《（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 空間與圖形 6.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt（94頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

6 2圖形的相似 中考數(shù)學(xué) 江蘇專用 考點(diǎn)1相似的基本概念 2017連云港 4 3分 如圖 已知 ABC DEF AB DE 1 2 則下列等式一定成立的是 A B C D A組2014 2018年江蘇中考題組 五年中考 答案D ABC DEF A不一定成立 1 B不成立 C不成立 D成立 故選D 考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2018揚(yáng)州 8 3分 如圖 點(diǎn)A在線段BD上 在BD的同側(cè)作等腰Rt ABC和等腰Rt ADE CD與BE AE分別交于點(diǎn)P M 對(duì)于下列結(jié)論 BAE CAD MP MD MA ME 2CB2 CP CM 其中正確的是 A B C D 答案A由已知得AC AB AD AE BAC EAD 45 BAE CAD BAE CAD 所以 正確 BAE CAD BEA CDA PME AMD PME AMD MP MD MA ME 所以 正確 易證P E D A四點(diǎn)共圓 APD AED 90 CAE 180 BAC EAD 90 CAP CMA AC2 CP CM AC AB AB BC 2CB2 CP CM 所以 正確 故選A 疑難突破本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷 在乘積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相似三角形進(jìn)行證明 采用逐項(xiàng)分析法 判斷選項(xiàng)的正確性 2 2018連云港 11 3分 如圖 ABC中 點(diǎn)D E分別在AB AC上 DE BC AD DB 1 2 則 ADE與 ABC的面積的比為 答案1 9 解析 DE BC ADE ABC AD DB 1 2 AD AB 1 3 S ADE S ABC是1 9 故答案為1 9 3 2016南京 15 2分 如圖 AB CD相交于點(diǎn)O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位線 且EF 2 則AC的長(zhǎng)為 答案 解析 EF是 ODB的中位線 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 解題關(guān)鍵本題考查的是相似三角形的性質(zhì) 掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 對(duì)應(yīng)邊的比相等 相似三角形 多邊形 的周長(zhǎng)的比等于相似比 相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵 4 2016蘇州 18 3分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別為 8 0 0 2 C是AB的中點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線 垂足為D 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā) 沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng) 過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線 垂足為E 連接BP EC 當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 答案 1 解析延長(zhǎng)BP交CE于點(diǎn)F 當(dāng)BF EC時(shí) BFC 90 由題意知CD AO C是AB的中點(diǎn) D是BO的中點(diǎn) CD AO 4 易知四邊形DOEP為矩形 PE DO BD BO 設(shè)DP x 則CP 4 x BPD FPC DBP PCE BDP CPE 即 2 x 4 x x1 1 x2 3 當(dāng)直線BP與直線EC第一次垂直時(shí) x 1 即點(diǎn)P的坐標(biāo)為 1 解題關(guān)鍵解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定與性質(zhì) 解題時(shí)注意 有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似 5 2016宿遷 11 3分 若兩個(gè)相似三角形的面積比為1 4 則這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是 答案1 2 解析因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的面積比為1 4 根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方 所以這兩個(gè)三角形的相似比為1 2 又相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比 所以這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為1 2 故答案為1 2 6 2017宿遷 24 8分 如圖 在 ABC中 AB AC 點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng) 點(diǎn)E不與點(diǎn)B C重合 滿足 DEF B 且點(diǎn)D F分別在邊AB AC上 1 求證 BDE CEF 2 當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí) 求證 FE平分 DFC 7 2015南京 20 8分 如圖 ABC中 CD是邊AB上的高 且 1 求證 ACD CBD 2 求 ACB的大小 解析 1 證明 CD是邊AB上的高 ADC CDB 90 又 ACD CBD 4分 2 ACD CBD A BCD 在 ACD中 ADC 90 A ACD 90 BCD ACD 90 即 ACB 90 8分 8 2015連云港 25 10分 如圖 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn) AC 3CD 過(guò)點(diǎn)D作DH AB 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的長(zhǎng) 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 考點(diǎn)1相似的基本概念 B組2014 2018年全國(guó)中考題組 1 2017黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC 點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn) 連接AF交DE于點(diǎn)G 則下列結(jié)論中一定正確的是 A B C D 答案C根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 所以選項(xiàng)A B D錯(cuò)誤 選項(xiàng)C正確 故選C 2 2014河北 13 3分 在研究相似問(wèn)題時(shí) 甲 乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下 對(duì)于兩人的觀點(diǎn) 下列說(shuō)法正確的是 A 兩人都對(duì)B 兩人都不對(duì)C 甲對(duì) 乙不對(duì)D 甲不對(duì) 乙對(duì) 答案A由題意知新三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等 所以兩個(gè)三角形相似 甲的觀點(diǎn)正確 新矩形與原矩形的對(duì)應(yīng)角相等 但對(duì)應(yīng)邊的比并不相等 所以新矩形與原矩形不相似 乙的觀點(diǎn)也正確 故選A 3 2018四川成都 13 4分 已知 且a b 2c 6 則a的值為 答案12 解析設(shè) k k 0 則a 6k b 5k c 4k a b 2c 6 6k 5k 8k 6 解得k 2 a 6k 12 考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2015山東聊城 7 3分 下列命題中的真命題是 A 兩邊和一角分別相等的兩個(gè)三角形全等B 相似三角形的面積比等于相似比C 正方形不是中心對(duì)稱圖形D 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) 答案DA項(xiàng) 在兩邊和一角中 當(dāng)角為兩邊中一邊的對(duì)角時(shí) 這兩個(gè)三角形不一定全等 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 B項(xiàng) 相似三角形面積比等于相似比的平方 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 C項(xiàng) 正方形是中心對(duì)稱圖形 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤 D項(xiàng) 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ) 故本選項(xiàng)正確 故選D 2 2015四川綿陽(yáng) 12 3分 如圖 D是等邊 ABC邊AB上的一點(diǎn) 且AD DB 1 2 現(xiàn)將 ABC折疊 使點(diǎn)C與D重合 折痕為EF 點(diǎn)E F分別在AC和BC上 則CE CF A B C D 答案B設(shè)等邊 ABC的邊長(zhǎng)為3 則AD 1 BD 2 由折疊的性質(zhì)可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故選B 3 2017北京 13 3分 如圖 在 ABC中 M N分別為AC BC的中點(diǎn) 若S CMN 1 則S四邊形ABNM 答案3 解析 M N分別為AC BC的中點(diǎn) MN AB 且MN AB CMN CAB 且相似比為1 2 S CMN 1 S CAB 4 S四邊形ABNM S CAB S CMN 4 1 3 4 2017甘肅蘭州 17 4分 如圖 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 位似中心是點(diǎn)O 則 答案 解析 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 5 2016安徽 14 5分 如圖 在矩形紙片ABCD中 AB 6 BC 10 點(diǎn)E在CD上 將 BCE沿BE折疊 點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處 點(diǎn)G在AF上 將 ABG沿BG折疊 點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處 有下列結(jié)論 EBG 45 DEF ABG S ABG S FGH AG DF FG 其中正確的是 把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上 答案 解析 ABG HBG FBE CBE ABC 90 EBG 45 正確 AB 6 BF BC 10 AF 8 FD AD AF 10 8 2 設(shè)DE x 則EF CE 6 x 在Rt DEF中 DF2 DE2 EF2 22 x2 6 x 2 x 即DE EF BH AB 6 HF BF BH 10 6 4 又易知Rt DEF Rt HFG 即 GF 5 AG 3 若 DEF ABG 則 但 故 不正確 BH 6 HF 4 S BGH S FGH ABG HBG S ABG S FGH 正確 FHG EDF FG 5 AG DF 5 AG DF FG 正確 6 2015山東臨沂 18 3分 如圖 在 ABC中 BD CE分別是邊AC AB上的中線 BD與CE相交于點(diǎn)O 則 答案2 解析連接DE BD CE分別是邊AC AB上的中線 DE為 ABC的中位線 DE BC DE BC OBC ODE 2 7 2018福建 20 8分 求證 相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比等于相似比 要求 根據(jù)給出的 ABC及線段A B A A A 以線段A B 為一邊 在給出的圖形上用尺規(guī)作出 A B C 使得 A B C ABC 不寫(xiě)作法 保留作圖痕跡 在已有的圖形上畫(huà)出一組對(duì)應(yīng)中線 并據(jù)此寫(xiě)出已知 求證和證明過(guò)程 解析 如圖 A B C 即為所求作的三角形 已知 如圖 A B C ABC k AD DB A D D B 求證 k 證明 AD DB A D D B AD AB A D A B 又 A B C ABC A A C A D CAD k 解后反思本題考查尺規(guī)作圖 相似三角形的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí) 考查推理能力 化歸與轉(zhuǎn)化思想 8 2018湖北武漢 23 10分 在 ABC中 ABC 90 1 如圖1 分別過(guò)A C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線 垂足分別為M N 求證 ABM BCN 2 如圖2 P是邊BC上一點(diǎn) BAP C tan PAC 求tanC的值 3 如圖3 D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn) AE AB DEB 90 sin BAC 直接寫(xiě)出tan CEB的值 解析 1 證明 M N ABC 90 MAB MBA NBC MBA 90 MAB NBC ABM BCN 2 過(guò)點(diǎn)P作PM AP交AC于點(diǎn)M 過(guò)點(diǎn)M作MN PC交BC于點(diǎn)N 則 PMN APB tan PAC 設(shè)PN 2t 則AB t BAP APB MPC APB 90 BAP C MPC C CN PN 2t 易得 ABP CBA AB2 BP BC t 2 BP BP 4t BP t BC 5t tanC 3 在Rt ABC中 sin BAC tan BAC 過(guò)點(diǎn)A作AG BE于點(diǎn)G 過(guò)點(diǎn)C作CH BE交EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H DEB 90 CH AG DE 同 1 的方法得 ABG BCH 設(shè)BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n GH BG BH 4m 3n AB AE AG BE EG BG 4m n 2m EH EG GH 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在Rt CEH中 tan CEB 思路分析 1 利用同角的余角相等判斷出 MAB NBC 即可得出結(jié)論 2 作PM AP MN PC 先判斷出 PMN APB 得出 設(shè)PN 2t 則AB t 再判斷出 ABP CBA 設(shè)PN 2t 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得BP t 則BC 5t 即可得出結(jié)論 3 作AG BE CH BE 先判斷出 同 1 的方法得 ABG BCH 所以 設(shè)BG 4m CH 3m AG 4n BH 3n 進(jìn)一步得出關(guān)于m n的等式 解得n 2m 最后得出結(jié)論 方法指導(dǎo)幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問(wèn)的通法 本題涉及的相似三角形 要尋找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似 同時(shí)要注意挖掘題干中不變的幾何特征 根據(jù)特征尋方法 9 2015山東威海 23 10分 1 如圖 已知 ACB DCE 90 AC BC 6 CD CE AE 3 CAE 45 求AD的長(zhǎng) 2 如圖 已知 ACB DCE 90 ABC CED CAE 30 AC 3 AE 8 求AD的長(zhǎng) 圖 圖 解析 1 連接BE 如圖 1分 ACB DCE 90 ACB ACE DCE ACE 即 BCE ACD 又 AC BC DC EC ACD BCE AD BE 3分 AC BC 6 AB 6 4分 BAC CAE 45 BAE 90 在Rt BAE中 AB 6 AE 3 BE 9 AD 9 5分 2 連接BE 如圖 6分 在Rt ACB和Rt DCE中 ABC DEC 30 tan30 ACB DCE 90 ACB BCD DCE BCD 即 ACD BCE ACD BCE 8分 BAC 60 CAE 30 BAE 90 在Rt ACB中 AC 3 ABC 30 AB 6 在Rt BAE中 AB 6 AE 8 BE 10 9分 AD 10分 方法指導(dǎo)求線段長(zhǎng)的常見(jiàn)方法有 利用相似三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng) 通過(guò)解直角三角形求線段長(zhǎng) 所以對(duì)于此類問(wèn)題要從相似或解直角三角形入手 通過(guò)作輔助線等尋找解題思路 10 2014湖南郴州 19 6分 在13 13的網(wǎng)格圖中 已知 ABC和點(diǎn)M 1 2 1 以點(diǎn)M為位似中心 位似比為2 畫(huà)出 ABC的位似圖形 A B C 2 寫(xiě)出 A B C 的各頂點(diǎn)坐標(biāo) 解析 1 作圖正確給滿分 不分步給分 3分 2 A 3 6 B 5 2 C 11 4 6分 C組教師專用題組 考點(diǎn)1相似的基本概念 1 2016黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC BE與CD相交于點(diǎn)F 則下列結(jié)論一定正確的是 A B C D 答案A DE BC ADE ABC 故選A 2 2018云南 5 3分 如圖 已知AB CD 若 則 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2018湖北黃岡 5 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD為AB邊上的高 CE為AB邊上的中線 AD 2 CE 5 則CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因?yàn)镃E為AB邊上的中線 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易證 ACD CBD 則CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故選C 2 2016安徽 8 4分 如圖 ABC中 AD是中線 BC 8 B DAC 則線段AC的長(zhǎng)為 A 4B 4C 6D 4 答案B由AD是中線可得DC BC 4 B DAC C C ADC BAC AC2 BC DC 8 4 32 AC 4 故選B 評(píng)析本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) 三角形的中線 屬容易題 3 2016河北 15 2分 如圖 ABC中 A 78 AB 4 AC 6 將 ABC沿圖示中的虛線剪下 剪下的陰影三角形與原三角形的是 答案C選項(xiàng)A與B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對(duì)應(yīng)相等 可得陰影三角形與原三角形相似 選項(xiàng)D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是2 3 且兩邊的夾角相等 所以兩個(gè)三角形也是相似的 故選C 評(píng)析本題考查相似三角形的判定 熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 4 2015內(nèi)蒙古呼和浩特 7 3分 如圖 有一塊矩形紙片ABCD AB 8 AD 6 將紙片折疊 使得AD邊落在AB邊上 折痕為AE 再將 AED沿DE向右翻折 AE與BC的交點(diǎn)為F 則 CEF的面積為 A B C 2D 4 答案C在題中的第三個(gè)圖中 AD 6 AB 4 DE 6 因?yàn)锽F DE 所以 ABF ADE 所以 即 解得BF 4 所以CF 2 所以S CEF CE CF 2 5 2014貴州貴陽(yáng) 7 3分 如圖 在方格紙中 ABC和 EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 要使 ABC EPD 則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為 A P1B P2C P3D P4 答案C由題圖可知 E A 90 要使 ABC EPD 則 2 所以EP 2AB 6 點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為P3 故選C 評(píng)析本題考查相似三角形的判定 設(shè)計(jì)巧妙 屬容易題 6 2016河南 15 3分 如圖 已知AD BC AB BC AB 3 點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) 連接AE 將 ABE沿AE折疊 點(diǎn)B落在點(diǎn)B 處 過(guò)點(diǎn)B 作AD的垂線 分別交AD BC于點(diǎn)M N 當(dāng)點(diǎn)B 為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí) BE的長(zhǎng)為 答案或 解析 AD BC AB BC MN AD 四邊形ABNM為矩形 MN AB 3 B 為線段MN的三等分點(diǎn) B M 1或2 AB E ABC 90 AB M EB N 90 EB N B EN 90 AB M B EN 又 AMB ENB 90 AMB B NE 設(shè)B E BE x 當(dāng)B M 1時(shí) B N 2 在Rt AMB 中 AM 2 所以 即x 當(dāng)B M 2時(shí) B N 1 在Rt AMB 中 AM 所以 即x 綜上所述 BE的長(zhǎng)為或 評(píng)析本題考查軸對(duì)稱 矩形的判定和性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì) 勾股定理等知識(shí) 題目的計(jì)算量略大 屬中檔題 7 2014黑龍江哈爾濱 20 3分 如圖 在 ABC中 4AB 5AC AD為 ABC的角平分線 點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上 EF AD于點(diǎn)F 點(diǎn)G在AF上 FG FD 連接EG交AC于點(diǎn)H 若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn) 則的值為 答案 解析 EF AD FG FD EF垂直平分GD EG ED EGD EDG AGH ADB 又 BAD HAG ABD AHG 4AB 5AC AH AC 8 2018陜西 20 7分 周末 小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬 測(cè)量時(shí) 他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹(shù) 將其底部作為點(diǎn)A 在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B 使得AB與河岸垂直 并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC 再在AB的延長(zhǎng)線上選擇點(diǎn)D 豎起標(biāo)桿DE 使得點(diǎn)E與點(diǎn)C A共線 已知 CB AD ED AD 測(cè)得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 測(cè)量示意圖如圖所示 請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息 求河寬AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河寬AB為17m 7分 思路分析首先根據(jù) ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 進(jìn)而可求得AB的值 方法指導(dǎo)解與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng) 審題 結(jié)合圖形通讀題干 第一時(shí)間鎖定采用的知識(shí)點(diǎn) 如 觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 如果含有 考慮利用銳角三角函數(shù)解題 如果僅涉及三角形的邊長(zhǎng) 則采用相似三角形的性質(zhì)解題 篩選信息 由于實(shí)際問(wèn)題文字閱讀量較大 因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 構(gòu)造圖形 只要是與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題都會(huì)涉及圖形的構(gòu)造 如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 則可直接利用所給圖形進(jìn)行計(jì)算 必要時(shí)可添加輔助線 若未給出圖形 則需要通過(guò) 中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進(jìn)行解題 9 2016浙江杭州 19 4分 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AB AC上 AED B 射線AG分別交線段DE BC于點(diǎn)F G 且 1 求證 ADF ACG 2 若 求的值 解析 1 證明 因?yàn)?AED B DAE CAB 所以 ADF C 又因?yàn)?所以 ADF ACG 2 因?yàn)?ADF ACG 所以 又因?yàn)?所以 所以 1 10 2015安徽 23 14分 如圖1 在四邊形ABCD中 點(diǎn)E F分別是AB CD的中點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線 過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線 兩垂線交于點(diǎn)G 連接GA GB GC GD EF 若 AGD BGC 1 求證 AD BC 2 求證 AGD EGF 3 如圖2 若AD BC所在直線互相垂直 求的值 由 AGD BGC 知 GAD GBC 在 GAM和 HBM中 GAD GBC GMA HMB AGB AHB 90 12分 AGE AGB 45 又 AGD EGF 14分 本小題解法有多種 如可按圖2和圖3作輔助線求解 過(guò)程略 圖 圖 評(píng)析本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì) 直角三角形斜邊中線 三角形全等和相似的判定方法和性質(zhì) 屬于拓展探索型題 學(xué)生要有較強(qiáng)的基本功和綜合分析問(wèn)題的能力 11 2015福建福州 25 13分 如圖 在銳角 ABC中 D E分別為AB BC中點(diǎn) F為AC上一點(diǎn) 且 AFE A DM EF交AC于點(diǎn)M 1 求證 DM DA 2 點(diǎn)G在BE上 且 BDG C 如圖 求證 DEG ECF 3 在圖 中 取CE上一點(diǎn)H 使 CFH B 若BG 1 求EH的長(zhǎng) 解析 1 證明 DM EF AMD AFE AFE A AMD A DM DA 2 證明 D E分別為AB BC的中點(diǎn) DE AC DEB C BDE A 又 AFE A BDE AFE BDG GDE C FEC BDG C EDG FEC DEG ECF 3 解法一 如圖所示 BDG C DEB B B BDG BED 即BD2 BE BG A AFE B CFH C 180 AFE CFH EFH 又 FEH CEF EFH ECF 即EF2 EH EC DE AC DM EF 四邊形DEFM是平行四邊形 EF DM AD BD BE EC EH BG 1 解法二 如圖 在DG上取一點(diǎn)N 使DN FH A AFE ABC CFH C BDG EFH 180 AFE CFH C BDG DE AC DM EF 四邊形DEFM是平行四邊形 EF DM AD BD BDN EFH BN EH BND EHF BNG FHC BDG C DBG CFH BGD FHC BNG BGD BN BG EH BG 1 解法三 如圖 取AC中點(diǎn)P 連接PD PE PH 則PE AB PEC B 又 CFH B PEC CFH 又 C C CEP CFH CEF CPH CFE CHP 由 2 可得 CFE DGE CHP DGE PH DG D P分別為AB AC的中點(diǎn) DP GH DP BC BE 四邊形DGHP是平行四邊形 DP GH BE EH BG 1 解法四 如圖 作 EHF的外接圓交AC于另一點(diǎn)P 連接PE PH 則 HPC HEF FHC CPE B CFH C C A CHF A CPE PE AB DE AC 四邊形ADEP是平行四邊形 DE AP AC DE CP 由 2 可得 GDE CEF DEB C GDE CPH DEG PCH GE HC EH BG 1 解法五 如圖 取AC中點(diǎn)P 連接PE PH 則PE AB PEC B 又 CFH B PEC CFH 又 C C CEP CFH CEF CPH CEF CPH 由 2 可得 CEF EDG C DEG D E分別是AB BC的中點(diǎn) DE AC PC DEG PCH CH EG EH BG 1 12 2014安徽 17 8分 如圖 在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中 給出了格點(diǎn) ABC 頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn) 1 將 ABC向上平移3個(gè)單位得到 A1B1C1 請(qǐng)畫(huà)出 A1B1C1 2 請(qǐng)畫(huà)一個(gè)格點(diǎn) A2B2C2 使 A2B2C2 ABC 且相似比不為1 解析 1 作出 A1B1C1 如圖所示 4分 2 本題是開(kāi)放題 答案不唯一 只要作出的 A2B2C2滿足條件即可 如圖 8分 評(píng)析本題主要考查了相似和平移變換 找出變換后圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵 屬容易題 13 2014上海 22 10分 如圖 已知在Rt ABC中 ACB 90 CD是斜邊AB上的中線 過(guò)點(diǎn)A作AE CD AE分別與CD CB相交于點(diǎn)H E AH 2CH 1 求sinB的值 2 如果CD 求BE的長(zhǎng) 解析 1 在Rt ABC中 ACB 90 CD是斜邊AB上的中線 AB 2CD 2BD DCB B AH CD AHC CAH ACH 90 又 DCB ACH 90 CAH DCB B ABC CAH 又 AH 2CH BC 2AC 可設(shè)AC k BC 2k 在Rt ABC中 AB k sinB 2 AB 2CD CD AB 2 在Rt ABC中 AC AB sinB 2 2 BC 2AC 4 在Rt ACE和Rt AHC中 tan CAE CE AC 1 BE BC CE 3 14 2014浙江紹興 20 8分 課本中有一道作業(yè)題 小穎解得此題的答案為48mm 小穎善于反思 她又提出了如下的問(wèn)題 1 如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形 且此矩形是由兩個(gè)并排放置的正方形所組成 如圖1 此時(shí) 這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)又分別為多少mm 請(qǐng)你計(jì)算 2 如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形 如圖2 這樣 此矩形零件的兩條邊長(zhǎng)就不能確定 但這個(gè)矩形面積有最大值 求達(dá)到這個(gè)最大值時(shí)矩形零件的兩條邊長(zhǎng) 圖1圖2 解析 1 設(shè)PQ x APN ABC 解得x PN 2x 這個(gè)矩形零件的兩條邊長(zhǎng)分別為mm mm 2 設(shè)PQ x APN ABC 解得PN 120 x S矩形PQMN x x2 120 x x 40 2 2400 當(dāng)x 40 即PQ 40mm PN 60mm時(shí) 矩形面積最大 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 三年模擬 考點(diǎn)1相似的基本概念 2016無(wú)錫宜興三模 4 如圖 在 ABC中 DE BC 則下列結(jié)論中正確的是 A B C D 答案C由DE BC 可知 ADE ABC 且相似比為 所以 故A B錯(cuò)誤 因?yàn)橄嗨迫切蔚闹荛L(zhǎng)之比等于相似比 所以 故C正確 因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e之比等于相似比的平方 所以 故D錯(cuò)誤 故選C 考點(diǎn)2相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2018淮安一模 13 為了測(cè)量校園水平地面上一棵不可攀的樹(shù)的高度 學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下探索 根據(jù)光的反射定律 利用一面鏡子和一根皮尺 設(shè)計(jì)如圖所示的測(cè)量方案 把一面很小的鏡子放在離樹(shù)底 B 8 4米的點(diǎn)E處 然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D 這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)梢頂點(diǎn)A 再用皮尺量得DE 2 4米 觀察者目高CD 1 6米 則樹(shù) AB 的高度為米 答案5 6 解析根據(jù)題意 易得 CDE ABE 90 CED AEB 則 ABE CDE 則 即 解得AB 5 6 故樹(shù) AB 的高度為5 6米 2 2018宿遷宿豫一模 12 已知 ABC DEF 且S ABC 4 S DEF 9 則 答案 解析 ABC DEF S ABC 4 S DEF 9 3 2017揚(yáng)州一模 18 如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中 O 0 0 A 6 6 B 12 0 將 OAB沿直線CD折疊 使點(diǎn)A恰好落在線段OB上的點(diǎn)E處 若OE 則CE DE的值是 答案 解析如圖 過(guò)點(diǎn)A作AF OB于F A 6 6 B 12 0 AF 6 OF 6 OB 12 BF 6 OF BF AO AB tan AOB AOB 60 AOB是等邊三角形 AOB ABO OAB 60 將 OAB沿直線CD折疊 使點(diǎn)A恰好落在線段OB上的點(diǎn)E處 CED OAB 60 又 COE OCE CED DEB OCE DEB CEO EDB 設(shè)CE a 則CA a CO 12 a 設(shè)ED b 則AD b DB 12 b 則 可得 即CE DE 故答案為 B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 20分鐘分值 25分 解答題 共20分 1 2018淮安洪澤一模 26 問(wèn)題引入 已知 如圖BE CF是 ABC的中線 BE CF相交于G 求證 證明 連接EF E F分別是AC AB的中點(diǎn) EF BC且EF BC GEF GBC 思考解答 1 連接AG并延長(zhǎng)交BC于H 點(diǎn)H是不是BC的中點(diǎn) 2 如果M N分別是GB GC的中點(diǎn) 那么四邊形EFMN是什么四邊形 當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí) 四邊形EFMN是矩形 當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí) 四邊形EFMN是菱形 如果AB AC 10 BC 16 則四邊形EFMN的面積S為多少 解析 1 連接EF 交AG于O E F分別是AC AB的中點(diǎn) EF是 ABC的中位線 EF BC且EF BC OE BH OE CH BH CH 即點(diǎn)H是BC的中點(diǎn) 2 M N分別是GB GC的中點(diǎn) MN是 GBC的中位線 MN BC且MN BC 由 1 可得 EF BC且EF BC EF MN EF MN 四邊形EFMN是平行四邊形 當(dāng)四邊形EFMN是矩形時(shí) FG EG GB GC GBC GCB 又 H是BC的中點(diǎn) GH BC 即AH BC AH垂直平分BC AB AC 的值為1 當(dāng)四邊形EFMN是菱形時(shí) MN FM MN是 BCG的中位線 MN BC FM是 ABG的中位線 FM AG 又 G是 ABC的重心 AG AH FM AG AH BC AH 即3BC 2AH 當(dāng)AB AC時(shí) 由 可得四邊形EFMN是矩形 AH BC AB 10 BC 16 BH BC 8 AH 6 MN是 BCG的中位線 MN BC 8 FM是 ABG的中位線 FM AG AH 2 矩形EFMN的面積S FM MN 2 8 16 解題關(guān)鍵本題屬于相似形綜合題 主要考查了三角形重心性質(zhì) 相似三角形的判定與性質(zhì) 三角形中位線定理的綜合應(yīng)用 解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2 1 三角形的中位線平行于第三邊 并且等于第三邊的一半 2 2017泰州一模 27 如圖 在四邊形ABCD中 B D 60 BAC ACD 90 點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn) AB 3AE 3cm 動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā) 以1cm s的速度沿BC CD DA運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)停止 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts 1 求證 四邊形ABCD是平行四邊形 2 當(dāng) BEP為等腰三角形時(shí) 求t2 31t的值 3 當(dāng)t 4時(shí) 把 ABP沿直線AP翻折 得到 AFP 求 AFP與 ABCD重疊部分的面積 解析 1 證明 在 ABC和 CDA中 ABC CDA AAS AB CD BC AD 四邊形ABCD是平行四邊形 2 如圖1所示 當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí) 圖1 AB 3AE 3cm AE 1cm BE 2cm ABC 60 AD BC QAP 60 又 Q 90 QPA 30 AQ AP BAC 90 ABC 60 AB 3cm BC 6cm AQ cm PQ AQ cm 在Rt EQP中 由勾股定理得 22 整理得t2 31t 237 易知P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí) BEP不能為等腰三角形 3 當(dāng)t 4時(shí) P在BC上 如圖所示 設(shè)PF與AD交于點(diǎn)M 作MN AP于N AH BP于H 在Rt ABH中 B 60 則BH AB cm AH cm HP 4 cm S APH cm2 在Rt APH中 依據(jù)勾股定理可知AP cm 由翻折的性質(zhì)可知 FPA BPA AD BC BPA DAP FPA DAP AM PM 又 MN AP AN NP cm AHP MNP 90 BPA FPA MPN APH S MNP cm2 S AMP 2S MNP cm2 思路分析 1 先證 ABC CDA 再根據(jù) 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形 證明四邊形ABCD是平行四邊形 2 分類討論P(yáng)在BC CD DA上運(yùn)動(dòng)時(shí) BEP為等腰三角形的情況 求t2 31t的值 3 確定t 4時(shí)P點(diǎn)的位置 畫(huà)圖 確定重合部分的圖形 利用相似 勾股定理求解