足技術(shù)要求 設(shè)計(jì)濾波器一般要求過(guò)渡帶要窄 阻帶衰減要大 上圖為N 8時(shí) WR ej 的幅度特性 當(dāng)N增加時(shí) 幅度特性的 主瓣 2 N間的區(qū)域 寬度減小 對(duì)于矩形窗來(lái)說(shuō) 當(dāng)N增加時(shí) 主瓣和旁瓣的幅度峰值都要增加 還保持每一波瓣下的面積恒定不變 所以每一波瓣的寬度隨N增加而減小 呈振蕩方式變化 振蕩更快 增加N是否可減小吉布斯效應(yīng) N增加 主瓣幅度會(huì)增加 但旁瓣幅度也會(huì)增加 而主瓣和旁瓣幅度相對(duì)值不變 N 時(shí) sin x x 單位沖激函數(shù) 此時(shí)H 才會(huì)逼近Hd 但這相當(dāng)于窗的寬度為無(wú)限長(zhǎng) 等于不加窗口截?cái)?故沒(méi)有實(shí)際意義 結(jié)論 N增大時(shí) H 的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善 但H 過(guò)渡帶變窄 4 N 所以加大N并不是減小吉布斯效應(yīng)的有效方法 要減小吉布斯效應(yīng)只能從窗函數(shù)的形狀上找解決方法 但這總是以犧牲主瓣寬度來(lái)達(dá)到 即使濾波器過(guò)渡帶加寬 1 基本概念 1 窗譜 窗函數(shù)的頻響的幅度函數(shù)亦稱作窗譜 2 對(duì)窗函數(shù)要求a 希望窗譜主瓣盡量窄 以獲得較陡的過(guò)渡帶 這是因?yàn)檫^(guò)渡帶等于主瓣寬度 b 盡量減少窗譜最大旁瓣的相對(duì)幅度 這樣可使肩峰和波紋減少 把窗函數(shù)的頂部縮窄 同時(shí)使窗函數(shù)的兩端平緩的過(guò)渡到零 就可以降低旁瓣的高度 但這樣做卻增加了主瓣 從而加寬了過(guò)渡區(qū) 三 各種窗函數(shù) 2 矩形窗時(shí)域表達(dá)式 頻域表達(dá)式 頻譜 幅度函數(shù) 3 三角形 Bartlett 窗時(shí)域表達(dá)式 1 01234 頻譜 第一對(duì)零點(diǎn)為 即 所以主瓣寬度 比矩形寬一倍 4 漢寧窗 升余弦窗 其窗譜可利用如下方法求出 將變形為又由于其中又考慮到 這里 所以有 當(dāng)時(shí) 窗譜分析可知 它等于三部分之和 旁瓣較大程度地互相抵消 但主瓣加寬一倍 即為 漢寧窗是 2時(shí) 特例 5 海明窗 又稱作改進(jìn)升余弦窗其窗函數(shù)為仿照漢寧窗的分析方法可以得其頻響的幅度函數(shù)為其主瓣寬度仍為 旁瓣峰值 主瓣峰值 1 有99 963 的能量集中在主瓣內(nèi) 海明窗是下一類窗的特例 6 布拉克曼窗 又稱二階余弦窗加上余弦的二次諧波分量 可以進(jìn)一步抑制旁瓣相應(yīng)的幅度函數(shù)為其主瓣寬度為 是矩形窗的三倍 7 五種窗函數(shù)的比較 1 時(shí)域窗 2 各個(gè)窗的幅度函數(shù) 圖中是dB表示的 3 理想LF加窗后的幅度函數(shù) 響應(yīng) 把窗函數(shù)的頂部縮窄 同時(shí)使窗函數(shù)的兩端平緩的過(guò)渡到零 就可以降低旁瓣的高度 但這樣做卻增加了主瓣 從而加寬了過(guò)渡區(qū) 由于所用的窗函數(shù)都是對(duì)稱的 所以相位是線性的 上圖中 很顯然矩形窗的主瓣最窄 左圖表示增加窗的長(zhǎng)度N對(duì)低通濾波器設(shè)計(jì)的影響 可見 N增大 阻帶衰減不變 過(guò)渡區(qū)變小 因此 可以通過(guò)選擇窗函數(shù)的形狀和窗函數(shù)列長(zhǎng)N對(duì)設(shè)計(jì)加以控制 四 窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)1 設(shè)計(jì)步驟 1 給定頻響函數(shù) 2 求出單位抽樣響應(yīng) 3 根據(jù)過(guò)渡帶寬度和阻帶最小衰減 借助窗函數(shù)基本參數(shù)表確定窗的形式及N的大小 4 最后求及 例 分別利用矩形窗與漢寧窗設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR低通濾波器 具體要求 2 設(shè)計(jì)舉例 解 1 由于是一理想LF 所以可以得出 2 確定N由于相位函數(shù) 所以呈偶對(duì)稱 其對(duì)稱中心為 因此 3 加矩形窗 則有 可以求出h n 的數(shù)值 注意偶對(duì)稱 對(duì)稱中心 由于h n 為偶對(duì)稱 N 25為奇數(shù) 所以 例如H 0 0 94789 可以計(jì)算H 的值 畫如下圖 4 加漢寧窗由于可以求出序列的各點(diǎn)值 通過(guò)可求出加窗后的h n 相應(yīng)幅度函數(shù)可用下式求得 如H 0 0 98460 圖如下