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第一節(jié)總體參數(shù)估計(jì) 一 總體參數(shù)估計(jì)概述 設(shè)待估計(jì)的總體參數(shù)是 用以估計(jì)該參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量是 抽樣估計(jì)的極限誤差是 即 極限誤差是根據(jù)研究對象的變異程度和分析任務(wù)的性質(zhì)來確定的在一定概率下的允許誤差范圍 參數(shù)估計(jì)的兩個要求 1 精度 估計(jì)誤差的最大范圍 通過極限誤差 來反映 顯然 越小 估計(jì)的精度要求越高 越大 估計(jì)的精度要求越低 極限誤差的確定要以實(shí)際需要為基本標(biāo)準(zhǔn) 2 可靠性 估計(jì)正確性的一個概率保證 通常稱為估計(jì)的置信度 二 總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)的含義 直接以樣本統(tǒng)計(jì)量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計(jì)量 優(yōu)良估計(jì)量標(biāo)準(zhǔn) 優(yōu)良估計(jì)標(biāo)準(zhǔn) 無偏性 要求樣本統(tǒng)計(jì)量的平均數(shù)等于被估計(jì)的總體參數(shù)本身 一致性 當(dāng)樣本容量充分大時 樣本統(tǒng)計(jì)量充分靠近總體參數(shù)本身 有效性 總體方差的無偏估計(jì)量為樣本方差 點(diǎn)估計(jì)完全正確的概率通常為0 因此 我們更多的是考慮用樣本統(tǒng)計(jì)量去估計(jì)總體參數(shù)的范圍 區(qū)間估計(jì) 三 參數(shù)區(qū)間估計(jì) 參數(shù)區(qū)間估計(jì)的含義 估計(jì)總體參數(shù)的區(qū)間范圍 并給出區(qū)間估計(jì)成立的概率值 其中 1 0 1 稱為置信度 是區(qū)間估計(jì)的顯著性水平 其取值大小由實(shí)際問題確定 經(jīng)常取1 5 和10 置信區(qū)間的含義 若反復(fù)抽樣多次 各次的樣本容量相等 均為n 每一組樣本值確定一個區(qū)間 每個這樣的區(qū)間要么包含的真值 要么不包含的真值 在這么多的區(qū)間中 包含真值的約占 不包含真值的約僅占 假如 我們用95 的置信度得到某班學(xué)生考試成績的置信區(qū)間為60 80分 如何理解 如果做了多次抽樣 如100次 大概有95次找到的區(qū)間包含真值 有5次找到的區(qū)間不包括真值 真值只有一個 一個特定的區(qū)間 總是包含 或 絕對不包含 該真值 但是 用概率可以知道在多次抽樣得到的區(qū)間中大概有多少個區(qū)間包含了參數(shù)的真值 置信區(qū)間的長度表示估計(jì)結(jié)果的精確性 而置信水平表示估計(jì)結(jié)果的可靠性 對于置信水平為的置信區(qū)間 一方面置信水平越大 估計(jì)的可靠性越高 另一方面區(qū)間的長度越小 估計(jì)的精確性越好 但這兩方面通常是矛盾的 提高可靠性通常會使精確性下降 區(qū)間長度變大 而提高精確性通常會使可靠性下降 變小 所以要找兩方面的平衡點(diǎn) 例如 從總體5個工人的日平均工資 總體日平均工資為42元 總體方差為32元 重置抽樣的方法抽取樣本容量為2的樣本平均工資的抽樣分布如下 區(qū)間估計(jì)的基本要素 包括 樣本點(diǎn)估計(jì)值 抽樣極限誤差 估計(jì)的可靠程度樣本點(diǎn)估計(jì)值抽樣極限誤差 可允許的誤差范圍 抽樣估計(jì)的可靠程度 置信度 概率保證程度 及概率度注意 本章所進(jìn)行的區(qū)間估計(jì)僅指對總體平均數(shù)或成數(shù)的區(qū)間估計(jì) 并且在際計(jì)算過程中使用下面的式子 式中 是極限誤差 平均數(shù)的區(qū)間估計(jì) 對總體平均數(shù)或成數(shù)的區(qū)間估計(jì)時 使用下面的式子 式中 是極限誤差 有兩種模式 1 根據(jù)置信度1 求出極限誤差 并指出總體平均數(shù)的估計(jì)區(qū)間 2 給定極限誤差 求置信度 例 某廠生產(chǎn)的滾珠中隨機(jī)抽取10個 測得滾珠的直徑 單位 mm 如下 14 615 014 715 114 914 815 015 115 214 8若滾珠直徑服從正態(tài)分布 并且已知 mm 求滾珠直徑均值的置信水平為95 的置信區(qū)間 若未知 求滾珠直徑均值的置信水平為95 的置信區(qū)間 14 92 0 138 14 92 0 138 14 782 15 058 某燈泡廠某月生產(chǎn)5 000 000個燈泡 在進(jìn)行質(zhì)量檢查中 隨機(jī)抽取500個進(jìn)行檢驗(yàn) 這500個燈泡的耐用時間見下表 試求 該廠全部燈泡平均耐用時間的取值范圍 概率保證程度0 9973 檢查500個燈泡中不合格產(chǎn)品占0 4 試在0 6827概率保證下 估計(jì)全部產(chǎn)品中不合格率的取值范圍 成數(shù)的區(qū)間估計(jì) 由于總體的分布是 0 1 分布 只有在大樣本的情況下 才服從正態(tài)分布 總體成數(shù)可以看成是一種特殊的平均數(shù) 類似于總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì) 總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)的上下限是 大樣本的條件 np 5且n 1 p 5 由于總體成數(shù)p通常未知 可以用樣本成數(shù)來近似判斷 對總量指標(biāo)的區(qū)間估計(jì) 在對總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的基礎(chǔ)上 可進(jìn)一步推斷相應(yīng)的總量指標(biāo) 即用總體單位總數(shù)N分別乘以總體平均數(shù)的區(qū)間下限和區(qū)間上限 便得到相應(yīng)總量的區(qū)間范圍 三 樣本容量確定 什么是樣本容量確定問題 確定樣本容量 在設(shè)計(jì)抽樣時 先確定允許的誤差范圍和必要的概率保證程度 然后根據(jù)歷史資料或試點(diǎn)資料確定總體的標(biāo)準(zhǔn)差 最后來確定樣本容量 確定樣本容量應(yīng)注意的問題 1 計(jì)算樣本容量時 一般總體的方差與成數(shù)都是未知的 可用有關(guān)資料替代 一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替 二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗(yàn)性調(diào)查 用試驗(yàn)中方差的最大值代替總體方差 三是成數(shù)方差在完全缺乏資料的情況下 就用成數(shù)方差的最大值0 25代替 2 如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查 同時估計(jì)總體均值與成數(shù) 用上面的公式同時計(jì)算出兩個樣本容量 可取一個最大的結(jié)果 同時滿足兩方面的需要 上面的公式計(jì)算結(jié)果如果帶小數(shù) 這時樣本容量不按四舍五入法則取整數(shù) 取比這個數(shù)大的最小整數(shù)代替 例如計(jì)算得到 n 56 03 那么 樣本容量取57 而不是56 例 確定樣本容量1 對某批木材進(jìn)行檢驗(yàn) 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn) 木材長度的標(biāo)準(zhǔn)差為0 4米 而合格率為90 現(xiàn)采用重復(fù)抽樣方式 要求在95 45 的概率保證程度下 木材平均長度的極限誤差不超過0 08米 抽樣合格率的極限誤差不超過5 問必要的樣本單位數(shù)應(yīng)該是多少 例 確定樣本容量2 對某批木材進(jìn)行檢驗(yàn) 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn) 木材的合格率為90 92 95 現(xiàn)采用重復(fù)抽樣方式 要求在95 45 的概率保證程度下 抽樣合格率的極限誤差不超過5 問必要的樣本單位數(shù)應(yīng)該是多少