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第七章 第二節(jié) 機動目錄上頁下頁返回結束 向量的線性運算 二 向量的坐標表示 一 向量的概念及線性運算 二 向量的模與方向余弦 向量的表示法 向量的模 向量的大小 一 向量的概念 向量 又稱矢量 既有大小 又有方向的量稱為向量 向徑 矢徑 自由向量 與起點無關的向量 起點為原點的向量 單位向量 模為1的向量 零向量 模為0的向量 有向線段M1M2 或a 機動目錄上頁下頁返回結束 注意 如不特殊說明 以后討論的向量都是自由向量 規(guī)定 零向量與任何向量平行 記作 因平行向量可平移到同一直線上 故兩向量平行又稱 兩向量共線 若k 3 個向量經平移可移到同一平面上 則稱此 k個向量共面 機動目錄上頁下頁返回結束 二 向量的線性運算 1 向量的加法 三角形法則 平行四邊形法則 運算規(guī)律 交換律 結合律 三角形法則可推廣到多個向量相加 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 2 向量的減法 三角不等式 機動目錄上頁下頁返回結束 3 向量與數的乘法 機動目錄上頁下頁返回結束 數乘符合下列運算規(guī)律 1 結合律 2 分配律 1 某向量的單位向量 按照向量數乘的定義 機動目錄上頁下頁返回結束 2 向量的共線 若一組向量平行于同一條直線 認為零向量平行于任何一條直線 則稱它們是共線的 這組向量也稱共線向量 或平行向量 幾個常用概念 證明 充分性 顯然 定理1 機動目錄上頁下頁返回結束 必要性 結論成立 機動目錄上頁下頁返回結束 兩式相減 得 例1 試用向量方法證明 對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形 證 結論得證 機動目錄上頁下頁返回結束 3 向量在軸上的投影與投影定理 空間一點在軸上的投影 機動目錄上頁下頁返回結束 空間一向量在軸上的投影 機動目錄上頁下頁返回結束 或 說明 投影為正 投影為負 投影為零 機動目錄上頁下頁返回結束 關于向量的投影定理 1 證 機動目錄上頁下頁返回結束 關于向量的投影定理 2 可推廣到有限多個 機動目錄上頁下頁返回結束 關于向量的投影定理 3 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 空間一點在平面上的投影 機動目錄上頁下頁返回結束 空間一向量在平面上的投影 三 向量的坐標表示 在空間直角坐標系下 起點在坐標原點的向量 機動目錄上頁下頁返回結束 稱為向徑 向量 因為 我們所討論的向量都是自由 所以 在空間直角坐標系下 設點 則 沿三個坐標軸方向的分向量 M的坐標為 機動目錄上頁下頁返回結束 向量線性運算的坐標表示 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 例如 說明 解 由題意知 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 解 正確答案是 4 半徑為a的圓周沿直線無滑動地滾動時 點擊圖中任意點動畫開始或暫停 其上一 定點的軌跡稱為擺線 機動目錄上頁下頁返回結束 2a 2 a a t a a 機動目錄上頁下頁返回結束 a 解 故擺線的方程為 四 向量的模與方向余弦 空間兩向量的夾角的概念 特殊地 當兩個向量中有一個零向量時 規(guī)定它們的夾角可取0與之間任意取值 設 機動目錄上頁下頁返回結束 向量模長的坐標表示式 方向角與方向余弦 與三坐標軸 方向角的余弦稱為方向余弦 機動目錄上頁下頁返回結束 的夾角 方向角 方向余弦 稱為其方向角 方向余弦的性質 2 機動目錄上頁下頁返回結束 1 解 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 向量的概念 向量的加減法 向量與數的乘法 注意與標量的區(qū)別 平行四邊形法則 注意數乘后的方向 五 小結 向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標 向量的模與方向余弦的坐標表示式 注意分向量與向量的坐標的區(qū)別 機動目錄上頁下頁返回結束 機動目錄上頁下頁返回結束 習題6 2 P10 4 8 11 13 16 作業(yè) 解 機動目錄上頁下頁返回結束 備用題 機動目錄上頁下頁返回結束 解 解 3 設 求以向量 為邊的平行四邊形的對角線的長度 該平行四邊形的對角線的長度各為 對角線的長為 機動目錄上頁下頁返回結束