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1 通過優(yōu)化柔性橢球體對欠驅(qū)動冗余度機械臂的自重構 摘要 根據(jù)優(yōu)化技術 欠驅(qū)動冗余度機械臂的多模型特征 柔性操作的測量 自重構的控制方法已被調(diào)查研究 分析了空間關節(jié)的結構變形和欠驅(qū)動冗余度機械臂 柔性操作之間的關系 處于鎖定模式下欠驅(qū)動冗余度機械臂的一種新型柔性橢球體操 作的測量被提出 能應用于獲得自重構控制的最理想結構 因此 基于簡諧振動隨時 間變化非線性控制方法認為能完成其自重構 被動關節(jié)三連桿欠驅(qū)動機械臂等仿真例 子在一些調(diào)查方面起重要作用 關鍵詞 欠驅(qū)動機械臂 自重構 優(yōu)化 非線性控制 0 前言 欠驅(qū)動裝置和機械臂能應用于許多領域 例如太空技術 合作機械人 變形裝置 在太空領域里 由于沒有失去有用功能或了解系統(tǒng)的自重構 當驅(qū)動構件出現(xiàn)一些問 題時 基于欠驅(qū)動技術的誤差出現(xiàn)是不可避免的 欠驅(qū)動機械臂也能被設計為合作機 器人 也就是說 COBOT COBOT 的驅(qū)動不是作驅(qū)動裝置而是提供動力學非函數(shù)約 束 COBOT 需要操作人員提供外力才能完成準確的應用 例如在生物工程學上外科 手術和半導體制造等等 在機械領域機械變形有多種模態(tài) 并能從一種模態(tài)向另一種 模態(tài)轉(zhuǎn)變 引用不同模態(tài)之間的改變可能導致連桿數(shù)目的變化或機械變形的約束限制 很顯然 欠驅(qū)動控制 冗余度驅(qū)動和柔性裝置是不可避免的 因此 欠驅(qū)動系統(tǒng)逐漸 的成為研究領域一個具有吸引力的話題 從力學角度看 研究欠驅(qū)動機械臂系統(tǒng)是不可能控制的 被動關節(jié)的運動是必須 靠與動力裝置連接 Jain等表明動力裝置是欠驅(qū)動機械臂的非完整性約束是二階的 在機械實際上 與非完整性約束廣泛被研究比較也有100多年歷史 然而 關于這種 系統(tǒng)的運動規(guī)劃和控制技術的研究只是近10的事情 研究多針對輪式移動機器人 跳 躍機器人 航空航天機器人等一階非完整性約束系統(tǒng) 關于欠驅(qū)動機械臂的研究觀點 Anthoney等研究運動的穩(wěn)定性 Arai 等提出隨時間變化方法完成系統(tǒng)的位置控制 Lee 等為欠驅(qū)動機器人提供了多種非線性控制方法 欠驅(qū)動研究的這些方法已從本質(zhì) 上揭示了它是非線性的 并且是隨時間變化的 抽象的 事實上 Brockett 已證實這 并沒有消除阻礙和穩(wěn)定給定結構系統(tǒng)的靜電狀況反饋 很顯然 非線性系統(tǒng)的特征在 組合空間多自由度是可以控制的 所以 非線性系統(tǒng)的控制研究受到更多的關注 欠驅(qū)動機構和機械臂是對傳統(tǒng)機械設計基本原理相違背的 傳動機械設計基本 原理認為 原動件的數(shù)目要與自由度的數(shù)目相等時 機構才具有確定的運動 欠驅(qū)動 機械臂首先被提出并不是由于它的價值優(yōu)點 但一些研究表明 欠驅(qū)動機構的故意設 2 計也是很有價值的 例如 Rivhter 等獲得由柔性欠驅(qū)動機械臂多維受力的測量 Nakamura 等設計出了輪式滾動接觸的非完整機器人和平面四連桿二驅(qū)動機械臂的控 制 He 等針對欠驅(qū)動冗余度機械臂提出一種自由碰撞運動規(guī)劃演算法 從以上討論 的結果來看 我們可推斷出在研究欠驅(qū)動時 可能遇到一些未被發(fā)現(xiàn)的新問題 如所 提到的技術和理論的形成 因此 我們改善這裝置具有很大的潛能性 這篇論文中 我們對欠驅(qū)動機械臂的靜態(tài)特征和自重構控制方法進行探索與研 究 1 柔性橢球體模型 機械硬度是機械臂的一個重要要素 它是用來抵抗受力和阻礙力的能力 對 于開式鏈接機械臂而言 鏈接部分是非常重要的部分 所以末端位姿的變形將會 對連桿帶來不良影響 轉(zhuǎn)矩可以近似滿足如下方程 i 1 2 n 1 iiKM 式中 關節(jié) i 的轉(zhuǎn)矩i 關節(jié) i 的變形量 關節(jié) i 的硬度系數(shù)ik 如果忽略關節(jié) i 的重力和摩擦力不計 假設機械臂末端位姿力矢 mRF 則轉(zhuǎn)矩方程又可以寫成 2 FJT 式中 關節(jié)的轉(zhuǎn)矩nRM 雅可比矩陣mJ 眾所周知 關節(jié)有會有變形 機械臂末端位姿有如下關系式 3 Jx 式中 機械臂末端位姿矢量x 關節(jié)的位姿矢量 將 1 式寫成矩陣的形式 結合 2 3 式 經(jīng)簡單的計算 和 F 之X 間的關系如下 4 F Jk XT1 式中 如果定義 6 T1JkC 6 式是末端位姿的柔性矩陣 然而 在太空工作 強度矩陣一致 柔性矩1 c 3 陣 C 可以用來測量機械臂的靜態(tài)特征 矩陣 C 也有雅可比函數(shù)功能 因此 它在 組合和構造要素較大范圍內(nèi)是可改變的 在穩(wěn)定條件下機械臂的可變特征能用于 完成一些應該的復雜的操作 如裝配 拋光 維修等等 由 5 6 式可知矩 陣 C 是對稱性矩陣 如果定義 7 Cdet T 對矩陣 C 進行微分 方程式 7 我們又可以得到 8 m1ii 式中 i 1 2 3 m 應用了矩陣 C 的單一性 因此 是其對稱矩i TC 陣 有如下關系 9 x T 式 9 被描述為橢球體曲線方程 當橢球體的主要曲線與矩陣 C 的單一值相 等時 這橢球體也被認為是一般柔性橢球體 GFE 由于直觀原因 圖一中平面 2 連桿機械臂的的連桿長 GFE 如圖 2 和 3 所示 2 1i0 Li 圖一 平面 2R 桿機械臂 圖 2 平面 2R 桿全驅(qū)動機械臂的 GFE 模型 4 圖 3 平面 2R 桿全驅(qū)動機械臂的 GFE 模型 這些圖示表明測量是需要依賴組合和機構要素 然而全驅(qū)動機械臂并不能改變其 機構要素 因此 由于不同的構件 圖 2 而不是結構要素 從圖 2 改變到圖 3 GFE 模型是可以改變的 當被動關節(jié)被引進作為全驅(qū)動機械臂時 為了方便使用 假設這些被動關節(jié)具有制動裝置和位置控制 以便被動關節(jié)能在自由模式和鎖定模式 下進行制動 然而在運動學上 欠驅(qū)動機械臂揭示了一些冗余度連桿問題 并沒有表 明在輸入方式下的自運動不如工作狀態(tài)下的自運動 另一方面 被動關節(jié)的制動模式 能使欠驅(qū)動機械臂具有重構能力 系統(tǒng)具有敏捷性而使其能適合不同的工作 2 柔性矩陣 假設在欠驅(qū)動冗余度機械臂中 s 連桿為被動關節(jié) 被動關節(jié)裝有制動裝置 當 被動關節(jié)處于自由狀態(tài)時 其速度運動方程可以寫成為 10 paJx 式中 機械臂末端位姿矢量mRX 驅(qū)動機械臂的雅可比矩陣nJ 分別為驅(qū)動和被動機械臂的廣義坐標矢量3p 當機械臂中被動關節(jié)處于鎖定狀態(tài)時 系統(tǒng)運動方程可變?yōu)?11 qJxi 式中 機械臂末端位姿矢量mRX 鎖定狀態(tài)下被動關節(jié)機械臂的雅可比矩陣niJ 驅(qū)動關節(jié)的機械臂廣義坐標q 很顯然 方程 11 和 3 是同一形式 方程 10 和 11 表明欠驅(qū)動機械 臂在運動學上具有不同的模式 換句話說 在運動學上系統(tǒng)具有多中模式特征 圖 5 4 平面 3R 連桿機械臂就是很好的例子 機械臂的第二關節(jié)是被動關節(jié) 其他的 都是驅(qū)動關節(jié) 當被動關節(jié)處于自由狀態(tài)時 被選做為廣義坐標變量 如果被3R 動關節(jié)處于自鎖狀態(tài) 機械臂的維數(shù)將變?yōu)?2 維 這廣義坐標變量為 顯然2Rq 由于 但雅可比矩陣有如下關系 0q 圖 4 平面 3R 桿機械臂 由于欠驅(qū)動機械臂存在不同的運動模式 一種可以用來優(yōu)化和機械臂的機構 組合及自重構以使用不同的工作 預測如何完成基于欠驅(qū)動下的全驅(qū)動機械臂操作是 不可避免的問題 不象全驅(qū)動冗余度機械臂那樣 欠驅(qū)動冗余度機械臂并不能改善其 操作工作 執(zhí)行機械臂任務類似于輸入空間的體積比工作空間少的緣故 有一條可行 的途徑就是在不同的時間分解機構的工作 例如 當機械臂工作處于驅(qū)動模式下 機 構組合能進行機構自重構 然而當機械臂工作在全驅(qū)動模式下 其功能之一就是能控 制機構的運動 事實上 處于欠驅(qū)動工作模式下的機械臂能辯別機構的運動 如位置 控制或間斷點對應點運動 但是這并不是此論文所討論的重點 我們應關注的是欠驅(qū) 動冗余度機械臂的靜態(tài)特征和機構自重構控制方法 欠驅(qū)動機械臂兩中模式的運動方程可以被多種方法描述 但是在復雜的機械 裝置中多連桿機械臂的機構要素定義還存在一定的困難 為了解決這些問題 我們將 進行分析欠驅(qū)動冗余度機械臂的兩種模式間的關系 假定一種特殊的機械臂組合機構 假設有 處于裝置的兩種模式下的mn 末端位姿表達式是一致的 可以表示為 12 pai JqJ 假設 0Jaa 13 13 式表示微運動發(fā)生在關節(jié)部分而不是發(fā)生在末端位姿處 根據(jù) 13 式 6 方程式又可以寫成 14 apJ 把 14 代入 12 式中 我們可以得到 15 ai I qJ 15 式描述欠驅(qū)動機械臂兩種模式下的不同一機構 因此 兩種廣義坐標也是 相等的 設 又可以得到 q 16 api I 16 式表示兩種模式下的雅可比矩陣間的關系 此式能預測出全驅(qū)動模式的運 動 把 16 式代入方程式 5 可以得到全驅(qū)動模式下的欠驅(qū)動矩陣方程 17 Ti1iJkC 根據(jù)方程 7 GFE 欠驅(qū)動機械臂也能定義 方程 17 表示在機械裝置改裝 后的系統(tǒng)靜態(tài)特征 其一 我們以通過 3R 桿機械臂模擬 圖 4 作為非冗余度機械 臂而言 如果我們假定處于工作狀態(tài)下的一點 它不僅與柔性橢球體模型有關 相反 有許多與處于冗余度機械臂工作狀態(tài)下的這一點相關 假設 3R 桿平面機械臂三桿長 分別為 機構的起始角度為m0 1L5 0L321 和 GFE 其他末端位姿起始位置如圖 5 所示 6 1 顯然 根據(jù)處于工作狀態(tài)下的這種狀況 可知存在許多這樣的關節(jié)組合 這 些機構都是與 GFE 相關的 但是一欠驅(qū)動冗余度機械臂存在機構自重構的能力 一 般而言 我們期望的 GFE 在不同的基本組合中有類似的運動 換句話說 橢球體模 型類似于一個球 如圖 5 所示 在 3 桿中第一桿運動狀態(tài)表現(xiàn)最佳 3 非線性控制 7 我們通過分析系統(tǒng)的動態(tài)特性 為了尋求一種能有效地控制欠驅(qū)動機械臂運動 欠驅(qū)動機械臂動態(tài)方程可以寫成 18 McIapaa 19 0Tp 式中 為質(zhì)量慣性矩 為中心吸引力和摩擦轉(zhuǎn)矩矢量 M 是驅(qū)動關節(jié)轉(zhuǎn)矩矢量 是驅(qū)動關節(jié)廣義坐標矢量 是被動關節(jié)廣義坐標矢量 p Jain 等證實方程 19 是二階非線性約束方程 通過自重構 在工作狀態(tài)下給定位置 欠驅(qū)動機械臂具有改善裝置運動的能力 由于系統(tǒng)輸入空間維數(shù)少于空間關節(jié)的維數(shù) 被動關節(jié)的位置控制只能通過動態(tài)藕合來實現(xiàn) 基于 Brockett 理論 給定機構的系統(tǒng) 并不是光滑的 穩(wěn)定性完全符合靜平衡反饋定律 因此 非線性控制的結果表明系統(tǒng) 是非線性的 隨時間變化的 離散的 非線性控制方法還有一種就是在 Ref 17 中 所提到的全驅(qū)動關節(jié)的簡諧振動 這種方法的本質(zhì)就是當驅(qū)動關節(jié)運動到一個周期時 被動關節(jié)將偏離平衡位置 圖 6 驅(qū)動關節(jié)的簡諧振動方程有 20 tcosAa 21 in 22 2a 式中 A 簡諧振動的振幅 W 簡諧振動的角頻率 8 如果我們將式中 22 變換一下 代入 19 式得到 23 2Tap1pAIcI 通常 角頻率 是一個較大的數(shù) 因此 簡諧振動周期 T 是一個非常 小的數(shù) 被作為一個周期的約束 23 式有可以寫成TPIC 1 24 2Tap1pIcI2 24 式表示一個周期后有一點發(fā)生偏離 顯然 構成整體的價值在于簡諧振動 的振幅和角頻率 者就是簡諧振動中的驅(qū)動關節(jié)能控制被動關節(jié)的原因之一 4 自重構控制律 自重構需要穩(wěn)定的控制技術 間諧振動非線性控制方法在第 3 部分已經(jīng)簡單 地介紹了 下面我們將設計一個新的控制方法來執(zhí)行機構的自重構運動 這種方法將 用于優(yōu)化在工作狀態(tài)下給定位置時的廣義柔性橢球體模型 假設 引用于一個期望的組合 此組合源于一些優(yōu)化方法 是驅(qū)動機械臂d 的驅(qū)動位置角 設 9 25 de 式中 e 關節(jié)位置矢量誤差 對方程 24 進行微分有 26 padpae 取滑動模態(tài)為 a1aekS 27 集中律為 a3a2a sgn 28 式中 且 sgn 作為符號函數(shù) 有如下式子 0 0321 K 如果矢量 有 可以得到下面式子 STn1 S 27 式表示驅(qū)動關節(jié)的運動滿足萊布羅定律 假設驅(qū)動關節(jié)輸入與 20 21 有關 當 時 又可以得到如下關系式0K4 0p2d 將 26 式中 2 桿的 2 倍偏離量代入 30 式 可以得到 設驅(qū)動關節(jié)輸入為 將 32 和 31 式代入 19 式 有如下關系 振動振幅為 雖被動關節(jié)并沒有達到期望的位置 驅(qū)動關節(jié)輸入控制可用 32 式來描述 另 一方面 被動關節(jié)處于期望的位置 輸入控制方式有以下方程 從 27 式中可知偏 離時間為 結合 28 和 35 式 控制律為 顯然 這種控制方法是非線性的 隨時間變化的 且遵循 Brockett 理論 有以上 關系重新整理振幅 控制律為 當 ep 0 時滿足 10 當 ep 0 時滿足 5 仿真研究 在這部分中 選平面 3R 桿機械臂作為仿真模型 如圖 4 所示 設第二桿為機械 臂的被動關節(jié) 其他兩桿為驅(qū)動關節(jié) 如果初始位置為 30 6 021 為了改善執(zhí)行廣義的柔性橢球體模型 更好的位置為 這在第三部分已給出 我們認為后面一種情況 15 8 9 17 85 24321 是我們期望的結果 根據(jù)第四部分所提供的控制方法 模擬仿真結果如圖 7 所示 11 圖 7 3R 桿欠驅(qū)動機械臂的自重構運動 1 連桿 1 2 連桿 2 3 連桿 3 圖 7 a 表示隨時間變化的關節(jié)位置誤差 圖 7 b 表示與時間有關的關節(jié)運 動軌道軌跡 圖 7 c 表示在自重構控制中機械臂機構位置的改變 圖 7 d 表示 關節(jié)速度與位置間關系圖 顯然 機械臂已滿足期望的機構完成自重構控制 6 結束語 欠驅(qū)動技術是一個非常關鍵性的問題 它不僅能夠產(chǎn)生空間機器人系統(tǒng)的線性誤 差 而且能操控合作機器人和機器裝置 欠驅(qū)動機械臂有實現(xiàn)機械自重構的能力 新 的關儀廣義柔性橢球體欠驅(qū)動冗余度制動式機械臂的測量被提出 這測量由于優(yōu)化系 統(tǒng)的穩(wěn)定性 簡諧振動的非線性控制方法能執(zhí)行自重構運動 有 3 連桿欠驅(qū)動機械臂 的仿真結果證明測量和振幅的控制是有效的 References 1 Nakamura Y Mukerherjee R Nonholinomic path planning of space robotics via a bi directional approach IEEE Transactions on Robotics 12 and Automation 1991 7 4 500 514 2 Moore C A Peshkin M A 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